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Correction BacalauréatS Centres Etrangers Juin 2007

Exercice1

1.Modélisation de l"expériencealéatoire: l"universΩest l"ensemble des combinaisons (choix non ordonnés

On choisit la probabilité équirépartie sur cet universΩ.

On sait que Card(Ω)=

?83? =8×7×63!=56 (a) Cette probabilité est ?33?

56=156. RéponseA.

(b) La probabilité de tirer 3 boules rouges est?53?

56=1056. La probabilité de tirer 3 boules de la même

couleur est alors 1

56+1056=1156. RéponseA.

2. On répète 5 fois, dans des conditions identiques et indépendantes, la même épreuve de Bernoulli qui con-

siste à tirer une boule de l"urne. Les issues contraires decette épreuve sont : "laboule tirée est noire» (succès

de probabilitép=3/8) et "la boule tirée est rouge» (échec de probabilitéq=1-p=5/8).

SoitXla variable aléatoire qui compte le nombre de boules noires obtenues au cours de ces 5 épreuves. On

sait alors queXsuit la loi binomialeB(5,3/8)

Pour tout entierkcompris entre 0 et 5,P(X=k)=

?5 k??3 8 ?k?5 8 ?5-k (a)P(X=5)= ?3 8 ?5 . RéponseB. (b)P(X=2)= ?52??3 8 ?2?5 8 ?3 . RéponseC.

3. Construisons l"arbre pondéré associé à cette troisième expérience aléatoire.

R 1 5 8? R2 4 7 N2 3 7 N 1 3 8? R2 5 7 N2 2

7(a)PR1(R2) est la probabilité de tirer une boule rouge dans une urne contenant 7 boules : 4 rouges et 3

noires. DoncPR1(R2)=4

7. RéponseB.

(b)P(R1∩N2)=P(R1)×PR1(N2)=5

8×37=1556. RéponseC.

(c) D"après la formule des probabilités totales :

P(R2)=P(R1∩R2)+P(N1∩R2)=5

(d)PN2(R1)=P(R1∩N2) P(N2)=P(R1∩N2)1-P(R2)=15/563/8=57. RéponseC.

Exercice2(obligatoire)

Partie I

On posez=x+i yavecxetyréels. Alors?e(z)=xet?m(z)=y. 1. z=-z?x-iy=-(x+iy)?x-iy=-x-iy?2x=0?x=0 ??e(z)=0?z?iRoùiRdésigne l"ensemble des imaginaires purs. 2. z=z?x-iy=x+iy?-2iy=0?y=0??m(z)=0?z?R.

3. Par définition,|z|=

x2+y2d"où|z|2=x2+y2

De plus,z

z=(x+iy)(x-iy)=x2-(iy)2=x2-i2y2=x2+y2

Par conséquentz

z=|z|2

Partie II

1.OA=|a|=

32+12=?10 ;OB=|b|=

(-1)2+32=?10 ;

OC=|c|=?

5+5=?10

DoncOA=OB=OCce qui signifie queOest le centre du cercle circonscrit au triangleABC.

2. Le pointHa pour affixeh=(2-?

5)+(4-?5)i

Les pointsAetBse placent aisément. Le pointCappartient au cerclede centreO, de rayonOAet à la droite

d"équation réduitey=x. Pour placer le pointH, on utilise la calculatrice et on obtienth≈-0,24+i×1,76

-3-2-10123 -3 -2 -1 0 1 2 3 123
-1 -2 -3

1 2 3-1-2-3OAB

C H

On " voit » queHest l"orthocentre deABC

PartieIII

1.Oest le centre du cercle circonscrit au triangleABC

ssiOA=OB=OCssiOA2=OB2=OC2 ssi|a|2=|b|2=|c|2 ssia a=bb=cc(d"après le résultat établi en I-3.)

2. On posew=

bc-bc (a) En utilisant les propriétés de la conjugaison (pour touscomplexeszetz?, z-z?=z-z?;zz?=zz? et z=z), on obtient : w=bc-bc=bc-bc=bc-bc=-(bc-bc)=-w

On en déduit quewest imaginaire pur.

(b)•(b+c)( b-c)=bb-bc+cb-cc=(bb-cc)+(bc-bc) Orb b=ccd"après III-1. Donc (b+c)(b-c)=bc-bc=w w |b-c|2=(b+c)( b-c) (b-c)(b-c)=(b+c)( b-c) (b-c)(b-c)=b+cb-c Centres Etrangers Juin 20072 http://www.maths-express.com (c) On sait quewest imaginaire pur et que1|b-c|2est un nombre réel (strictement positif).

Il s"ensuit que

1 |b-c|2×west un imaginaire pur c.à.d. que b+c b-cest un imaginaire pur.

3. L"énoncé sous-entend queb+c?=0 (ou queABCn"est pas rectangle enA).

(a) Le vecteur --→AHa pour affixez--→AH=h-a=b+c

Le vecteur--→CBa pour affixez--→CB=b-c

(b) ?--→CB,--→AH? ?-→u,--→AH? ?-→u,--→CB? =arg(z--→AH)-arg(z--→CB) =arg?z--→AH z--→CB =arg ?b+c b-c =π2+kπaveck?Z car b+c b-cest un imaginaire purnonnul.

