[PDF] [PDF] Sommaire 1 Déterminant de n vecteurs dans une base B

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Déterminants1-1Sommaire

1. Déterminant denvecteurs dans une

baseB1

1.1. Formen-linéaire alternée surE. . . . . .1

1.2. Déterminant dans une baseB. . . . . .1

1.3. Propriétés élémentaires

. . . . . . . . . . 2

1.4. Déterminant dans une baseB0. . . . .2

1.5. Caractérisation des bases

. . . . . . . . 2

2. Déterminant d"un endomorphisme3

2.1. Déterminant dans une baseB. . . . . .3

2.2. Déterminant d"un endomorphisme

. . . . 3

2.3. Caractérisation des automorphismes

. . 3

2.4. Déterminant de la composée

. . . . . . . 3

3. Déterminant d"une matrice carrée4

3.1. Déterminant d"une matrice carréeA

dans une base . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Déterminant d"un produit. . . . . . . . . 4

3.3. Déterminant de 2 matrices semblables

. 4

3.4. Déterminant d"une matrice carréeA. .5

3.5. Déterminant de la transposée

. . . . . . 5

4. Calcul de déterminants5

4.1. En dimension 2 et 3

. . . . . . . . . . . . 5

4.2. Déterminant d"une matrice triangulaire

. 5

4.3. Dév. selon une ligne ou colonne

. . . . . 6

4.4. Opérations sur les lignes et colonnes

. . 7

4.5. Dét. d"une matrice triangulaire par blocs7

4.6. Exemples

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. Compléments9

5.1. Produit de matrices définies par blocs

. . 9

5.2. Colbert, lycée numérique

. . . . . . . . . 9

5.3. Les mathématiciens du chapitre

. . . . . 10Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel surŠ(‘ou‚), etB=(e1;e2;:::;en)est une base.

1. Déterminant denvecteurs dans une baseB

1.1. Formen-linéaire alternée surE

Définition :

E un espace vectoriel de dimensionnsurŠ,f:8

>><>>:E n!Š (u1;u2;:::;un)7!f(u1;u2;:::;un)

On dit quefestn-linéaire alternée

,8 >><>>:f(u1;u2;:::;:ui+:u0i;:::;un) =:f(u1;u2;:::;ui;:::;un) +:f(u1;u2;:::;u0i;:::;un) f(u1;u2;:::;ui;:::;uj;:::;un) =f(u1;u2;:::;uj;:::;ui;:::;un) pour tous les vecteursu1;:::;un, tous les scalaires;et pouri,j

C"est à dire qu"elle est linéaire par rapport à chacune des variables et que l"échange de 2 variables la

transforme en son opposé.Ainsi, quand on a 2 fois le même vecteur, la forme est égale à son opposée et donc nulle...

1.2. Déterminant denvecteurs dans une baseB

Théorème :Sifestn-linéaire alternée et sif(e1;e2;:::;en) = 1, alorsfest complètement définie.

Démonstration :Il suffit en effet de développer parn-linéarité et d"utiliser le caractère alterné pour

remettre les vecteurs dans le " bon » ordre. Le résultat s"exprime donc en fonction def(e1;e2;:::;en)

car les autres termes sont nuls. Le coefficient ne dépend que des règles de calcul et non pas def. On

a donc le résultat dès qu"on fixe la valeur def(e1;e2;:::;en).Définition :Le déterminant de (u1;u2;:::;un) dansBestf(u1;u2;:::;un) oùfest la formen-linéaire

alternée vérifiantf(e1;e2;:::;en) = 1.

On le note det(u1;u2;:::;un)BCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

1-2Déterminants1.3. Propriétés élémentaires

Théorème :Échanger 2 vecteurs multiplie le déterminant par1.Théorème :Si on a deux fois le même vecteur dans un déterminant, celui-ci est nul.Théorème :Si un vecteur est combinaison linéaire des autres vecteurs, le déterminant est nul.Démonstration :En développant par linéarité par rapport à ce vecteur, on n"obtient que des détermi-

nants qui contiennent 2 fois le même vecteur, et sont donc nuls.Théorème :Ajouter à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs ne change pas le

déterminant.Démonstration :Ceci est une conséquence immédiate du théorème précédent.Théorème :Multiplierun seuldes vecteurs parmultiplie le déterminant par.1.4. Déterminant dans une baseB0=e01;e02;:::;e0n

Théorème :2 formesn-linéaires alternées sont proportionnelles.

