[PDF] Baccalauréat S 2004 Lintégrale davril 2004 à mars 2005

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?Baccalauréat S 2004?

L"intégrale d"avril 2004 à mars 2005

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bleus

Pondichéry avril 2004

Amérique du Nord juin 2004.......................................?? Antilles-Guyanejuin 2004.........................................?? Asie juin 2004......................................................?? Centres étrangers juin 2004........................................?? Métropole juin 2004...............................................?? Liban juin 2004.....................................................?? Polynésie juin 2004................................................?? La Réunion juin 2004..............................................?? Antilles-Guyaneseptembre 2004..................................?? Métropole septembre2004........................................?? Polynésie spécialité septembre 2004...............................?? Nouvelle-Calédonie novembre 2004...............................?? Amérique du Sud novembre 2004.................................?? Nouvelle-Calédonie mars 2005....................................??

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2 ?Baccalauréat S Pondichéry1eravril 2004?

Exercice13points

1.Soitula suite définie par :???u

0=0 u n+1=1

2-unpour tout entier natureln

a.Calculeru1,u2etu3. On exprimera chacun de ces termes sous forme d"une fractionirré- ductible. b.Comparer les quatre premiers termes de la suiteuaux quatre premiers termes de la suite wdéfinie surNparwn=n n+1. c.Àl"aided"unraisonnement parrécurrence,démontrerque,pourtoutentier natureln,un= w n.

2.Soitvla suite de terme généralvndéfini parvn=ln?n

n+1? où ln désigne la fonction loga- rithme népérien. a.Montrer quev1+v2+v3=-ln4. b.SoitSnla somme définie pour tout entier naturel non nulnpar : S n=v1+v2+···+vn.

ExprimerSnen fonction den.

Déterminer la limite deSnlorsquentend vers+∞.

Exercice24points

Un joueur dispose d"un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois

urnes U

1, U2et U3contenant chacunekboules, oùkdésigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.

Il y a trois boules noires dans l"urne U

1, deux boules noires dans l"urne U2et une boule noire dans

l"urne U

3, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches.

Les boules sont indiscernables au toucher.

Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé, •s"il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l"urne U1, note sa couleur et la remet dans l"urne U 1; •s"il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l"urne U2, note sa couleur et la remet dans l"urne U 2;

•si le numéro amené par le dé n"est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule

dans l"urne U

3, note sa couleur et la remet dans l"urne U3.

On désigne parA,B,C, etNles évènements suivants :

A: "Le dé amène le numéro 1.»

B: "Le dé amène un multiple de trois.»

C: "Le dé amène un numéro qui n"est ni le 1, ni un multiple de 3.»

N: "La boule tirée est noire.»

1.Le joueur joue une partie.

a.Montrer que la probabilité qu"il obtienne une boule noire est égale à5 3k. b.Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que laboule tirée est noire. c.Déterminerkpour que la probabilité d"obtenir une boule noire soit supérieure à1 2. d.Déterminerkpour que la probabilité d"obtenir une boule noire soit égaleà1 30.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.Dans cette question,kest choisi pour que la probabilité d"obtenir une boule noireen jouant

une partie soit égale à 1 30.
Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.

Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10

-3, la probabilité qu"il obtienne au moins une fois une boule noire.

Exercice38points

PartieA : étude d"une fonctionauxiliaire

Soit?la fonction définie surRpar

?(x)=?x2+x+1?e-x-1.

1. a.Déterminer les limites de?en-∞et en+∞.

b.Étudier le sens de variations de?puis dresser son tableau de variations surR.

2.Démontrer que l"équation?(x)=0 admet deux solutions dansR, dont l"une dans l"intervalle

[1 ;+∞[, qui sera notéeα.

Déterminer un encadrement d"amplitude 10

-2deα.

3.En déduire le signe de?(x) surRet le présenter dans un tableau.

PartieB : étude de la positionrelativede deuxcourbeset calculd"aire Sur la feuille annexe page 5 sont tracées les courbes représentatives de deux fonctionsfetg.

Les fonctionsfetgsont définies surRpar :

f(x)=(2x+1)e-xetg(x)=2x+1 x2+x+1. Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal

O ;-→ı,-→??

sont notéesCfetCg.

1.Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0; 1) et admettent en

ce point la même tangente. a.Démontrer que, pour tout nombre réelx,f(x)-g(x)=(2x+1)?(x) x2+x+1où?est la fonction

étudiée dans lapartie A.

b.À l"aide d"un tableau, étudier le signe def(x)-g(x) surR. c.En déduire la position relative des courbesCfetCg.

2. a.Montrer que la fonctionhdéfinie surRpar

h(x)=(-2x-3)e-x-ln?x2+x+1? est une primitive surRde la fonctionx?→f(x)-g(x).

b.En déduire l"aireA, exprimée en unités d"aire, de la partie du plan délimitée par les deux

courbesCfetCget les droites d"équationsx=-1

2etx=0.

Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10 -4de cette aire.

Exercice4: enseignementobligatoire5points

PartieA

Pondichéry4avril 2004

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.Résoudre dans l"ensemble des nombres complexes l"équation:

z

2-2z+4=0.

Les solutions seront notéesz?etz??,z?désignant la solution dont la partie imaginaire est po- sitive. Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

2.Donner la valeur exacte de?z??2004sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.

PartieB

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal direct

O ;-→u,-→v?

; (unité graphique : 2 cm).

1.Montrer que les points A d"affixe 1+i?

3 et B d"affixe1-i?3 sont sur un même cercledecentre

O dont on précisera le rayon.

Tracer ce cercle puis construire les points A et B.

2.On note O?l"image du point O par la rotationr1de centre A et d"angle-π

2et B?l"image du

point B par la rotationr2de centre A et d"angle+π 2.

Calculer les affixes des points O

?et B?et construire ces points.

3.Soit I le milieu du segment [OB].

a.Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangleAO?B?? b.Calculer l"affixe du vecteur-→AI. Montrer que l"affixe du vecteur---→O?B?est égale à 3? 3-i. c.La conjecture émise à laquestionaest-elle vraie?.

Exercice4: exercicede spécialité5points

L"espace (E) est muni d"un repère orthonormal

O ;-→ı,-→?,-→k?

On considère les points A(0; 5; 5) et B(0; 0; 10).

O,-→?,-→k?

On noteCle cercle de centre B passant par A.

Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercleC.

2.OnnommeSla sphère engendrée par larotation ducercleCautour del"axe (Oz)etΓle cône

engendré par la rotation de la droite (OA) autour de l"axe (Oz). a.Démontrer que le côneΓadmet pour équationx2+y2=z2. b.Déterminer l"intersection du côneΓet de la sphèreS. Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques. c.Illustrer ces objets par un schéma dans l"espace.

3.On coupe le côneΓpar le plan P1d"équationx=1.

Dans P

1, l"une des trois figures ci-dessous représente cette intersection.

Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires.

4.SoitM(x;y;z) un point du côneΓdont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls.

Démontrer quexetyne peuvent pas être simultanément impairs.

Pondichéry5avril 2004

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Figure 1 Figure 2 Figure 3

Pondichéry6avril 2004

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice3

1 2 3-1

-0,5 -1,00,5quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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