[PDF] Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel

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1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR

Chapitre IV

vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs

Dans ce chapitre ܧ

I Familles libres, génératrices, bases

1. Définitions

Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire - Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.

Définition de famille génératrice

Définition de base

Une famille ࣠ de ܧ est une base de ܧ si et seulement si ࣠ est libre et génératrice de ܧ

2. Bases et coordonnées

Démonstration :

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Soit ݒԦܧא

3. Exemples

composantes ݔ௜ de ݒԦ. Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.

Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de Թ௡ forment une base du plan engendré par ces

deux vecteurs.

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- Թ૜ défini par une équation vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de ܲ

Remarque

vecteurs de manière optimale-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, le et pas 100 ! déterminé par ݊൅ͳ coefficients. - Une famille de 3 vecteurs de Թ૜ (cf. cours)

4. La ndimension finie

Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Définition : ܧ est de dimension finie si ܧ génératrice finie.

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5. Propriétés clés

Les propriétés suivantes seront utilisées très souvent dans les preuves et les exercices.

Propriété 1 : Soit ࣠ une famille libre de ܧ. Alors la famille ࣠ᇱൌ࣠׫

et seulement si ݒԦܸב݁ܿ Propriété 2 : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ Alors ࣠ est liée si et seulement si il existe un vecteur ݒԦא

génératrice. Autrement dit, si et seulement si ׌ݒԦא࣠ tel que ݒԦܸא݁ܿ

כSi ߣ non tous nuls. כ Si ߣ ଴ tel que ߣ

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ce qui est en fait un élément de ܸ݁ܿ

6. Deux méthodes de construction de bases

Théorème d

espace vectoriel de dimension finie). Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 :

Théorème de la base incomplète

Soit ܧ

famille génératrice de ܧ. Il faut compléter ࣠ en une base de ܧ de la propriété 1 :

՜Si oui, on garde ࣠.

כ On recommence pour tous les autres vecteurs de ܩ

Ce qui veut dire que ࣠௡ est libre et génératrice de ܧ, -à-dire est une base de ܧ

Exemple : Plan vectoriel. Cf. cours.

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II algèbre de cette année !

1. Définitions

Théorème fondamental : dimension et cardinal des bases

Soit ܧ

Alors toutes les bases de ܧ

dimension de ܧ et se note ܧ. On a de plus ܧ

Exemples :

- Les espaces vectoriels de dimension ͳ sont les droites vectorielles. Les espaces vectoriels de dimension ʹ sont les plans vectoriels, etc.

Intuitivement, on peut dire que la dimension ܧ

dont dépend un vecteur de ܧ : ԹଷǡԹସ ou Թଵ଴଴.

Lemme clé

Soit ܧ un espace vectoriel engendré par ݊ vecteurs. Alors toute famille libre de ܧ cardinal inférieur ou égal à ݊.

Lemme clé ֜

Démonstration du lemme : On procède par récurrence sur ݊. va montrer que ݌൐݊ implique que ࣠ est liée.

՜ Si ߣ

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՜ Si ߣ

On regarde le cas ܧ engendré par ݊ vecteurs : ܧൌܸ݁ܿ

On a donc ܧൌܧ

(S) ൝

݊െͳ vecteurs. Comme ܽܿ

(i.e. toute famille libre de E est de cardinal inférieur ou égal à ݊െͳ).

՜ Sinon, il existe au moins un ߣ௜ ߣ

ఒభ. On jecte dans les lignes suivantes du système (S). On trouve que

2. Conséquences importantes

Théorème

Soit ܧ

est une base de ܧ

ii) Toute famille génératrice de ܧ a au moins ܧ éléments. Si une famille génératrice de ܧ

a exactement ܧ ܧ

Corollaire utile

࣠ de ܧ

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Problème : montrer que ࣠ est génératrice. Soit ݒԦ un vecteur quelconque de ܧ. La famille ࣠׫ . On a donc, par la propriété clé 1, ݒԦܸא݁ܿ

࣠ est donc génératrice (de tout ݒԦܧא). ࣠ étant génératrice de ܧ ܧ

Démonstration ii) : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ avec ܧ : ࣠ génératrice avec ܧ sinon on peut extraire une sous famille qui est une base de ܧ

Propriété de la croissance de la dimension

Soit ܧ un ev de dim finie et ܨ un sev de ܧ i) ܨ de dimension finie et ܨ൑ܧ ii) Si de plus ܨൌܧ alors ܨൌܧ - Il y a une in : les droites vectorielles. - Il y a une in : les plans vectoriels. - on 3 : Թଷ lui-même.

Démonstration i) :

- Si ܨ automatiquement ݌൑ܧ

݊). Montrons que ܮ est une base de ܨ

Soit ݒԦܨא quelconque. On considère ܮᇱൌ׫ܮ

3. Rang des systèmes de vecteurs

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dimension de ܸ݁ܿ Attention de ne pas confondre le rang et le ! Le cardinal est une notion plus abstraite basée sur la dimension.