Démonstration :Les règles de calcul qui permettent de tout exprimer en fonction def(e1;e2;:::;en)

restent les mêmes que l"on travaille avec la formen-linéaire alternéefoug. Ainsi, on a :f(u1;u2;:::;un) = Kf(e1;e2;:::;en) et :g(u1;u2;:::;un) = Kg(e1;e2;:::;en). K est le même dans les deux cas, il ne dépend que deu1;u2;:::;un, pas defoug.

On a donc bien untel que :g(u1;u2;:::;un) =f(u1;u2;:::;un) pour tous lesu1;u2;:::;un.Or les déterminants dans différentes bases sont des formesn-linéaires alternées et sont donc propor-

tionnels. Ceci nous donne : det(u1;u2;:::;un)B0=det(u1;u2;:::;un)Bpour tout (u1;u2;:::;un).

Et enfin :8

>><>>:det(u1;u2;:::;un)B0= det(u1;u2;:::;un)Bdet(e1;e2;:::;en)B0 det(u1;u2;:::;un)B= det(u1;u2;:::;un)B0det(e01;e02;:::;e0n)B Ce sont les formules de changement de base des déterminants de vecteurs. Pour la première relation, on calculeen remplaçant (u1;u2;:::;un) par (e1;e2;:::;en).

Pour l"autre, on échange simplement les rôles deBet deB0.Si on applique ce dernier résultat à (e1;e2;:::;en),

on obtient : 1 = det(e1;e2;:::;en)B0det(e01;e02;:::;e0n)B Ce qui prouve qu"un déterminant d"une base dans une autre est non nul.

1.5. Caractérisation des basesThéorème :(u1;u2;:::;un) est une base de E,det(u1;u2;:::;un)B,0Démonstration :Si la famille est liée, le déterminant est clairement nul.

Si la famille est libre, (u1;u2;:::;un) est une base qu"on noteB0, d"où : det(u1;u2;:::;un)B0= det(u1;u2;:::;un)Bdet(e1;e2;:::;en)B0= 1.

Ce qui entraîne det(u1;u2;:::;un)B,0, comme on vient de le voir.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Déterminants1-32. Déterminant d"un endomorphisme

2.1. Déterminant d"un endomorphisme dans une baseB

Définition :': E!E un endomorphisme etBune base de E, det (')B= det('(e1);'(e2);:::;'(en))B

2.2. Déterminant d"un endomorphisme

Théorème :SiBetB0sont 2 bases de E, det(')B= det(')B0

Démonstration :

Comme'est linéaire, l"application (u1;u2;:::;un)7!det('(u1);'(u2);:::;'(un))Best une forme n-linéaire alternée! C"est donc un déterminant. Ainsi, comme deux déterminants sont proportionnels : det et de plus, en remplaçant lesuiparei:= det('(e1);'(e2);:::;'(en))B= det(')B

D"où :8

>><>>:det ('(u1);'(u2);:::;'(un))B= det('(e1);'(e2);:::;'(en))Bdet(u1;u2;:::;un)B det ('(u1);'(u2);:::;'(un))B= det(')Bdet(u1;u2;:::;un)B De même, dans la baseB0: det('(u1);'(u2);:::;'(un))B0= det(')B0det(u1;u2;:::;un)B0. Propriété qu"on applique aux vecteurseid"où le premier résultat : det ('(e1);'(e2);:::;'(en))B0= det(')B0det(e1;e2;:::;en)B0

On utilise maintenant la propriété générale de changement de base avec les vecteurs'(ei), ce qui

donne le second résultat : det ('(e1);'(e2);:::;'(en))B0= det('(e1);'(e2);:::;'(en))Bdet(e1;e2;:::;en)B0 det ('(e1);'(e2);:::;'(en))B0= det(')Bdet(e1;e2;:::;en)B0

On égale et on simplifie par det(e1;e2;:::;en)B0dont on a montré qu"il est bien non nul, ce qui nous

permet de conclure : det

(')B= det(')B0Conclusion :On peut parler du déterminant d"un endomorphisme puisqu"il ne dépend pas de la

base choisie. On a donc le libre choix de la base pour calculer ce déterminant.

