[PDF] Nombres complexes On dit que deux nombres

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Chapitre 3

Nombres complexes

3.1 Construction des nombres et des opérations

3.1.1 Définition

Définition 3.1.

1. Le symbole i désigne un objet abstr aitqui sa tisfaitl"iden tité i

2= ii =1:

On l"appelleunité imaginaire.

2.

Un nombre complexezest un objet qui s"écrit symboliquementa+ ibaveca; b2R. Le réela=:<(z)est sapartie

réelle, alors queb=:=(z)est sapartie imaginaire. 3.

On dit que deux nombres com plexesa+ibetc+idsontégauxexactement lorsquea=cetb=d(même partie réelle et

même partie imaginaire). 4.

On iden tifiel" objeta+i0 avec le nombre réelaet on dit dans ce cas que ce nombre complexe estréel. En particulier le

nombre complexe nul0+i0 sera simplement noté 0. 5. A ucon traireun nombre 0 +ibsera ditpurement imaginaire. 6. L "ensemblede tous les nombres com plexesest la droite complexe, qui se noteC.

Remarque3.2.

1. L "identificationproclamée a upoin t4. ci-dessus se tr aduitpar l"incl usion RC: En ce sens les nombres complexes sont plus généraux que les nombres réels. 2.

En pl usde la droite réelle standard R, l"ensembleCcontient une autre droite réelle appeléedroite(ou axe)imaginaire

et notée iR:=fib:b2Rg:

Lemme 3.3.Soitz2C.

1.z2Rsi et seulement si=(z)= 0.

2.z2iRsi et seulement si<(z)= 0.

3. Le seul complexe à la fois r éelet pur ementimaginair eest 0.

Démonstration.1. et 2. sont des reformulations directes des définitions. De ces propriétés on déduit que sizest à la fois réel

et purement imaginaire alors<(z)= 0 et=(z)= 0. Autrement ditz= 0.17

CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES18

3.1.2 Opérations arithmétiques

On étend àCles opérations habituelles + eten s"appuyant sur la seule règle additionnelle i2=1.

Addition

(a+ib)+(c+id):=(a+c)+i(b+d)

Multiplication

(a+ib)(c+id):=(acbd)+i(ad+bc) Remarque3.4.Avec cette définition on obtient<(z+w)=<(z)+<(w)et=(z+w)==(z)+=(w). Une telle formule n"existe cependant pas pour le produit.

On vérifie sans peine la propriété suivante, qui dit simplement qu"on peut manipuler les nombres complexes comme des

nombres réels quand il s"agit de faire des calculs.

Proposition 3.5.

1.

Lorsque ces opér ationssont appliquées à des nombr esr éels,le r ésultatr edonnele r ésultatdes opér ationshabituelles sur les

réels. 2.

C esopér ationsont les mêmes comportements opér atoiresque les opér ationsr éelles(commutativité, associativité, distributivité,

éléments neutre et absorbant).

3.

Le pr oduitde deux nombr escomplexes est nul si et seulement si au moins l"un d" euxest nul. A utrementdit :

zw= 0)()(z= 0ouw= 0): Théorème 3.6.Touta+ib2C,0(non nul) admet un inverse multiplicatif. On a alors

1a+ib=aiba

2+b2: Démonstration.L"identité remarquable(a+ib)(aib)=a2(ib)2=a2+b2>0 permet d"affirmer(a+ib)aiba

2+b2= 1. Ceci

signifie exactement que aiba

2+b2est l"inverse multiplicatif dea+ib.Remarque3.7.En d"autres termes, tout commeQetR, la droite complexeC(munie des opérations + et) est uncorps

commutatif. Cela signifie non seulement qu"on peut additionner et multiplier de manière commutative, mais aussi que

n"importe quel nombre complexenonnul admet un inverse multiplicatif dansC. À comparer avec l"ensembleZ, dans lequel

2 n"admet pas d"inverse.

3.1.3 Conjugaison complexe

Définition 3.8.Tout nombre complexez=a+ibadmet unconjuguénotéz, dont la valeur est donnée para+ib:=aib :

La proposition suivante est une conséquence triviale des définitions. Proposition 3.9.Icizest un nombre complexe quelconque.

1.z=z.

