Inégalités – Valeur absolue

Inégalités – Valeur absolue. Année scolaire 2006/2007. Table des matières. 1 Intervalles de R. 2. 2 Comparaison de deux réels.

Partie 1 : Intervalles de ?

Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs de qui vérifient cette inégalité. Il s'agit d'un ensemble de valeurs. Pour définir l'ensemble des

Ordre. Inéquations du 1er degré. Valeur absolue

Résoudre une inéquation dans R c'est déterminer l'intervalle ou l'union d'intervalles des valeurs de l'inconnue qui vérifient celle-ci. 2.2 Règles de

Inégalités et valeur absolue Exercices

Inégalités et valeur absolue. Exercices Pour quelles valeurs de a sont-elles vraies ? ... Écrire sans valeur absolue les quantités suivantes :.

Valeur absolue

La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues.

Contrôler une fonction

Rappel : l'inégalité des accroissements finis Rappel sur inégalités et valeur absolue. L'inégalité

Activités – Inégalités – Valeur absolue Seconde Activité 1

Activités – Inégalités – Valeur absolue. Seconde. Activité 1 : Comparaison de nombres. Comparer deux nombres c'est dire si ces nombres sont égaux

Intervalles – Inégalités

3 Inégalités – Résolution d'inéquation 4 Valeur absolue – Distance – Applications ... 4.4 Intervalles et valeur absolue .

Équation et inéquation avec des valeurs absolues

1 Équation. Résoudre dans R l'équation suivante :

Chapitre 1 Calculs algébriques élémentaires

Soit x un nombre réel on définit la valeur absolue de x par : Cette inégalité est appelée "inégalité triangulaire". Exercice 3 (???).

Valeurs absolues Partie entière Inégalités - e Math

On peut visualiser l’inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique Si (ABC) est un triangle rectangle en A et A 0 est le pied de la hauteur issue de A on sait que AA 02 = A 0 B:A 0 C On se sert de cette remarque pour construire g et la comparer graphiquement à m

Inégalités – Valeur absolue - Free

Méthode : On part de l’inégalité a ? b et en reconstruisant par étapes la fonction f et en utilisant les propriétés des inégalités vues au 2 2 on aboutit à une relation entre f (a) et f (b) Exemple : On considère la fonction f dé?nie sur R par f (x) = (x+1)2 ?3 On va étudier les variations de f sur [?1; +?[

Ordre Inéquations du 1er degré Valeur absolue

Dé?nition 4 On appelle inéquation à une inconnue une inégalité qui n’est véri?ée que pour certaines valeurs de cette inconnue dont on se propose de déterminer les valeurs s Des inéquations du 1er degré : x ?3 0 Des inéquations du 2nd degré : x2 ?2x 63 et (x +7)2 >(x +1)(x +7) s

Qu'est-ce que les inégalités de valeur absolue ?

Les inégalités de valeur absolue sont des inégalités dans lesquelles il y a un ou plusieurs valeur absolue . Rappelons qu'une inégalité est presque comme une équation, mais au lieu du signe "=", nous avons "?" ou "?". Cette différence fait que l'ensemble de solutions est généralement une région, comme pour la plupart des inégalités.

Quelle est la valeur des inégalités?

Sa valeur varie entre 0, la situation d’égal - ité et log N, dans le cas où les revenus de tous les individus sauf 1 (N-1) sont nuls, et qu’un Quelles inégalités sont compatibles avec les différentes conceptions de la justice sociale ?

Comment réduire les inégalités absolues ?

Ce type d’impôt réduit les inégalités absolues, c’est-à-dire l’écart en euros. Une taxe de 10 % de 1 000 euros, représente 100 euros. Sur 2 000 euros, cela fait 200 euros. Dans cet exemple, les revenus après impôts sont respectivement de 900 (1 000 - 10 %) et 1 800 euros (2 000 - 10 %).

Comment calculer l’inégalité?

tMultiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre relatif positif et garder alors le sens de l’inégalité : si a < b et si c > 0 alors a x c < b x c. tMultiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre relatif négatif en changeant alors le sens de l’inégalité : si a < b et si c < 0 alors a x c > b x c.