2.3. Caractérisation des automorphismesThéorème :Soit'un endomorphisme de E,

'est un automorphisme,det('),0Démonstration :On sait que'est un automorphisme,('(e1);'(e2);:::;'(en))est une base.

Ce qui équivaut à : det

('(e1);'(e2);:::;'(en))B,0, c"est à dire det('),02.4. Déterminant de la composée de 2 endomorphismes

Théorème :'et deux endomorphismes de E, alors det

(' )= det(')det( )Démonstration :La propriété est immédiate quand n"est pas inversible car alors' ne l"est pas

non plus et les deux termes sont nuls.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

1-4DéterminantsSi est inversible, on noteB0=e01;e02;:::;e0n=( (e1); (e2);:::; (en)). Alors

det (' )= det('(e01);'(e02);:::;'(e0n))B = det = det (')det( (e1); (e2);:::; (en))B = det (')det( )3. Déterminant d"une matrice carrée

3.1. Déterminant d"une matrice carréeAdans une base

Une matrice carréenns"interprète comme la matrice d"un endomorphisme'de E dans la baseB.

On pose donc :

Définition :det(A)B= det(')

3.2. Déterminant d"un produit de 2 matrices, de la matrice inverse d"une matrice inversible

Théorème :A;B2Mn(Š)

det (AB)B= det(A)Bdet(B)B

Démonstration :A =MB('), B =MB( ), alors :

AB =MB(' )

det (' )= det(')det( ) det (AB)B= det(A)Bdet(B)BThéorème :A2GLn(Š) detA1

B=1det

(A)B Démonstration :AA1= In, det(In)B= det(IdE)= det(e1;e2;:::;en)B= 1, d"où : det (A)BdetA1

B= 13.3. Déterminant de 2 matrices semblables

On rappelle que deux matrices sont semblables si et seulement si : elles son tles ma tricesd"un même endomorphisme dans deux bases di fférentes, ou bien,

il existe P 2GLn(Š)telle que B = P1APThéorème :A et B, 2 matrices semblables deMn(Š), alors : det(A)B= det(B)BDémonstration :On a P2GLn(Š)telle que B = P1AP, d"où :

det (B)B= detP1

Bdet(A)Bdet(P)B

= detP1

Bdet(P)Bdet(A)B

= detP1P

Bdet(A)B

= det

(A)BCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Déterminants1-53.4. Déterminant d"une matrice carréeA

Le problème est de montrer que le calcul du déterminant d"une matrice ne dépend pas de la base

choisie.

C"est à dire que : det

(A)B= det(A)B0.

Soit : A =MB(')=MB0( )

Soit aussi : A

0=MB0(')et P la matrice de passage deBversB0.

On a alors : A

0= P1AP, et donc : det(A0)B0= det(A)B0en appliquant la propriété déjà montrée à la

nouvelle base.

Enfin : det

(A0)B0= det(')= det(A)B0= det( ).

Mais on a aussi : det

(A)B= det(')= det(A)B0. Ce qui achève la démonstration. La notion de déterminant d"une matrice carrée a maintenant bien un sens.

3.5. Déterminant de la transposée d"une matriceThéorème :A2Mn(Š), alors

dettA= det(A)La démonstration est ici admise.

