[PDF] Partie 1 : Intervalles de ? Résoudre une inéquation





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Inégalités – Valeur absolue

Inégalités – Valeur absolue. Année scolaire 2006/2007. Table des matières. 1 Intervalles de R. 2. 2 Comparaison de deux réels.



Partie 1 : Intervalles de ?

Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs de qui vérifient cette inégalité. Il s'agit d'un ensemble de valeurs. Pour définir l'ensemble des 



Ordre. Inéquations du 1er degré. Valeur absolue

Résoudre une inéquation dans R c'est déterminer l'intervalle ou l'union d'intervalles des valeurs de l'inconnue qui vérifient celle-ci. 2.2 Règles de 



Inégalités et valeur absolue Exercices

Inégalités et valeur absolue. Exercices Pour quelles valeurs de a sont-elles vraies ? ... Écrire sans valeur absolue les quantités suivantes :.



Valeur absolue

La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues.



Contrôler une fonction

Rappel : l'inégalité des accroissements finis Rappel sur inégalités et valeur absolue. L'inégalité



Activités – Inégalités – Valeur absolue Seconde Activité 1

Activités – Inégalités – Valeur absolue. Seconde. Activité 1 : Comparaison de nombres. Comparer deux nombres c'est dire si ces nombres sont égaux



Intervalles – Inégalités

3 Inégalités – Résolution d'inéquation 4 Valeur absolue – Distance – Applications ... 4.4 Intervalles et valeur absolue .



Équation et inéquation avec des valeurs absolues

1 Équation. Résoudre dans R l'équation suivante :



Chapitre 1 Calculs algébriques élémentaires

Soit x un nombre réel on définit la valeur absolue de x par : Cette inégalité est appelée "inégalité triangulaire". Exercice 3 (???).



Valeurs absolues Partie entière Inégalités - e Math

On peut visualiser l’inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique Si (ABC) est un triangle rectangle en A et A 0 est le pied de la hauteur issue de A on sait que AA 02 = A 0 B:A 0 C On se sert de cette remarque pour construire g et la comparer graphiquement à m



Inégalités – Valeur absolue - Free

Méthode : On part de l’inégalité a ? b et en reconstruisant par étapes la fonction f et en utilisant les propriétés des inégalités vues au 2 2 on aboutit à une relation entre f (a) et f (b) Exemple : On considère la fonction f dé?nie sur R par f (x) = (x+1)2 ?3 On va étudier les variations de f sur [?1; +?[



Ordre Inéquations du 1er degré Valeur absolue

Dé?nition 4 On appelle inéquation à une inconnue une inégalité qui n’est véri?ée que pour certaines valeurs de cette inconnue dont on se propose de déterminer les valeurs s Des inéquations du 1er degré : x ?3 0 Des inéquations du 2nd degré : x2 ?2x 63 et (x +7)2 >(x +1)(x +7) s

Qu'est-ce que les inégalités de valeur absolue ?

Les inégalités de valeur absolue sont des inégalités dans lesquelles il y a un ou plusieurs valeur absolue . Rappelons qu'une inégalité est presque comme une équation, mais au lieu du signe "=", nous avons "?" ou "?". Cette différence fait que l'ensemble de solutions est généralement une région, comme pour la plupart des inégalités.

Quelle est la valeur des inégalités?

Sa valeur varie entre 0, la situation d’égal - ité et log N, dans le cas où les revenus de tous les individus sauf 1 (N-1) sont nuls, et qu’un Quelles inégalités sont compatibles avec les différentes conceptions de la justice sociale ?

Comment réduire les inégalités absolues ?

Ce type d’impôt réduit les inégalités absolues, c’est-à-dire l’écart en euros. Une taxe de 10 % de 1 000 euros, représente 100 euros. Sur 2 000 euros, cela fait 200 euros. Dans cet exemple, les revenus après impôts sont respectivement de 900 (1 000 - 10 %) et 1 800 euros (2 000 - 10 %).

Comment calculer l’inégalité?

tMultiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre relatif positif et garder alors le sens de l’inégalité : si a < b et si c > 0 alors a x c < b x c. tMultiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre relatif négatif en changeant alors le sens de l’inégalité : si a < b et si c < 0 alors a x c > b x c.