(c) L"énoncé sous-entend de plus quea+c?=0 (ou queABCn"est pas rectangle enB). D"après la question

précédente, (CB)?(AH) et (CA)?(BH). Le pointHappartient donc à deux hauteurs du triangleABC.

En conséquenceHest l"orthocentre

du triangleABC. Centres Etrangers Juin 20073 http://www.maths-express.com

Exercice2(spécialité)

Partie I

On notesla similitude plane directe d"écriture complexez?=az+boùa?C\{0; 1}. Un pointMd"affixezest invariant parsssiz=az+bce qui équivaut àz-az=bc.à.d.z=b 1-a sadmet donc un unique point invariantΩappelé centre deset d"affixeω=b 1-a

Partie II

1.gadmet pour écriture complexez?=az+baveca=i?

2 etb=2i?2-2.

gest la similitude directe de centre le pointΩd"affixeω=b

1-a=2i?

2-2 1-i?2 -2(1-i? 2)

1-i?2=-2 , de rapport|a|=?2 et d"angle arg(a)=π2

2.M(z)s?-→M1(z1=

z)g?-→M?(z?=i?2z1+2i?2-2) Nous avonsf=g◦soùsest la transformation d"écriture complexez?= z. sest donc la réflexion d"axe (Ox).

PartieIII

1. SoitMun point d"affixez=x+iyavecxetyréels.

M=f(M)?z=i?

2z+2i?2-2?x+iy=i?2(x-iy)+2i?2-2

?x+iy=y?

2-2+i(x?2+2?2)?

?x=y?2-2 y=x? 2+2?2 ??x=(2x+4)-2 y=x?

2+2?2?

?x=2x+2 y=x?

2+2?2?

?x=-2 y=0?z=-2 Ainsi le pointΩ(-2) est l"unique point invariant parf

2. SoitNun point deD. Alors il existe un réelxtel queNait pour affixen=x+i(x+2)

L"image deNparfest le pointf(N) d"affixe

n ?=i? =(x?

2+2?2-2????

x?)+i(x?

2+2?2????

y?) On constate quey?=x?+2. Il en résulte quef(N) appartient àD.

3.σest la réflexion d"axeDetk=f◦σ

(a) Entantquesimilitude indirecte,σadmetuneécriturecomplexe dutypez?=a z+b. OrlespointsA(-2) etB(2i) sont invariants parσ.

D"où le système d"égalités :

?-2=-2a+b

2i=-2ia+bd"où?b=2a-2

2i=-2ia+b.

On en déduit que 2i=-2ia+2a-2?2+2i=a(2-2i)?a=1+i 1-i

D"oùa=(1+i)2

2=i. Puisb=2a-2=-2+2i. Ainsi

σ:z?=i

z-2+2i (b) Déterminons l"écriture complexe dek=f◦σ.

M(z)σ?-→M1(z1)f?-→M?(z?)

?z1=iz-2+2i z ?=i?

2z1+2i?2-2??

?z1=iz-2+2i z ?=i? 2 iz-2+2i +2i?2-2

Ainsikadmet pour écriture complexez?=i?

2(-iz-2-2i)+2i?2-2

Finalement l"écriture complexe dekestz?=?

2z+2?2-2

Centres Etrangers Juin 20074 http://www.maths-express.com (c) On reconnaît l"écriture complexe de l"homothétie de centre le point d"affixe2?2-2

1-?2=2(?

2-1)

1-?2= -2

(c"est le pointΩ) et de rapport? 2 Or on sait queσ◦σ=Id. Ainsif=k◦σ Centres Etrangers Juin 20075 http://www.maths-express.com

Exercice3

Partie I

1. Pour tout réelxdeI,f?(x)?=0. Alors la droiteTn"est pas parallèle à l"axe (O;-→i). DoncTcoupe l"axe (O;-→i)

en un unique pointHdont l"abscisseXTest la solution de l"équation d"inconnueX:f?(x)(X-x)+f(x)=0 f f?(x) ??X=x-f(x) f?(x)Ainsi X

T=x-f(x)

f?(x)

2.Tadmet une équation réduite du typeY=aX+b. Alors la droiteTn"est pas parallèle à l"axe (O;-→j). DoncT

coupel"axe(O;-→j)enununiquepointKdontl"odonnéeYTvérifieYT=f?(x)(0-x)+f(x)YT=f(x)-x f?(x)

Partie II

Soitk?R?,kfixé etfune fonction dérivable sur unRtelle que ?x?R,f?(x)?=0.

1.fvérifie la propriété 1

ssi?x?R,x-XT=k ssi?x?R,x- x-f(x)f?(x) =k ssi?x?R,f(x) f?(x)=k ssi?x?R,f(x)=k f?(x) ssi?x?R,f?(x)=1quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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