Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
3) Bien sûr dans un raisonnement par récurrence
Exercices sur le raisonnement par récurrence Terminale S Exercice
Exercices sur le raisonnement par récurrence. Terminale S. Exercice 1 ? Démontrer par récurrence la propriété suivante : (enx)/ = ne(n-1)x ?n ? 1
LES SUITES (Partie 1)
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par AK3 = A +2 +3 et. 7 = 1. Démontrer par récurrence que : A = ( + 1)N. •
La démonstration par récurrence
?3 ? ?4 ? ······. Exemple : Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence.
ÉTAT DES CONNAISSANCES DES ÉLÈVES DE TERMINALE S
Le raisonnement par récurrence et la logique étant actuellement dans les programmes de lycée nous avons voulu poursuivre cette étude didactique en nous
Raisonnement par récurrence : Exercices Corrigés en vidéo avec le
1?) Calculer les 4 premiers termes de la suite. 2?) Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de (un). 3?) Étudier les variations de
Raisonnement par récurrence TS
Montrer par récurrence que pour tout entier n
Terminale S - Raisonnement par récurrence
Raisonnement par récurrence. I) Principe du raisonnement par récurrence. Pour démontrer qu'une proposition ( ) est vraie pour tout entier naturel.
La récurrence au fil des siècles
récurrence elle
Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
Attention ici il s'agit de montrer une formule à partir du rang 1. Il faut donc prendre n=1 pour initialiser la récurrence. On pourra remarquer que. Un
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La démonstration par récurrence
Dans toute la suitenappartientàN.
La démonstrationparrécurrencesertlorsqu"onveut démontrerqu"une propriété,dépendantde n, est vraie pour toutes les valeurs den. On appelle dans ce casPnla propriétéen question. On est ainsi amené à montrer que la propriétéPnest vraiepour toutesles valeursden. P1?P0?P2?P3?P4?······
Exemple :Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer par récurrence la propriété : ??pour tout entiernon a : 0+1+2+···+n=n(n+1) 2.??Pour n"importe quel entiernon appellePnla propriété (à démontrer):??1+2+···+n=n(n+1)
2??. On peut à présent démontrer par récurrence que :??0+1+2+···+n=n(n+1)2pour tout entiern??.
La démonstration par récurrencese fait en trois étapes : •Initialisation: on vérifie que la propriété est vraie pour la première valeur den(souvent n=0).On vérifie donc queP0est vraie.
P 1?P0vraieP2?P3?P4?······
Exemple :
•Initialisation: icin=0 doncn(n+1)2=0×(0+1)2=0 et ainsi la propriétéP0est vraie. •Hérédité:on démontre la propriété suivante :??si la propriété est vraie pour un certain rangk(n"importe lequel)
alors la propriété est vraie pour le rang juste après c"est-à-dire pour le rangk+1??.PkvraiePk+1?transmission
La propriété se transmet de la valeur de l"indicekà la valeur de l"indicek+1.On dit que la propriété est
héréditaire.Page 1/2
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Exemple :•Transmission:
Sila propriétéPkest vraie(pour un certain k)montrons qu"alorsPk+1est vraie aussi . On sait (par hypothèse de récurrence) : 0+1+2+···+k=k(k+1) 2. On veut démontrer que : 0+1+2+···+(k+1)=(k+1)?(k+1)+1?2=(k+1)(k+2)2.
On a 0+1+2+···+(k+1)=0+1+2+···+k+(k+1) . Par ailleurs d"après l"hypothèse de récurrence 0+1+2+···+k=k(k+1)2donc 0+1+2+···+(k+1)=k(k+1)2+(k+1) .
On a ensuite
k(k+1)2+(k+1)=k(k+1)2+2(k+1)2=(k+1)(k+2)2et donc il suit que
0+1+2+···+(k+1)=(k+1)(k+2)
2.La propriétéPk+1est ainsi vraie.
On a donc bien montré que si
Pkest vraie alorsPk+1l"est aussi.
•Conclusion:les deux étapes précédentes permettent de conclure que la propriété est vraie pour tous les entiersn.
En effet la propriétéest vraie au rang 0 donc avec l"étape d"hérédité elle devient vraie au rang 1. On peut
alors réappliquer l"étape d"hérédité au rang 1 et la propriété devient vraie au rang 2.
En réappliquant l"étape d"hérédité de proche de proche, il suit que la propriété est vraie pour tous les
entiersn.P1vraieP0vraieP2?transmission
P3?P4?······
P1vraieP0vraieP2vraieP3vraie
P4?transmission
Exemple :
•Conclusion: On a ainsi pour tout entiernl"égalité : 0+1+2+···+n=n(n+1)2.Page 2/2
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