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NOMBRES RÉELS - Chapitre 2/2

Tout le cours sur les intervalles en vidéo : https://youtu.be/mvJy4LVCmRI Tout le cours sur les valeurs absolues en vidéo : https://youtu.be/5-rUuceEgAE

Partie 1 : Intervalles de ℝ

1. Notations

graduée. Cet ensemble est appelé un intervalle et se note : [2;4]

Exemple :

On a par exemple :

4 ∈ [-2;7]

-1 ∈ [-2;7]

8 ∉ [-2;7]

2. Intervalle ouvert et intervalle fermé

Définitions :

On dit qu'un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l'intervalle.

On dit qu'il est ouvert dans le cas contraire.

Exemples :

• L'intervalle [-2;5] est un intervalle fermé.

On a : -2 ∈ [-2;5] et 5 ∈ [-2;5]

• L'intervalle ]2;6[ est un intervalle ouvert.

On a : 2 ∉ ]2;6[ et 6 ∉ ]2;6[

• L'intervalle

6;+∞

est également un intervalle ouvert.

Vidéo https://youtu.be/9MtAK7Xzrls

2 4 0 1

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Nombres réels Notation Représentation

2<<4 ]2;4[

≥2 [2;+∞[ ∞ désigne l'infini >-1 ]-1;+∞[ <2 ]-∞;2[

Remarque :

L'ensemble des nombres réels ℝ est un intervalle qui peut se noter ]-∞;+∞[. Méthode : Déterminer si un nombre appartient à un intervalle

Vidéo https://youtu.be/Il_nVCMHIu8

Déterminer si chacun des nombres suivants appartient à l'intervalle =; 3 4 ;5;. 1; 3 4 5 8 10

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

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Correction

• 1∈, car ∉, car est un intervalle ouvert à gauche et donc son extrémité gauche, , ne lui appartient pas. ∉, car =0,625<

10∈.

En effet :

9< 10<

16, soit : 3<

10<4 Et 3;4

3. Application aux inéquations

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue .

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de qui vérifient cette inégalité.

Il s'agit d'un ensemble de valeurs. Pour définir l'ensemble des solutions, on utilise les intervalles.

Les techniques de résolution des inéquations sont semblables à celles utilisées pour les équations.

Méthode : Donner les solutions d'une inéquation

Vidéo https://youtu.be/p93oVqzvog8

Résoudre l'inéquation et donner les solutions sous forme d'un intervalle : 2-3<4

Correction

2-3<4

2<4+3

2<7

L'ensemble des solutions est l'intervalle ;-∞; 7 2 A.

4. Intersections et réunions d'intervalles :

Définitions :

- L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B et se note A∩B.

- La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou

à B et se note A∪B.

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Exemple :

Soit les ensembles =

1;2 et = 1;3;4

Alors ∩=

1 et ∪=

1;2;3;4

Méthode : Déterminer l'intersection et la réunion d'intervalles

Vidéo https://youtu.be/8WJG_QHQs1Y

Vidéo https://youtu.be/hzINDVy0dgg

Dans les cas suivants, déterminer l'intersection et la réunion des intervalles I et J : a) I =[-1;3] et J =]0;4[ b) I =]-∞;-1] et J =[1;4]

Correction

a) - On représente les intervalles I et J sur un même axe gradué. Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux

deux ensembles. Il s'agit donc de la zone de l'axe gradué où les deux ensembles se superposent.

Ainsi I ∩ J =]0;3].

I 0 1 J I ∩ J 0 1

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr - Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent au moins à

l'un des deux ensembles. Il s'agit donc de la zone de l'axe gradué marquée soit par l'intervalle I soit

par l'intervalle J. Ainsi I ∪ J = [-1;4[. b)

- Ici, les ensembles I et J n'ont pas de zone en commun. L'intersection des deux intervalles est vide.

Un ensemble qui ne contient aucun élément s'appelle l'ensemble vide et se note ∅.

On a alors : I ∩ J = ∅

- I ∪ J = ]-∞;-1]∪ [1;4]

Partie 2 : Valeur absolue d'un réel

Vidéo https://youtu.be/m3htEMfDxcE

Vidéo https://youtu.be/ejxGmpzrciA

Exemples :

- La valeur absolue de -5 est égale à 5 et on note -5 =5. - La valeur absolue de 5 est égale à 5 et on note 5 =5. 11-13 =2 13-11 =2 Remarque : La valeur absolue d'un nombre, c'est le nombre sans son signe.

Propriété : Soit A et B deux points d'abscisses respectives et sur une droite graduée.

La distance entre les points A et B est le nombre |-|.

Exemple :

La distance entre les nombres 1,5 et 4 est :

1,5-4 -2,5 =2,5 Méthode : Résoudre une équation avec des valeurs absolues

Vidéo https://youtu.be/FPj7S1PkNGY

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