2.zz0. Plus précisément

a+ib)(aib)=a2+b22R0:3.<(z)=z+z2

4.=(z)=zz2i

Donnons maintenant les propriétés arithmétiques de la conjugaison complexe. Théorème 3.10.Dans la suitezetwsont deux complexes quelconques.

1.z+w=z+w.

2.zw=zwet1z

=1z .3.z=zsi et seulement siz2R.

4.z=zsi et seulement siz2iR.

1.

D"une part z+w=(

a+c)+i(b+d)=(a+c)i(b+d)et d"autre partz+w=(aib)+(cid)=(a+c)i(b+d). C"est bien ce qu"il fallait prouver. 2.

On applique la même technique de démonstr ationque pour 1. Les cal culsson tmoins sym pas,mais il n "ya pas de

mystère. 3. Si z2Ralorsz=a+i0 etz=ai0 =a=z. Réciproquement, siz=zalorsa+ib=aib, autrement ditb=b. Cela ne peut survenir qu"à la condition d"avoirb= 0. 4. Le r aisonnementest essen tiellementle même qu" en3.

CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES19

3.1.4 Binôme de Newton

Théorème 3.11.Soientz; w2Cetn2N. Alors

z+w)n=X p+q=n n p! z pwq =zn+nzn1w++ n p! z pwnp++nzwn1+w :

Démonstration.Cette démonstration par récurrence sera faite en exercice. La clef de la preuve est la relation bien connue

n p! + n p+1! = n+1 p+1! :Remarque3.12.On rappelle que pourn; p2Z n p! =8 >><>>:n!p!(np)!si 0pn

0 sinon:

3.2 Exponentielle complexe

Définition 3.13.Pourz2Con pose

exp (z):= e<(z)(cos(=(z))+isin(=(z))): L"application exp :C!Cainsi définie s"appelle l"exponentielle complexe.

Le résultat suivant justifie l"appellation donnée à cette fonction, dans le sens où elle satisfait la même équation fonction-

nelle que l"exponentielle réelle. Théorème 3.14(équation fonctionnelle de l"exponentielle).Pour chaquez; w2Con a exp (z+w)=(exp(z))(exp(w)): Démonstration.Écrivonsz=:a+ibetw=:c+idaveca; b; c; d2R. Par définition exp (z+w)= ea+b(cos(b+d)+isin(b+d)):

Puisquee

a+b= eaeb(l"exponentielleréellevérifiel"équationfonctionnelle,Théorème2.15)ilsuffitdemontrerqueexp(i(b+d))=

exp (ib)exp(id). Comme cela revient à montrer que cos (b+d)= cos(b)cos(d)sin(b)sin(d)et sin(b+d)= cos(b)sin(d)+sin(b)cos(d). Mais ces iden-

tités trigonométriques sont bien connues.Montrons maintenant une conséquence importante de l"équation fonctionnelle, dont la conclusion principale est que

l"exponentiellenes"annulejamais surC.

Corollaire 3.15.Soitz2C.

1.

On a exp(z),0et

1exp (z)= exp(z): 2.exp (z)= exp(z

CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES20

3.

P ourtout n2Z

exp(z))n= exp(nz):

Démonstration.

1. C" estla même preuv eque pour l" exponentielleréelle. Puisque 1 = exp (0)= exp(z+(z))= exp(z)exp(z)on déduit d"une part exp (z),0 et d"autre part que1exp (z)= exp(z). 2. P ardéfinition de l" exponentiellecom plexeon a exp (a+ib)= ea(cos(b)isin(b)). Mais cos(b)= cos(b)etsin(b)= sin (b). 3. On obtien tcette rela tionpar récurrence sur n0. Puis pourn <0 on utilise(exp(z))n=1(

exp(z))jnj.Le prochain théorème est un résultat fondamental décrivant complètement l"image de l"exponentielle complexe.

Théorème 3.16.

1.

P ourtout z2C,0il existew2Ctel que

exp (w)=z :

Dit autrement, cela signifie queexpC=C,0.

2.

L "équation

exp (x)= exp(y) a pour solutions x=y+2ik ; k2Z:

En particulier

exp(z)= 1)()(z22iZ):

Démonstration.

1.

