[PDF] Un tour du (Vander)monde en 70 minutes

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Un tour du (Vander)monde en 70 minutes

Stage intensif d"Autrans

Pr´eparation Capes 2008-2009

Universit´e Joseph Fourier

1

Le pr´etexte

ainombres r´eels (ou ´el´ements d"un anneau),a= (ai)1?i?n

Matrice de Vandermonde :Mi,j=aj-1

i,1?i,j?n.

M= VdM(a) =(((((((1a1a21... an-11

1a2a22... an-12

1ana2n... an-1n)))))))

On s"int´eresse au d´eterminantV(a) = det(M). 2

Rappels matrices/d´eterminants

?a b c d?????? =ad-bc. ?a b c d e f =aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg. Idem pour un d´eterminant de taillen×nmais avecn! termes sign´es. Formule explicite : det(A) =? S n= groupe des permutations.ε= signature : au choix, nombre de transpositions, ou bienε(γ) = (-1)?(γ)-1pour tout cycleγde longueur?(γ), puis produit sur des cycles de supports disjoints. 3

MatriceA?application lin´eaireL:Rn→Rn

L(v) =AvpourvdansRn. det(A) d´ecrit l"effet deLsur les volumes (au signe pr`es) : pour "tout"K?Rn, vol(L(K)) =|det(A)|.vol(K). Exemples : Rotation/sym´etrie det(A) =±1, projection det(A) = 0. Exercice : v´erifier la formule classique avec le cube unit´eK0. On doit trouver|det(A)|= volume du parall´elotopeL(K0). Cas plan :L(K0) est un parall´elogramme d"aire ´egale au produit des longueurs des vecteurs multipli´e par le sinus de l"angle. Formule de l"aire d"un parall´elogramme = d´eterminant 2×2. 4

Application lin´eaire?matrice(s)

L:E→Elin´eaire,Eespace vectoriel, basesv= (vi)ietw= (wi)i,

A= Matv(L),B= Matw(L), alors det(A) = det(B).

(Rappel :B=P-1AP.) Attention : siL:E→F, le d´eterminant deA= Matv,w(L) d´epend des basesvdeEetwdeF.

Remarques :

- PourAetBmatrices carr´ees, det(AB) = det(A)det(B) (´evident avec les volumes) (morphisme de groupes). - Si det(A) = 0, det(AB) = 0 pour toute matriceBdoncAn"est pas inversible. R´eciproque vraie. 5

La d´efinition classique

On appelled´eterminanttoute application deRn×ndansR, multilin´eaire, altern´ee et norm´ee. Th´eor`emeIl existe un et un seul d´eterminant.

Notations :Ci(A) colonneideA,Lj(A) lignejdeA.

Cons´equences directes : Si deux lignes (colonnes) sont ´egales, alors det(A) = 0. Donc det(A) inchang´e si on ajoute `aCi(A) une combinaison lin´eaire desCj(A),j?=i. Idem avec les lignes. 6

Retour `a Vandermonde

M=(((((((1a1a21... an-11

1a2a22... an-12

1ana2n... an-1n)))))))

etV= det(M).

Cas facile : siai=ajaveci?=j,V= 0.

Sinon : comment calculerV?

7

Quelques id´ees `a essayer

•R´ecurrence :V(a1,...,an) `a partir deV(a1,...,an-1)? •Alg`ebre : racines, polynˆomes, degr´e, etc.? •Calcul diff´erentiel : (a1,...,an)?→V(a1,...,an) est une fonction deRndansR, d´eriver, int´egrer? 8

M´ethode "calcul diff´erentiel"

A(t) matrice fonction detdansR

D(t) = det(A(t)),ci(t) =Ci(A(t))

D ?(t) =n?