Inégalités - Valeur absolue

Année scolaire 2006/2007Table des matières

1 Intervalles deR2

2 Comparaison de deux réels.3

2.1 Différentes méthodes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2.2 Inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.3 Application sens de variation et extremum d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3 Valeur absolue - Distance - Applications6

3.1 Distance entre deux réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3.2 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.3 Équations et inéquations comportant une valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Table des figures

1 Exemple 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

2 Exemple 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

3 Exemple 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

4 Fonction croissante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

5 Fonction décroissante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

6 Résolution graphique de|x-a|=r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

8 Résolution graphique de|x-a|< r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

9 Résolution graphique de|x-a| ≥r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Liste des tableaux

1 Différents types d"intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1 INTERVALLES DER1 Intervalles deRExemples :

1.On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure1tous les nombres réelsxtels que

2.On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure2tous les nombres réelsxtels que

-1< x <3.Fig.2 - Exemple 2Cet ensemble est noté]-1; 3[.

3.On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure3tous les nombres réelsxtels quex≥ -1.Fig.3 - Exemple 3Cet ensemble est noté[-1; +∞[.

Remarque :"+∞» se lit " plus l"infini ».

Plus généralement, les différents types d"intervallessont donnés dans le tableau1(oùaetbreprésentent deux

réels, aveca < b).Remarques :

1.L"ensemble des nombres réelsRest l"intervalle]-∞; +∞[.2.Un intervalle est une partie deR" sans trou », en " un seul morceau ».3.+∞et-∞ne sont pas des nombres. Ce ne sont que des notations (ce qui explique qu"ils soient

toujours exclus).4.Les intervalles correspondants aux quatre premières lignes du tableau sont ditsbornés.

Module :Module 5 page 581[Modulo]

Exercices :37, 39, 40, 41, 42 page 642[Modulo]

Intersection et réunion d"intervalles.

2Définition d"un intervalle.2

2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS.

Ensemble desxvérifiantReprésentationIntervalle

2.1 Différentes méthodes de comparaisonActivité :Activité 1 (fp)3

Méthode 1 :Utilisation de la calculatrice

Pour comparer deux nombres, il peut parfois suffire de trouver une valeur approchée à la calculatrice.

Attention cependant, ceci ne permet en aucun cas de montrer que des nombres sont égaux ou opposés.Exemples :

1.A la calculatrice :

289
?3,11etπ?3,14donc289 < π.2.A la calculatrice, ?7-4⎷3?0,267949et⎷3-2? -0.267949mais ceci estinsuffisantpour conclure que ces nombres sont opposés. Pour cela, il faut d"abord calculer leurs carrés :??7-4⎷3

2= 7-4⎷3et?⎷3-2?2=?⎷3

?2-2×2⎷3 + 4 = 3-4⎷3 + 4 = 7-4⎷3.

Les carrés sont égaux donc les nombres sontégaux ou opposés. De plus,?7-4⎷3>0et⎷3-2<0. Ces

deux nombres sont donc opposés.Méthode 2 :Comparaison de fractions

Pour comparer deux fractions, il suffit de les mettre sous le même dénominateur et de comparer les

numérateurs.Exemple :Comparaison de 712
et813 712
=7×1312×13=91156 et813 =8×1213×12=96156 donc712 <813 .Méthode 3 :Méthode de la différence Exemple :ndésigne un entier naturel. On veut comparer(n+ 1)2etn2+ 1. (n+ 1)2-?n2+ 1?=n2+ 2n+ 1-n2-1 = 2n≥0carn≥0.

Par suite,(n+ 1)2≥n2+ 1.Remarque :Cette dernière méthode est surtout utile pour comparer des expressions données sous forme

littérale.3

Comparaison de nombres.3

2.2 Inégalités 2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS.

Exercices :2, 3, 5, 6 page 624- 81, 82 page 695[Modulo]

Exercices :20, 22, 23 page 636[Modulo]

Application :On peut utiliser ces règles pour résoudre des inéquations " simples »

4x-5<5x-1

4x-5+5<5x-1+5(régle 1)

4x <5x+ 4

4x-5x<5x+ 4-5x(régle 1)

-x <4 -x-1>4 -1(régle 3) x >-4 On a donc ici :S= ]-4; +∞[Exercices :57, 59, 60, 62 page 1537- 47, 48, 49 page 658[Modulo] Les résultats suivants sontprovisoirementadmis :Propriété 1 :

Propriété 2 :

≥1b .Le passage à l"inverse change l"ordre pour des nombres strictement positifs. ≥1b .Le passage à l"inverse change l"ordre pour des nombres strictement négatifs.

Remarque :Ces deux propriétés ne sont pas valables si les nombresaetbsont de signes contraires! Par

exemple :-3<4et-13 <4.Propriété 3 : 4

Ranger des nombres avec ou sans calculatrice.

5Plus difficiles.

6Inégalités par reconstruction.

7Premières inéquations.

8Lien avec les réunions et intersections d"intervalles.4

2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS. 2.3 Application sens de variation et extremum d"une fonction

quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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