DROITES ET PLANS DE LESPACE
Propriété : Une droite d est parallèle à un plan P s'il existe une droite d' de P parallèle à d. Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonales.
Méthode pour démontrer en géométrie dans lespace 1) Incidence
? Si deux droites ne sont pas parallèles ni sécantes alors elles sont non coplanaires. • droite et plan. ? Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan
COMMENT DEMONTRER……………………
Propriété : Si deux droites parallèles ont au moins un point commun et (MN) sont parallèles. Pour démontrer qu'une droite est la médiatrice d'un segment.
Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que
[AB] donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de [AB]. P 6 Si dans un triangle
DROITES DU PLAN
Dire que deux droites sont parallèles équivaut à dire qu'elles ont des vecteurs Démontrer que les droites M et Q d'équations respectives 6 ? 10 ...
VECTEURS ET DROITES
D est une droite du plan. Les droites d'équation ax + by + c = 0 et a'x + b' y + c' = 0 sont parallèles si et ... et démontrer que les vecteurs AE.
Géométrie dans lespace
Si deux plans sont parallèles tout plan qui coupe l'un coupe l'autre
1 TS Position relative de droites et plans Cours Rappels : • Un plan
Deux droites coplanaires peuvent être soit sécantes soit parallèles. • Deux droites non coplanaires : Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan.
1 DROITES ET PLANS DANS LESPACE
Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre. PROPRIETE 11: Si deux droites sont parallèles
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles Propriété : Une droite d est parallèle à un plan P s'il existe une droite d' de P.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDROITES DU PLAN
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/d-rUnClmcCY Partie 1 : Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite1. Vecteur directeur
Définition : d
í µ est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de í µ tout vecteur non nul í µí±¢âƒ— qui possède la même direction que la droite í µ. Méthode : Déterminer graphiquement un vecteur directeur d'une droiteVidéo https://youtu.be/6VdSz-0QT4Y
Donner des vecteurs directeurs des
droites d 1 , d 2 , d 3 et d 4Correction
• Pour d 1 On choisit un vecteur qui possède la même direction que la droite d 1Par exemple : í µâƒ—í±Ž
1 2 ) convient. 2 4 ) ou í µâƒ—í±Ž -1 -2 ) sont également des vecteurs directeurs de d 1 • Pour d 2 6 0 ) convient. • Pour d 3 1 -1 ) convient. • Pour d 4 0 2 ) convient.2. Équation cartésienne d'une droite
Définition :
Toute droite admet une équation de la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0, avec 0;0 Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite.2 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété : Le vecteur í µí±¢âƒ—í±Ž ) est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/GVDUrdsRUdA
Soit í µí±Ž
) un point de la droite í µ et í µí±¢âƒ—í±Ž ) un vecteur directeur de í µ.Un point í µí±Ž
) appartient à la droite í µ si et seulement si les vecteurs í µí µ ) et í µí±¢âƒ—í±Ž sont colinéaires, soit í µí µí µí±¡í µí µ ;í µí±¢âƒ—B=0 soit encore C C=0.Donc : í µ
=0 =0 =0Cette équation peut s'écrire : í µí µ+í µí µ+í µ=0 avec í µ=í µ et í µ=-í µ et í µ=í µí µ
Les coordonnées de í µí±¢âƒ— sont donc í±Ž Exemple : Un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne 4í µ-5í µ-1=0 est le vecteur de coordonnées í±Ž 5 4En effet, í µ=4 et í µ=-5 donc í±Ž
5 4Méthode : Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d'un vecteur
directeurVidéo https://youtu.be/NosYmlLLFB4
Vidéo https://youtu.be/i5WD8IZdEqk
a) Déterminer une équation cartésienne de la droite í µ passant par le point í µí±Ž
3 1 ) et de vecteur directeur í µí±¢âƒ—í±Ž -1 5b) Déterminer une équation cartésienne de la droite í µâ€² passant par les points í µí±Ž
5 3 ) et í µí±Ž 1 -3Correction
a) í µ admet une équation cartésienne de la de la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0. • Comme í µí±¢âƒ— í±Ž -1 5 ) est un vecteur directeur de í µ, on a : í±Ž -1 5Soit í µ=5 et í µ=1.
Une équation de í µ est donc de la forme 5í µ+1í µ+í µ=0.3 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr • Pour déterminer í µ, il suffit de substituer les coordonnées í±Ž 3 1 ) de í µ dans l'équation :5×3+1×1+í µ=0
15+1+í µ=0
16+í µ=0
í µ=-16 Une équation de í µ est donc 5í µ+1í µ-16=0. Remarque : Une autre méthode consiste à utiliser le déterminant :Vidéo https://youtu.be/rLxQIbQkPsQ
b) í µ et í µ appartiennent Ã í µ' donc í µí µ est un vecteur directeur de í µâ€².On a : í µí µ
1-5 -3-3 -4 -6 ). Donc í µ=-6 et í µ=4. Une équation cartésienne de í µâ€² est de la forme : -6í µ+4í µ+í µ=0. 5 3 ) appartient Ã í µâ€² donc : -6×5+4×3+í µ=0 donc í µ=18.Une équation cartésienne de í µâ€² est : -6í µ+4í µ+18=0 ou encore -3í µ+2í µ+9=0.
Méthode : Tracer une droite à partir de l'équation cartésienneVidéo https://youtu.be/EchUv2cGtzo
Tracer la droite í µ d'équation cartésienne 3í µ+2í µ-5=0.Correction
Pour tracer une droite, il suffit de connaître un point appartenant à la droite et un vecteur directeur. • On choisit le point d'abscisse 0 : Comme í µ=0, on remplace í µpar 0 dans l'équation et on calcule la valeur de í µ correspondante :3×0+2í µ-5=0
2í µ=5
5 2 =2,5Le point í µde coordonnées í±Ž
0 2,5 ) appartient à la droite í µ. • í µ=3 et í µ=2 donc í±Ž -2 3 -2 3 ) est un vecteur directeur de í µ. On trace la droite í µ passant par le point í µí±Ž 0 2,5 ) et de vecteur directeur í µí±¢âƒ— í±Ž -2 34 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr3. Position relative de deux droites
Propriété :
Dire que deux droites sont parallèles équivaut à dire qu'elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Méthode : Déterminer la position relative des deux droitesVidéo https://youtu.be/NjsVdVolhvU
Démontrer que les droites í µ
et í µ d'équations respectives 6í µ-10í µ-5=0 et -9í µ+15í µ=0 sont parallèles.Correction
Le vecteur í µí±¢âƒ—í±Ž
10 6 ) est un vecteur directeur de la droite í µLe vecteur í µâƒ—í±Ž
-15 -9 ) est un vecteur directeur de la droite í µCalculons í µí µí µ
=C 10-15 6-9C=10×
-9 -6× -15 =0 Donc í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires et donc les droites í µ et í µ sont parallèles. Partie 2 : Équation réduite et pente d'une droite1. Équation réduite
Exemple : Soit í µ dont une droite d'équation cartésienne 4í µ+í µ-6=0.On a alors : 4í µ+í µ=6
í µ=-4í µ+6 Cette équation est appelée l'équation réduite de la droite í µ.Propriété :
Soit une droite í µ.
- Si í µ est parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de í µ est de la forme í µ=í µ. - Si í µ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de í µ est de la forme í µ=í µí µ+í µ. Cette équation est appelée équation réduite de la droite í µ.5 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDémonstration :
• Si í µâ‰ 0, alors l'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0 de la droite í µ peut être ramenée à une
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