Proposition :

Démonstration i) : ܸ݁ܿ

࣠ est donc une base de ܸ݁ܿ Problème : Donner le rang de ࣠ en fonction de ܽ - Si ܽ libre et à 3 éléments. - Si ܽ

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III utilité des notions abstraite

vectoriel, de base et de dimension

1. Le problème

cherche une fonction ݂ aussi simple et régulière que possible dont le graphe passe par ces -à-dire telle que

On cherche une fonction interpolatrice ܲ

possible. Analyse : Le problème est linéaire par rapport à ܲ

Si on a ൝

et ൝ et אߣ

Alors ൝

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Synthèse : On pose

On a une solution du problème général en posant interpolateur de Lagrange. On a Théorème 1 : unique polynôme de degré inférieur ou égal à

Soit ܧ

Démonstration du TH1 en utilisant le TH2 :

faut montrer que ܲ ge.

Démonstration du TH2 :

libre.

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Soient ߣ଴ǡߣଵǡǥǡߣ௡ିଵ tels que ߣ଴ܲ଴൅ߣଵܲଵ൅ڮ൅ߣ௡ିଵܲ

Alors, ׊ݔאԹǡߣ଴൅ߣଵݔ൅ڮ൅ߣ Ce qui montre que ߣ଴ൌߣଵൌڮൌߣ

On a donc ܧ

On pose ܧൌᇱ. ܧ

Vérifions. On a pour tout ݊א

Un exemple célèbre : ܽൌܾൌͳ֜ Problème : On veut les formules explicites ֜ Idée : On cherche des suites solution sous la forme ݑ௡ൌݎ௡ avec ݎא caractéristique. - Si ߂ - Si ߂ en exo).

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Théorème

tout ݊אԳ, on ait ݑ௡ൌߣଵݎଵ௡൅ߣ Conditions nécessaires : ൜ߣଵ൅ߣ

E est n espace vectoriel, il est donc stable par la loi +) avec ݓ଴ൌͲ et ݓଵൌͲ.

La preuve pour le cas ߂

On doit donc avoir ݑ௡ൌߣ

avec ൝

On trouve ݑ௡ൌଵ

(est un entier !)

Pour n assez grand, ݑ௡ ଵ

On peut donner la croissance de la suite de Fibonacci. On a :

՜ ». Elle représentait alors

une " proportion parfaite » (voir Wikipédia pour plus ).

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IV Supplémentaire, somme directe

1. Définitions

ܨ൅ܩ de deux sous espaces vectoriels de ܧ Définitions de somme directe et de supplémentaire

1) On dit que deux sous espaces vectoriels ܨ et ܩ de ܧ

ݒԦൌݔԦ൅ݕԦ avec ݔԦܨאݕԦܩא

2) Dans ce cas, on dit que ܩ est un supplémentaire de ܨ dans ܧ. On le note ܧൌܩْܨ

Premier exemple dans Թ૛:

Proposition : On a ܧൌ֞ܩْܨ൜ܧൌܨ൅ܩ

Démonstration :

(֜) : On suppose ܧൌܧ֜ܩْܨൌܨ൅ܩ. Soit ݒԦܩתܨא

Alors il existe forcément ݔԦܨאǡݕԦܩא décomposition ?

2. Constructions et critères

Théorème

Tout sous espace vectoriel ܧ ܨ

supplémentaire dans ܧ F G

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Démonstration :

Remarque importante sur la preuve

Cette démonstration montre comment fabriquer des supplémentaires : en complétant une base de ܧ ܨ. En particulier, tout sev ܨ de Թ௡ possède un supplémentaire ܩ

particulièrement simple : engendrés par certains vecteurs de la base canonique de Թ௡, i.e. du

type ܩൌܸ݁ܿ

Par exemple, tout plan ܲ

à la fois !

Théorème : critère de somme directe

Soit ܧ un espace vectoriel de dimension finie, ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧ

Lemme : Soient ܨ et ܧ ܩ

F G

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Démonstration du : Caractérisation de ܧൌܩْܨ

On a ܧൌܩْܨ

Démonstration du lemme :

- 1er point à faire en exercice.

Exemples :

- Dans Թଷ : une droite ܦ et un plan ܲ sont en somme directe ssi ܦתܲ sont supplémentaires dans Թସ.

3. La formule de Grassmann

Pour conclure, on

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Théorème de Grassmann :

Soient ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧ Illustration : Si ܨ൅ܩ൐ܧ alors ܩתܨ

Exemples :

- Deux plans vectoriels de Թଷ se coupent toujours au moins suivant une droite : facile - Deux sous-espaces de dimension 3 dans Թସ contiennent au moins un plan : moins facile à voir !

Démonstration géométrique :

Soit ܸ un supplémentaire de ܩתܨ dans ܩ

On montre que ܨ൅ܩൌْܸܨ

- Soit ݒԦܸתܨא. Alors ݒԦܩתܨא car ܩؿܸ

On a donc ܨ൅ܩൌْܸܨ

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