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Intégrale de Riemann
Aimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire
1Sommes de Riemann d"une fonction
Définitions
Exemples
2Intégrale de Riemann
Intégrabilité
Exemples
Propriétés
Formule de la moyenne
3Primitives
Théorème fondamental de l"analyse
Lien intégrale/primitive
Exemple de synthèse
Primitives des fonctions usuelles
Sommaire
1Sommes de Riemann d"une fonction
Définitions
Exemples
2Intégrale de Riemann
3Primitives
1. Sommes de Riemanna) Définitions
Définition 1.1 (Subdivision)
Soitaetbdeux réels tels quea Unesubdivisionde l"intervalle fermé borné[a;b]est une famillefiniede réels (x0;x1;:::;xn)telle que :a=x0Exemple 1.2 (Subdivision "équirépartie»)
La subdivisionéquirépartieest issue d"un découpageéquidistantde[a;b]enn intervalles de longueur identique=ban Les points de subdivision sont donnés parxk=a+kban ;06k6n(ils sont répartis selon une progression arithmétique de raison) : =a;a+ban ;a+2ban ;a+3ban ;:::;b:ax 0x 1x 2x 3:::x k1x kx k+1:::x n2x n1x nb 1 1. Sommes de Riemanna) Définitions
Définition 1.3 (Somme de Riemann)
Soitfune fonction définie sur[a;b],= (x0;:::;xn)une subdivision de[a;b], et = (1;:::;n)une famille de réels tels que :8k2 f1;:::;ng,k2[xk1;xk] (on dit alors que la familleestadaptéeà la subdivision). On appellesomme de Riemannde la fonctionfassociée àet àle nombreS(f;;) =nX
k=1(xkxk1)f(k): Ce nombre représente l"aire de la réunion des rectangles de base[xk1;xk]et de hauteurf(k).xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21. Sommes de Riemannb) Exemples
Exemple 1.4 (Subdivision équirépartie)
Considérons une subdivision "équirépartie» avec comme choix deskune des bornes de chaque sous-intervalle :8 :x k=a+kban ;06k6n k=xk1ouxk;16k6n Les sommes de Riemann correspondantes s"écrivent :S(f;;) =ban
n1X k=0f a+kban ouban n X k=1f a+kban xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31. Sommes de Riemannb) Exemples
Exemple 1.5 (Sommes de Darboux(facultatif))Soitfune fonctioncontinuesur[a;b],= (x0;:::;xn)une subdivision de[a;b].
Introduisons les valeurs "extrémales» relatives à chacun des sous-intervalles de:8k2 f1;2;:::;ng;mk= min
[xk1;xk]fetMk= max [xk1;xk]f: Par continuité,fatteintses bornes : il existe donc des1k;2kdans[xk1;xk]tels que f(1k) =mketf(2k) =Mk. Les sommes de Riemann correspondant aux familles adaptées1= (11;:::;1n)et2= (21;:::;2n)sont appeléessommes de Darboux:
S1=S(f;;1) =nX
k=1m k(xkxk1)etS2=S(f;;2) =nX k=1M k(xkxk1):xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12x 13 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110111
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Remarque :toutes les sommes de Riemann sont comprises entreS1etS2.4
Sommaire
1Sommes de Riemann d"une fonction
2Intégrale de Riemann
Intégrabilité
Exemples
Propriétés
Formule de la moyenne
3Primitives
2. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité
Définition 2.1 (Intégrabilité)
Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "
on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 52. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité
Définition 2.1 (Intégrabilité)
Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "
on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 52. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité
Définition 2.1 (Intégrabilité)
Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "
on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 52. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité
Remarque 2.2 (Notations/conventions)
La variable utilisée dans la notation de l"intégrale est ditemuette: Z b a f=Z b a f(x)dx=Z b a f(t)dt=Z b a f(u)du=Z b a f()d=Le nombreZb
afreprésente l""aire algébrique» entre la courbe defdans un repère orthonormal et l"axe des abscisses, en comptantnégativementles parties au-dessousde l"axe etpositivementles partiesau-dessus.xf(x)ab+Conventions : on convient queZ
a b f(x)dx=Z b a f(x)dxetZ a a f(x)dx=0.62. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité
Théorème 2.3 (Exemples de fonction intégrable(admis)) Toute fonctioncontinuesur[a;b]estintégrablesur[a;b]. Plus généralement, toute fonctioncontinue par morceauxsur[a;b] (i.e. admettant un nombrefinide discontinuités, celles-ci étant de 1reespèce) estintégrablesur[a;b]. Plus précisément, en notantx1;x2;:::;xn1ses discontinuités et en posant x0=aetxn=b, on peut prolongerfpar continuité sur chaque intervalle
[xk1;xk],k2 f1;:::;ng. Notons~fkce prolongement. AlorsZ b a f=nX k=1Z xk x k1~ fk:xf(x)x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 ab Remarquons que si l"on modifie la valeur d"une fonction continue par morceaux en un nombre fini de points, alors la valeur de son intégrale reste la même. Toute fonctionmonotonesur[a;b]estintégrablesur[a;b].72. Intégrale de Riemannb) Exemples
Exemple 2.4 (Fonctions constante, identité, exponentielle...) À l"aide de la somme de Riemann associée à une subdivisionéquirépartie,on trouve pour une fonction intégrable lim n!+1ban n X k=1f a+kban =Z b a f(x)dx:Dans le cas d"une fonctionconstante,cela donne
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