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Universite de Strasbourg Annee 2012/2013

UFR de Mathematique et d'Informatique

Preparation a l'agregation interne de mathematiques. Fonctions integrables . Fonctions denies par une integrale Les notions d'integrale simple d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ferme borne sont supposees connues, ainsi que celles d'integrales generalisees

1.Fonctions continues par morceaux integrable sur un intervalle quelconqueDenition d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle:

{ Soit [a;b],a < b, un intervalle deR. Une fonctionfde [a;b] versRouCest dite continue par morceaux sur [a;b], s'il existe une suite nie strictement croissante d'elements deI, (a0=a;a1;:::;an=b) telle que la restriction defa tout intervalle ]ai;ai+1[, 0in1, admette un prolongement par continuite sur [ai;ai+1]. { SoitI, un intervalle deR. Une fonctionfdeIversRouCest dite continue par morceaux surI, sifest continue par morceaux sur tout intervalle ferme borne inclus dansI. exemples - la fonction partie entiere est continue par morceaux surR - La fonctionx7!1x n'est pas continue par morceaux surR. Dans ce qui suit "continue par morceaux" sera notecpm. Proposition: toute fonction cpm sur un intervalle ferme borne est integrable au sens de Riemann sur cet intervalle Denition de l'integrabilite d'une fonction positive continue par morceaux sur un intervalle: SoitIun intervalle etfune fonctionpositivecpm surI; {fest dite integrable surIsi l'ensembleI=fZ b a f =(a;b)2I2;a < bgest borne. { SiIest borne, on note alors sa borne superieure est appeleeintegrale defsur

Iet est noteeZ

I f

Extension aux fonctions a valeurs reelles:

Soitfune fonction cpm surIa valeurs dansR; on notef+= sup(f;0) etf= sup(f;0). Ces deux fonctions sont positives et cpm surI. Denition:fest dite integrable surIsi les fonctionsf+etfsont integrables sur

Iet on pose :Z

I f=Z I f +Z I f

Extension aux fonctions a valeurs complexes:

Soitfune fonction cpm surIa valeurs dansC

Denition:fest dite integrable surIsi les fonctionsIet on pose :Z I f=Z I Lien avec les integrales generalisees: Theoreme: soitfune fonction deIdansK, cpm surI.fest integrable surIsi et seulement l'integrale generaliseeZ I f(x)dxest absolument convergente. Remarque : les fonctions dont l'integrale surIest semi-convergente ne sont pas integrables surI.

2.Convergence des suites de fonctions integrablesTheoreme de convergence monotone

Soit (fn)n0une suite de fonctions integrables deIdansRtelle que : { la suite (fn)n0est croissante :8n2N;8x2I;fn(x)fn+1(x) { la suite (fn)n0converge simplement versf, cpm surI { la suite numerique (R Ifn)n0est majoree alorsfest integrable surIet on a :Z I f= limn!+1Z I f n. exemple :soitIn=Z 2

0sinntdt; n2N.En posantfn(t) = sinnt, on a que

8t2I;sinntsinn+1t, donc la suite (fn) est croissante la suite (fn) converge

simplement versfsurI= [0;2 ] avecf(t) = 0 sit6=2 etf(2 ) =1. fest continue par morceau surIetR If= 0 par consequent limn!=+1In= 0.

Theoreme d'interversion serie-integrale

Soit (fn)n0une suite de fonctions integrables deIdansKtelle que : { la serie de fonctionsPfnconverge simplement versScpm surI { la serie numeriquePR Ijfnjest convergente alorsSest integrable surIet on a :Z I S=Z I+1X n=0f n=+1X n=0Z I f n.

Theoreme de convergence dominee

Soit (fn)n0une suite de fonctions integrables deIdansKtelle que : { la suite de fonctions (fn) converge simplement versfcpm surI { Il existe une fonction':I7!R+, integrable surItelle que :8n2N;jfn(x)j '(x) alorsfest integrable surIet on a :Z I f= limn!+1Z I f n. 3 exemple :soitun=Z +1 0dxx n+ex,n >0.

En posantfn(x) =1x

n+ex, on a que : lim n!+1fn(x) =8 :e xsix2[0;1[

11+esix= 1

0 six >1

La limite simple est bien une fonction integrable car cpm et nulle pourx >1. De plus :8x >0;0fn(x)exetx7!exest integrable sur [0;+1[ et donc lim n!+1un=Z 1 0 exdx= 1e1:

3.Fonctions denies par une integraleTheoreme de continuite

SoientXun ouvert deRn,Iun intervalle deRetfune fonction deXIdansK telle que : { pour toutt2I, la fonction partiellex7!f(x;t) est continue surX { pour toutx2X, la fonction partiellet7!f(x;t) est cpm surI { Il existe une fonction':I!R+, integrable surItelle que :

8(x;t)2XI;jf(x;t)j '(t)

alors la fonctionFdeXdansKdenie parF(x) =Z I f(x;t)dtest continue surX

Theoreme de derivation

SoientXun intervalle ouvert etIun intervalle deRetfune fonction deXI dansKtelle que : { pour toutx2X, la fonction partiellet7!f(x;t) est integrable surI {fadmet une derivee partielle@f@x en tout point deXI { pour toutt2I, la fonctionx7!@f@x (x;t) est continue surX { Il existe une fonction :I!R+, integrable surItelle que :

8(x;t)2XI;j@f@x

(x;t)j (t) alors la fonctionFdeXdansKdenie parF(x) =Z I f(x;t)dtest derivable sur

Xet on aF0(x) =Z

I@f@x (x;t)dt exemple: soit la fonction denie surR; F:x7!Z +1

0cos(xt)t

3+ 1dt.

En posantf(x;t) =cos(xt)t

3+ 1,fest de classeC1surR[0;+1[.

De la majoration, pour tout reelx,cos(xt)t

3+ 1 1t

3+ 1, on en deduit queFest

continue surRcar la fonctiont7!1t

3+ 1est integrable sur [0;+1[.

4

Concernant la derivabilite deF, la majoration@f@x

(x;t)=tcos(xt)t 3+ 1 tt 3+ 1 pourt0, permet de conclure a la derivabilte deFsurR(et m^eme queFestC1).quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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