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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie Indexexercice C page 222 Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004 ....................................................... 1
exercice C page 222 Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004Un employé se rend à son travail en bus. S'il est à l'heure, il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition
par l'entreprise, s'il est en retard, il prend le bus de la ville, il lui en coûte 1,50 €.Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est 1
5; s'il est en retard
un jour donné la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est 1 20.Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Rn l'évènement : " l'employé est en retard le jour n ». On note
pn , la probabilité de Rn et qn , celle de Rn. On suppose que p1 = 0.1. Détermination d'une relation de récurrence.
"La différence entre le mot juste et un mot presque juste est la même qu'entre l'éclair et la luciole." Mark Twain
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pn qn Rn RnRn1
Rn1
Rn1
Rn1
1 20 1 5 19 20 4 5 pn1Bac 2004 Centres étrangers exercice 2
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie a. Déterminer les probabilités conditionnelles pRn(Rn1) et pRn(Rn1). pRn(Rn1) = 120 (Traduction de la phrase: s'il est en retard un jour donné la probabilité qu'il soit en retard le
lendemain est 1 20.) pRn(Rn1) = 15 (Traduction de la phrase: Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en
retard le lendemain est 1 5.) b. Déterminer p ( Rn1 ∩ Rn) en fonction de pn et p(Rn1 ∩ Rn) en fonction de qn. p ( Rn1 ∩ Rn) = pRn(Rn1) × p( Rn) = 120 pn.
p( Rn1 ∩ Rn) = pRn(Rn1) × p(Rn)= 15 qnc. Exprimer pn1 en fonction de pn et de qn.
pn1 = p( Rn1) = p (Rn1 ∩Rn) + p(Rn1 ∩ Rn) = 1
20 pn + 1
5 qn d. En déduire que pn1 = 1 5 - 3 20pn. Or, pn + qn = 1, d'où, pn1 = 120 pn + 1
5(1 - pn) = 1
5 - 3 20pn.2. Étude de la suite (
pn)..Pour tout entier naturel non nul n, on pose
vn = pn - 4 23.a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison - 3 20. vn1 = pn1 - 4 23 =
1 5 - 3
20pn - 4
23Or, pn = vn + 4
23, d'où, vn1 = 1
5 - 320(vn + 4
23) -4
23 = -
320 vn + 1
5 - 320×
423 - 4
23Comme 1 5 - 3
20× 4
23 -4 23 =
1 5 - 4 23(
3
20 + 1) =
1 5 - 423× 23
20 = 1
5 - 1 5 = 0On en déduit:
vn1 = - 3 20 vn (vn) est une suite géométrique de raison - 320 de premier terme v1 = 0 -
423 = -
4 23.b. Exprimer vn puis pn en fonction de n.
Par conséquent: vn = -
423 -3
20n-1
et pn = - 423 -3
20n-1
4 23.c. Justifier que la suite ( pn) est convergente et calculer sa limite.
"La différence entre le mot juste et un mot presque juste est la même qu'entre l'éclair et la luciole." Mark Twain
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Bac 2004 Centres étrangers exercice 2
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieComme -1 < - 3
20 < 1, la suite géométrique (vn) converge vers 0, et, la suite pn converge vers 4
23.Arbre de probabilité
"La différence entre le mot juste et un mot presque juste est la même qu'entre l'éclair et la luciole." Mark Twain
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