4. Calcul de déterminants

4.1. En dimension 2 et 3

On va d"abord retrouver un résultat bien connu :a c b d = det(u1;u2)= det(a:e1+b:e2;c:e1+d:e2)B = 0 +adbc+ 0 =adbc

En dimension 3, on peut utiliser la règle de Sarrus, qui se montre de la même façon, en n"oubliant pas

qu"elle n"estabsolument pas généralisableà un ordre autre que 3...a d g b e h c f i =aei+dhc+gbfcegf haibd

4.2. Déterminant d"une matrice triangulaire.Théorème :=

a 1x y

0a2::::::

::::::an1z 0 0an

=a1a2:::an1anCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

1-6DéterminantsDémonstration :On factorise para1, et, en enlevant le bon nombre de fois le premier vecteur aux

autres, on amène des 0 sur la première ligne et on obtient : a 1x y

0a2s t

::::::an1u 0 0an =a1 1x y

0a2s t

::::::an1u 0 0an =a1

1 0 0 0 0

0a2s t

::::::an1u 0 0an On recommence ensuite aveca2. On obtient ainsi de suite par une récurrence admise : =a1a2:::an1an 1 0 0 0 1 ::::::1 0 0 0 1 =a1a2:::an1an4.3. Développement suivant une ligne ou une colonne

La règle des signes est :

++ (1)n+1 ++ (1)i+j (1)n+1+ On remarque qu"on a (1)i+jeni`emeligne etj`emecolonne.

On développe suivant une ligne ou une colonne en tenant compte de la règle de signes (1)i+jaijij

oùaijest le coefficient de la matrice etijest le déterminant obtenu en enlevant la ligneiet la colonne

jcorrespondante. On admet ce résultat.Théorème :On peut développer selon lajèmecolonne :

=Pni=1(1)i+jaijij ou développer selon laièmeligne :

=Pnj=1(1)i+jaijijIl est important de noter qu"on peutchoisirsa ligne ou sa colonne.Un déterminant est donc unpolynômedes coefficients de la matrice...

Corollaire :En utilisant les notations précédentes, M, une matrice inversible, alors : M 1=1 transposée de0

BBBBBBBBBBBB@:

(1)i+jij :::1

CCCCCCCCCCCCACours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Déterminants1-7Démonstration :Le calcul de Mtransposée de0

BBBBBBBBBBBB@:

(1)i+jij :::1

CCCCCCCCCCCCAdonnepour les termes de

la diagonale et 0 pour les autres puisque cela revient à développer un déterminant qui a 2 colonnes

identiques.4.4. Opérations sur les lignes et les colonnes d"un déterminant. in verserdeux lignes ou deux col onnesm ultipliele déterminan tpar 1

ajouter à une ligne (ou une col onne)une combinaison linéaire des a utreslignes (ou col onnes)ne

change pas le déterminant.

4.5. Déterminant d"une matrice triangulaire par blocs

Théorème :A2Mp(Š), C2Mq(Š), B2Mp;q(Š), O est la matrice nulle deMq;p(Š)etp+q=n.

Alors,A B

O C = det(A)det(C)

On admet ce résultat.Cette propriéténe se généralise pasau déterminant d"une matrice définie par blocs et non

triangulaire par blocs.

Exemple :On va calculer le déterminant :=

1 2ln2 17

3 4eln723

0 0 1 02

0 03 2 0

0 0 0 03

Ce déterminant est celui d"une matrice triangulaire par blocs, dont on fait ressortir ici la structure :

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@0

BBBBB@1 2

3 41

CCCCCAln2

eln717 23
0 0 0 00

BBBBB@1 0

3 21

CCCCCA

2 0

0 0 0 0

(3)1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA.

On a donc, en appliquant deux fois le théorème précédent : 1 2 3 4 1 0 3 2 j3j=(2)2(3)= 12. Attention, ce ne sont pas des valeurs absolues...

4.6. Exemples

On notera les déterminants avec un indice qui correspond à leur rang, qui est toujours plus grand que

1.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

1-8Déterminantsa/ Utilisation d"une formule de récurrence

Soit le déterminantn=

2 1 00

1 2 0 :::::::::0 :::::::::2 1

00 1 2

nqu"on développe selon la 1

èrecolonne,

n= 2n11

1 0 00

1 2 1 0 :::::::::0 :::::::::2 1

00 1 2

n1= 2n1n2 en développant ce déterminant selon la 1

èreligne.