ExempleA=((((cos(d+a) sin(d+a) cos(b-c)

cos(d+b) sin(d+b) cos(c-a) cos(d+c) sin(d+c) cos(a-b))))) avec (a,b,c,d) r´eels. Calculer det(A). (Indication : faire varierd.) 9

Retour aux m´ethodes "alg´ebriques"

PropositionLa matriceMest inversible si et seulement si les nombres r´eelsaisont deux `a deux distincts. 10 PropositionLa matriceMest inversible si et seulement si les

nombres r´eelsaisont deux `a deux distincts.Preuve : calcul du d´eterminant (patience), ou bien on r´esout

l"´equation

MV= 0,inconnueVdansRn.

Indication :

V= (vi)0?i?n-1, polynˆomePV(X) =n-1?

i=0v iXi. Alors... ...doncMest inversible, cqfd. 11

Premi`ere application

PropositionLes vecteurs propres d"une matrice associ´es `a des valeurs propres diff´erentes sont lin´eairement ind´ependants. 12 PropositionLes vecteurs propres d"une matrice associ´es `a des

valeurs propres diff´erentes sont lin´eairement ind´ependants.Preuve :AVi=λiViavecVi= (vki)kvecteurs non nuls etλi

scalaires distincts. On veut r´esoudre ix iVi= 0 (inconnue (xi)i).

En appliquantjfoisA:?

iλjixiVi= 0 pour tout entierj?0. Pour toute coordonn´eek, le vecteurYk= (xivki)iest solution de M tYk= 0 avecM=Vandermonde(λ1,...,λn). Lesλisont distincts doncMest inversible doncMtaussi doncYk= 0. x ivki= 0 pour tousietkdoncxiVi= 0 pour touti. Comme V i?= 0,xi= 0, cqfd. 13

Seconde application : interpolation polynomiale

n+ 1 points (ai,bi), 0?i?n, dans le plan.

Objectif :Trouver un polynˆomeP=n?

j=0c jXjde degr´e au plusn qui passe par les points(ai,bi). Existence, unicit´e? 14 n+ 1 points (ai,bi), 0?i?n, dans le plan.

Objectif :Trouver un polynˆomeP=n?

j=0c jXjde degr´e au plusn qui passe par les points(ai,bi). Existence, unicit´e?Il suffit de traduire :? jc j(ai)j=bipour tout 0?i?nsignifie queMC=BavecC= (ci)i,B= (bi)i,M=VdM(a0,a1,...,an) Si les abscissesajsont deux `a deux distinctes, det(M)?= 0 doncC existe et est unique (C=M-1B). ConclusionLe polynˆomePexiste et est unique (et en plus on sait le calculer, modulo l"inversion d"une matrice de Vandermonde de taillen+ 1). 15

Finalement, la valeur dedet(M)!

det(M) =πn(a) avecπn(a) =?

1?i 16

Premi`ere preuve

On remplaceCiparCi-a1Ci-1en partant deCnet en remontant jusqu"`aC2. Le d´eterminant reste inchang´e. La premi`ere ligne vaut (1,0,...,0). La premi`ere colonne vaut (1,1,...,1). On peut factoriser (ai-a1) dansCi. On d´eveloppe selon la premi`ere ligne : det(M) =?

2?j?n(ai-a1)det(M?)

avecM?= VdM(a2,...,an). Par r´ecurrence, on retrouve le r´esultat annonc´e. (Initialisation?) 17

Une autre preuve

Vest un polynˆome en (a1,a2,...,an) qui s"annule lorsqueai=aj aveci?=j(puisqu"alors deux lignes sont identiques). DansR[a1,...,an],V(a1,...,an) =πn(a1,...,an)Q(a1,a2,...,an) avecQpolynˆome. Or le degr´e enandeVest au plus (n-1) (on d´eveloppeMselonCn(M)), le degr´e deπnenanest (n-1) pour (a1,...,an-1) fix´e non "exceptionnel" doncQest une constante relativement `aan. Idem pouraipour touti(invariance parSn) doncQest constant. AinsiV=knπnet il reste `a calculer la valeur des scalaireskn. 18

Calcul dekn:r´ecurrence surn?1.