Écriv onsz=:a+ib,0. Alors

z=a+ib=pa

2+b2(u+iv)

avec u:=apa

2+b2; v:=bpa

2+b2:

Le logarithme de

pa

2+b2>0 est bien défini, notons-lec2R, de sorte quez= ec(u+iv). On remarque maintenant

que le point de coordonnées (u;v)2R2est sur le cercle unité, puisqueu2+v2= 1. Alors, d"après la Définition2.24 , il existed2Rtel queu= cos(d)etv= sin(d). En notantw:=c+id, par construction on a finalement z= exp(w): 2. T outd" abordremarquons que, d" aprèsl" équationf onctionnelle,exp (x)= exp(y)si et seulement si exp(xy)= 1. Il

suffit donc de prouver que exp(z)= 1 si et seulement siz= 2ikaveck2Z. Une direction est triviale : siz22iZalors

expz= e0(cos(2k)+isin(2k))= 1. Réciproquement, écrivonsz=a+ibet supposons que exp(z)= 1. Cette relation

s"écrit sous la forme d"un système

8>><>>:e

acos(b)= 1 e asin(b)= 0:

Comme e

a,0, la dernière équation fournit sin(b)= 0, soitb=npour un certainn2Z. Mais cos(n)=(1)net ea>0,

donc la première équation force la parité den: il existek2Ztel quen= 2k. Finalement cos(b)= 1, de sorte que ea= 1

puisa= 0. La preuve est achevée.

CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES21

3.3 Module

Il a déjà été noté plus haut (Proposition 3.9 ) que zz=<(z)2+=(z)2 est positif. Définition 3.17.On appellemoduledezle réel positif j zj:=pzz=q< (z)2+=(z)2: Proposition 3.18.Icizetwsont des complexes quelconques. 1. jz j=jzj. 2. jzwj=jzjjwj. 3. 1z =z j zj2. 4. jzj= 1si et seulement siz= exp(i)pour un certain2R.5. jzj= 0si et seulement siz= 0. 6. P ourles nombr esr éels,la no tionde module et de valeur ab- solue coïncident (heureusement, car on a choisit la même notation...). 7. jexp(w)j= e<(w).

Démonstration.

1.

D"une part

jzj2=zzet d"autre partjz j2=zz=zz. 2.

D" aprèsle Théorème

3.10 on a zw=zw, donc j zwj2=zwzw=(zz )(ww )=jzj2jwj2: 3. Il s" agitsim plementde la f ormuled uThéorème 3.6

écrite a utrement.

4.

C omme

jcos()+isin()j2= cos2()+sin2()= 1, une direction est claire. Supposons maintenant quejzj= 1. Alors le

point de coordonnées (<(z);=(z))est sur le cercle unité. Il existe donc2Rtel que<(z)= cos()et=(z)= sin() (Définition 2.24 Remarque.On a déjà utilisé cet argument dans la preuve du Théorème3.16 1. 5.

La somme de deux nombres positifs est n ulsi et seulemen tsi les deux nombres son tn uls.Al ors<(z)2+=(z)2= 0 si

et seulement si<(z)= 0 et=(z)= 0. 6.

Supposons z2R. Alorsz=zetzz=z2. Maispz

2égale précisément la valeur absolue dez.

7.

C ecidécoule de

j exp(w)j=e<(w)jexp(i=(w))j

(équation fonctionnelle et propriété du module) ainsi que du point 4. ci-dessus.L"importance du théorème suivant ne sera pleinement réalisée que dans les semestres à venir. Il s"agit pourtant d"un

énoncé absolument essentiel pour l"analyse.

Théorème 3.19(inégalité triangulaire).Pour tous complexeszetwon a j z+wjjzj+jwj:

De plus si

jz+wj=jzj+jwjetw,0alors il existe2R0tel quez=w.

Démonstration.Cela revient à montrer quejz+wj2(jzj+jwj)2, puisque la fonctiont7!t2est croissante. Mais, en utilisant

les propriétés du Théorème 3.10 et de la Proposition 3.9 , on trouve j z+wj2(jzj+jwj)2=(z+w)(z+w )zz2jzjjwjww =zw+zw2jzjjwj = 2 (<(zw )jzw j):

CHAPITRE 3. NOMBRES COMPLEXES22

Posonsx:=zw. Alors (croissance de la fonctiont7!t2)quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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