[PDF] Ordre. Inéquations du 1er degré. Valeur absolue





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Inégalités – Valeur absolue

Inégalités – Valeur absolue. Année scolaire 2006/2007. Table des matières. 1 Intervalles de R. 2. 2 Comparaison de deux réels.



Partie 1 : Intervalles de ?

Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs de qui vérifient cette inégalité. Il s'agit d'un ensemble de valeurs. Pour définir l'ensemble des 



Ordre. Inéquations du 1er degré. Valeur absolue

Résoudre une inéquation dans R c'est déterminer l'intervalle ou l'union d'intervalles des valeurs de l'inconnue qui vérifient celle-ci. 2.2 Règles de 



Inégalités et valeur absolue Exercices

Inégalités et valeur absolue. Exercices Pour quelles valeurs de a sont-elles vraies ? ... Écrire sans valeur absolue les quantités suivantes :.



Valeur absolue

La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues.



Contrôler une fonction

Rappel : l'inégalité des accroissements finis Rappel sur inégalités et valeur absolue. L'inégalité



Activités – Inégalités – Valeur absolue Seconde Activité 1

Activités – Inégalités – Valeur absolue. Seconde. Activité 1 : Comparaison de nombres. Comparer deux nombres c'est dire si ces nombres sont égaux



Intervalles – Inégalités

3 Inégalités – Résolution d'inéquation 4 Valeur absolue – Distance – Applications ... 4.4 Intervalles et valeur absolue .



Équation et inéquation avec des valeurs absolues

1 Équation. Résoudre dans R l'équation suivante :



Chapitre 1 Calculs algébriques élémentaires

Soit x un nombre réel on définit la valeur absolue de x par : Cette inégalité est appelée "inégalité triangulaire". Exercice 3 (???).



Valeurs absolues Partie entière Inégalités - e Math

On peut visualiser l’inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique Si (ABC) est un triangle rectangle en A et A 0 est le pied de la hauteur issue de A on sait que AA 02 = A 0 B:A 0 C On se sert de cette remarque pour construire g et la comparer graphiquement à m



Inégalités – Valeur absolue - Free

Méthode : On part de l’inégalité a ? b et en reconstruisant par étapes la fonction f et en utilisant les propriétés des inégalités vues au 2 2 on aboutit à une relation entre f (a) et f (b) Exemple : On considère la fonction f dé?nie sur R par f (x) = (x+1)2 ?3 On va étudier les variations de f sur [?1; +?[



Ordre Inéquations du 1er degré Valeur absolue

Dé?nition 4 On appelle inéquation à une inconnue une inégalité qui n’est véri?ée que pour certaines valeurs de cette inconnue dont on se propose de déterminer les valeurs s Des inéquations du 1er degré : x ?3 0 Des inéquations du 2nd degré : x2 ?2x 63 et (x +7)2 >(x +1)(x +7) s

Qu'est-ce que les inégalités de valeur absolue ?

Les inégalités de valeur absolue sont des inégalités dans lesquelles il y a un ou plusieurs valeur absolue . Rappelons qu'une inégalité est presque comme une équation, mais au lieu du signe "=", nous avons "?" ou "?". Cette différence fait que l'ensemble de solutions est généralement une région, comme pour la plupart des inégalités.

Quelle est la valeur des inégalités?

Sa valeur varie entre 0, la situation d’égal - ité et log N, dans le cas où les revenus de tous les individus sauf 1 (N-1) sont nuls, et qu’un Quelles inégalités sont compatibles avec les différentes conceptions de la justice sociale ?

Comment réduire les inégalités absolues ?

Ce type d’impôt réduit les inégalités absolues, c’est-à-dire l’écart en euros. Une taxe de 10 % de 1 000 euros, représente 100 euros. Sur 2 000 euros, cela fait 200 euros. Dans cet exemple, les revenus après impôts sont respectivement de 900 (1 000 - 10 %) et 1 800 euros (2 000 - 10 %).

Comment calculer l’inégalité?

tMultiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre relatif positif et garder alors le sens de l’inégalité : si a < b et si c > 0 alors a x c < b x c. tMultiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre relatif négatif en changeant alors le sens de l’inégalité : si a < b et si c < 0 alors a x c > b x c.

TABLE DES MATIÈRES 1

Ordre. Inéquations du 1erdegré.

Valeur absolue

Paul Milan

LMA Seconde le 15 novembre 2012

Table des matières

1 Intervalle dansR2

1.1 Section commençante et section finissante. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Section commençante : à partir de .... . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Section finissante : jusqu'à .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Encadrement dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Union d'intervalles et intervalles particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Inéquation du 1erdegré dansR6

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Règles de résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Quelques exemples de résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Inéquations particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Signe du binômeax+b10

3.1 Règle pour déterminer le signe du binômeax+b. . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 Le coefficientaest positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.2 Le coefficientaest négatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Inéquations se ramenant au 1erdegré13

4.1 Trois résolutions d'inéquations par une factorisation. . . . . . . . . . . . 13

4.1.1 Résoudre l'inéquation suivante : (5x+2)(3-2x)?0. . . . . . . 13

4.1.2 Résoudre l'inéquation suivante : (x-5)(x-2)<(x-5)(2x-3). 14

4.1.3 Résoudre (3x-2)2>(x-1)2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Deux inéquations rationnelles se ramenant au premier degré. . . . . . . 15

4.2.1 Résoudre l'inéquation8-2xx+5?0. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2.2 Résoudre l'inéquation4x+1?3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2

5 Valeurs absolues17

5.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 Égalité de deux valeurs absolues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3 Intervalles définis par une valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3.1 Intervalle centré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3.2 Union d'intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 Intervalle dansR

On peut distinguer deux sortes d'intervalles dans l'ensembleR: une section com- mençante ou finissante et un encadrement. De plus, un intervalle pose la question de la frontière : la borne est-elle incluse ou excluse?