V(a1) = 1 =π1(a1) (produit vide) et

V(a1,a2) =a2-a1=π2(a1,a2) donck1=k2= 1. Pourn?2, on calcule le terme de plus haut degr´e enandansV(a1,...,an) en d´eveloppant selon la derni`ere colonne : on obtient le cofacteur de a n-1nsoitV(a1,...,an-1), donckn-1πn-1(a1,...,an-1)an-1n. Le terme de plus haut degr´e enandansknπn(a1,...,an) est k nπn-1(a1,...,an-1)an-1ndonckn=kn-1donckn= 1, cqfd. 19

Preuve de Cauchy (1812)

D´efinitionPolynˆome sym´etrique : invariant par permutation des variables.

Exemple :P(x,y,z) =x2y+x2y2+x2yz+x2z+x2z2+xy2+

xy

2z+xyz2+xz2+y2z+y2z2+yz2.

D´efinitionFonction altern´ee : valeur oppos´ee quand on transpose deux variables.

Exemples :f(x,y) =x-y,

f(x,y,z) = (sin(x)-sin(y))(sin(x)-sin(z))(sin(y)-sin(z)).

Lemmes

(1)Une fonction altern´ee des variables (x1,x2,...,xn) est nulle sur chacun des hyperplansxi=xj. (´Evident.) (2)Vest un polynˆome altern´e des variablesai. (Preuve : on

´echange deux lignes de la matrice.)

20 (3)πnest un polynˆome altern´e de degr´e1

2n(n-1). (´Evident.)

(4)SiPest un polynˆome altern´e en les variables (a1,a2,...,an), de degr´ed, alorsP=πnSo`uSest un polynˆome sym´etrique de degr´ed-1

2n(n-1).

Preuve de (4)

P/π

nest une fraction rationnelle sym´etrique de degr´e (comme fraction rationnelle)d-1

2n(n-1). Reste `a montrer queP/πnest

un polynˆome. Le polynˆomea1?→P(a1,a2,...,an) s"annule en chaqueaipour i?2. Si lesaisont distincts, cesn-1 racines sont distinctes donc

P(a1,a2,...,an) =?

i?2(ai-a1)P1(a1,a2,...,an) avecP1polynˆome en (a1,a2,...,an). (Et si desaisont ´egaux? Continuit´e!) On recommence avecP1: le polynˆomea2?→P1(a1,a2,a3,...,an) s"annule en chaqueaipouri?3 donc 21

P1(a1,a2,...,an) =?

i?3(ai-a2)P2(a1,a2,...,an) avecP2 polynˆome en (a1,a2,...,an). Etc.

DoncP=πnSavecSpolynˆome, cqfd.

((CorollaireTout polynˆome altern´e est de degr´e au moins

12n(n-1).))

(5)Il reste `a calculer le coefficient dominant deV: ici degr´e(S) = 0 doncSest constant. Le terme ena01a12...an-1ndans nrevient `a choisir le premier terme de chaque parenth`ese donc (j-1) fois le coefficientaj, donc coefficient dominant +1. 22

Application : Un exemple de Jacobien

ipolynˆome sym´etrique ´el´ementaire de degr´eien les inconnues (x1,...,xn). Σ :Rn→Rn, (x1,...,xn)?→(σ1,...,σn). PropositionLe Jacobien de l"applicationΣnau point(x1,...,xn) vautV(x1,...,xn)au signe(-1)n(n-1)/2pr`es.

Preuve

j ipolynˆome sym´etrique ´el´ementaire de degr´eien les (n-1) inconnuesxkavec 1?k?nmaisk?=i. i=xjσj i-1+σj i(conventionσj 0= 1) (∂/∂xj)σi=σj i-1donc la matrice jacobienne vaut J n= (σj i-1)1?i,j?n. Par des op´erations sur les lignes et colonnes, on peut ramener le calcul de det(Jn) `a celui deVn(compl´eter). 23
quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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