On obtient ainsi la relation de récurrencen= 2n1n2qu"on résout en calculant1et2: b/ Manipulation de lignes ou colonnes

Soit le déterminantn=jabs(ij)jn=

0 1 2n1

1 2 :::::::::2 ::::::::::::1 n12 1 0 navecn>3:

A chaque ligne, de la dernière à la seconde, on enlève la précédente. Ces opérations sont faites succes-

sivement... Il faut bien vérifier qu"on peut les faire successivement et qu"on n"utilise pas une ligne ou

une colonne qui a été modifiée... et qui donc n"existe plus!

On obtient donc :n=

0 1 2n1

111 1
1 1 ::::::::::::1 11 11 n

A chaque ligne, de la dernière à la troisième, on enlève la précédente. Ces opérations sont faites suc-

cessivement... On obtient donc, en développant successivement selon la première et la dernière colonne : n=

0 1 2n1

111 1

0 2 00

00 2 0

n=

1 2 n1

2 0 0

0 2 00

00 2 0

n1=(1)n(n1) 2 00 0 :::::::::0 00 2 n2

Enfin,n=(1)n+1(n1)2n2Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Déterminants1-95. Compléments

5.1. Produit de matrices définies par blocs

Il ne s"agit pas ici à proprement parler de calculs de déterminants...

Si deux matrices sont définies par blocs, on peut parfois effectuer leur produit en travaillant par blocs.

C"est à dire :0BBBBB@(A) (B)

(C) (D)1

CCCCCA0BBBBB@(A

0) (B0)

(C

0) (D0)1

CCCCCA=0BBBBB@(A)(A0) + (B)(C0) (A)(B0) + (B)(D0)

(C)(A0) + (D)(C0) (C)(B0) + (D)(D0)1 CCCCCALes dimensions des matrices doivent être compatibles, à savoir : Le nombre de colonnesde A et C doit être le nombre delignesde A0et B0. Le nombre de colonnesde B et D doit être le nombre delignesde C0et D0. D"autre part, rappelons que le produit de matrices n"est pas commutatif, l"ordre dans lequel on écrit ces produits est donc fondamental...

5.2. Colbert, lycée numérique

a/ Maple Comme pour tout l"algèbre linéaire, il faut d"abord charger l"extensionLinearAlgebra: > with(LinearAlgebra); Ensuite, c"est simplement l"instructionDeterminantqui calcule un déterminant : > Determinant(A); > MatrixInverse(A);inverse une matrice inversible. > Transpose(A);transpose une matrice, et > Rank(A);donne son rang. Pour ces 3 instructions, on se méfiera quand la matrice dépend d"un paramètre. Dans ce cas, la réponse fournie correspond en général au cas général. On rappelleVectoretMatrixpour créer un vecteur ou une matrice, on rappelle que le produit des

matrices est le point décimal : ".», car Maple considère à priori tous les produits comme commutatifs.

Vectorpermet de préciser si on a un vecteur ligne ou un vecteur colonne.

Un vecteur ligne se rentre aussi comme une matrice à 1 ligne, un vecteur colonne comme une matrice

à 1 colonne ou en utilisant :.

Rappelons que suivreOutils/Tâches/Naviguer/Linear Algebrapermet d"accéder à de nombreuses tâches prédéfinies.

Enfin, l"instructionevalmest souvent nécessaire pour avoir le contenu effectif d"une matrice à l"écran.

b/ HP 40G-40GS On crée une matrice ou un vecteur en utilisantMATRIX, L8C2, puisF1ouF2, marquées iciEDITetNEW. Dans ce dernier cas, il faut choisir si c"est une matrice ou un vecteur. Les commandes de matrices sont dans le menuMATH, L4C2, choisirMatrix. Malheureusement, cette calculatrice n"admet que des matrices à coefficients numériques. On trouveDETpour le déterminant,-1pour l"inverse, mais la touche inverse (L6C5) convient aussi, TRNpour la transposée, ou la transconjuguée, etRANKpour le rang. On a aussiCROSSpour le produit vectoriel etDOTpour le produit scalaire de 2 vecteurs. Enfin, on trouveIDENMATpour générer la matrice identité. c/ HP 50G

On crée une matrice ou un vecteur en utilisantMTRW, L4C3, puisF1, marquée iciEDITetF2qui permet

d"indiquer. si c"est une matrice ou un vecteur.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

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