1.1 Section commençante et section finissante

1.1.1 Section commençante : à partir de ...

Visualisons, sur la droite des réels, la proposition :x?a -∞[a+∞ Les valeurs dexqui correspondent à la propositionx?a(en rouge) sont tous les nombres réels à partir deainclus. L'ensemble des valeurs dexva donc deainclus jusqu'à+∞. On

écrit alors :

x?[a,+∞[ "xappartient à l'intervalleafermé,+∞" On dit que le crochet devantaest fermé (tourné vers l'intérieur de la zone rouge) car aest inclus dans l'intervalle. En revanche le crochet devant+∞est ouvert (tourné vers l'extérieur) car+∞est exclus de l'intervalle. En effet+∞n'est pas un nombre réel.

Visualisons maintenant la proposition :x>a

-∞]a+∞ Cette fois la valeuraest à exclure carxest strictement supérieur àa. Le crochet sera donc ouvert ena. On écrit donc :

On ne précise

jamais que+∞est ouvert car cela est toujours le casx?]a,+∞[ "xappartient à l'intervalleaouvert,+∞" Définition 1Les deux cas d'une section commençante sont : x?a qui revient à écrire x?[a,+∞[ x>a qui revient à écrire x?]a,+∞[ paul milan15 novembre 2012lma seconde

1.1 Section commen¸cante et section finissante3

La propositionx?9 :

x?9?x?[9,+∞[

La propositionx>-2 :

x>-2?x?]2,+∞[

Le symbole?

signifie "est

équilalent à

1.1.2 Section finissante : jusqu'à ...

-∞]a+∞ Les valeurs dexqui correspondent à la propositionx?a(en rouge) sont tous les nombres réels jusqu'àainclus. L'ensemble des valeurs dexva donc de-∞jusqu'àa inclus. On écrit alors : x?]- ∞;a] "xappartient à l'intervalle-∞,afermé" On dit que le crochet devant-∞est ouvert (tourné vers l'extérieur) car-∞est exclus de l'intervalle. En effet-∞n'est pas un nombre réel. On dit que le crochet devantaest fermé (tourné vers l'intérieur) car le nombreaest inclus dans l'intervalle.

Visualisons maintenant la proposition :x -∞[a+∞ Cette fois la valeuraest à exclure carxest strictement inférieur àa. Le crochet sera donc ouvert ena. On écrit donc :

On ne précise

jamais que-∞est ouvert car cela est toujours le casx?]- ∞;a[ "xappartient à l'intervalle-∞,aouvert" Définition 2Les deux cas d'une section finissante sont : x?a qui revient à écrire x?]- ∞;a] xLa propositionx?-32:

x?-3 2?x?? - ∞;-32?

La propositionx<⎷

2 : x<⎷

2?x??- ∞;⎷2?

paul milan15 novembre 2012lma seconde

1.2 Encadrement dansR4

1.2 Encadrement dansR

Il y a quatre situations dans le cas d'un encadrement suivantque l'on prenne ou non les valeurs extrêmes.

1. Visualisons la proposition :a?x?b

-∞[a]b+∞ Les valeurs de dexqui correspondent à la propositiona?x?b(en rouge) sont tous les nombres réels compris entreaetbinclus. On écrit alors : x?[a;b] "xappartient à l'intervalle ferméa,b"

2. Visulalisons la proposition :a -∞]a[b+∞ Les valeurs dexqui correspondent àa3. Visulalisons la proposition :a?x -∞[a[b+∞ Les valeurs dexqui correspondent à la propositiona?x4. Visualisons enfin le dernier cas :a -∞]a]b+∞ Les valeurs dexqui correspondent à la propositiona1.3 Union d'intervalles et intervalles particuliers5

La proposition 2?x?5 :

2?x?5?x?[2 ; 5]

La proposition-7 -7La proposition

3

4?x<103

3

4?x<103?x??34;103?

La proposition 0 3

0

3?x??0 ;⎷3?

1.3 Union d'intervalles et intervalles particuliers

Lorsqu'un ensemble de nombre est composé de plusieurs parties, il est nécessaire de relier les différents intervalles qui le composent. Nous disposons alors d'un symbole? qui signifie "union" pour écrire cet ensemble. Sa signification en français est "ou" dans un sens non exclusif.

Soit l'ensemble défini parx<2 oux?5

Il s'agit d'une section finissante et d'une section commençante.

Visualisons sur la droite des réel :

-∞+∞x?52 5[ x<2[ L'ensemble visualisé par la partie rouge s'écrit alors : ]- ∞; 2 [?[ 5 ;+∞[ Des ensembles particuliers, qui s'utilisent souvent ont des notation particulières. R ?ouR\{0}correspond à l'ensemble des réels privé du nombre 0. Il peut s'écrire : R ?=]- ∞; 0 [?] 0 ;+∞[ R +etR-correspondent respectivement aux réels positifs ou nuls etaux réels négatifs ou nuls. Ils peuvent s'écrire : R +=[ 0 ;+∞[ etR-=]- ∞; 0 ] Enfin, on peut avoirR?+ouR?-qui correspondent respectivement à : R ?+=] 0 ;+∞[ etR?-=]- ∞; 0 [ paul milan15 novembre 2012lma seconde 6

2 Inéquation du 1erdegré dansR

2.1 Définition

Définition 4On appelle inéquation à une inconnue une inégalité qui n'estvérifiée

que pour certaines valeurs de cette inconnue, dont on se propose de déterminer les valeurs.

Des inéquations du 1erdegré :

x-3<5x+1 et 5x-7?0

Des inéquations du 2

nddegré : xquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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