1 TS Position relative de droites et plans Cours Rappels : • Un plan PDF

DROITES ET PLANS DE LESPACE

Propriété : Une droite d est parallèle à un plan P s'il existe une droite d' de P parallèle à d. Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonales.

Méthode pour démontrer en géométrie dans lespace 1) Incidence

? Si deux droites ne sont pas parallèles ni sécantes alors elles sont non coplanaires. • droite et plan. ? Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan

COMMENT DEMONTRER……………………

Propriété : Si deux droites parallèles ont au moins un point commun et (MN) sont parallèles. Pour démontrer qu'une droite est la médiatrice d'un segment.

Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que

[AB] donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de [AB]. P 6 Si dans un triangle

DROITES DU PLAN

Dire que deux droites sont parallèles équivaut à dire qu'elles ont des vecteurs Démontrer que les droites M et Q d'équations respectives 6 ? 10 ...

VECTEURS ET DROITES

D est une droite du plan. Les droites d'équation ax + by + c = 0 et a'x + b' y + c' = 0 sont parallèles si et ... et démontrer que les vecteurs AE.

Géométrie dans lespace

Si deux plans sont parallèles tout plan qui coupe l'un coupe l'autre

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Deux droites coplanaires peuvent être soit sécantes soit parallèles. • Deux droites non coplanaires : Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan.

1 DROITES ET PLANS DANS LESPACE

Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre. PROPRIETE 11: Si deux droites sont parallèles

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles Propriété : Une droite d est parallèle à un plan P s'il existe une droite d' de P.

TS Position relative de droites et plans Cours

Rappels :

Un plan est défini par :

- Trois points non alignés ou - Deux droites sécantes ou - Deux droites strictement parallèles

Si un plan

contient deuǆ points distincts A et B de l'espace , alors il contient la droite

On note

et on lit " la droite ) est incluse dans le plan P »

I. Droites et plans

1. Position relative de deux droites

Deuǆ droites de l'espace sont soit coplanaires ( dans un même plan ) , soit non coplanaires Deux droites coplanaires peuvent être soit sécantes , soit parallèles

Deux droites non coplanaires :

Remarques :

Deuǆ droites de l'espace n'ayant aucun point commun ne sont pas forcément parallèles , elles

peuvent aussi être non coplanaires . Deux droites sont strictement parallèles si elles sont coplanaires et n'ont aucun point commun .

Exemples : exercices 20 , 21 page 277

2. Position relative de deux plans

Deuǆ plans de l'espace sont soit sécants soit parallèles . a. Plans sécants

L'intersection de deuǆ plans est une droite

Pour déterminer l'intersection de deux plans , on cherche deux points communs aux deux plans : - soit ils apparaissent de manière évidente - soit on les construit comme l'intersection de deuǆ droites , une dans chaque plan .

Exemple 1 :

ABCD tétraèdre , E , F et G sont

des points des arêtes [AB] , [AC] et [AD] tels que les droites (EF) , (FG) et (EG) ne sont pas parallèles respectivement à (BC) , (CD) et (BD).

Construire la droite d'intersection des

plans (EFG) et (BCD) 3 b. Plans parallèles

3. Position relatiǀe d'une droite et d'un plan

Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants , soit parallèles L'intersection d'une droite et d'un plan est un point Pour dĠterminer l'intersection d'une droite et d'un plan :

- On cherche un point commun à la droite et au plan , en général c'est l'intersection de la droite aǀec une

droite contenue dans le plan

Exemple :

ABCD est un tétraèdre . Le point I est le milieu de DĠterminer l'intersection de la droite (IJ) et du plan (BCD) 4

II. Parallélisme

1. Démontrer que deux plans sont parallèles

Théorème : (admis)

Si deux droites sécantes d'un plan(P) sont parallèles à deux droites sécantes d'un plan( Y)

Alors (P) et (Q) sont parallèles

Propriété ( admise ) :

Deux plans parallèles à un troisième plan sont parallèles entre eux

Exemple :

ABCD tétraèdre . I , J et K milieux de [AD] , [DB] et [DC]. Démontrer que (IJK) est parallèle à (ABC) 5

Propriété 1 (admise ):

Si deux droites (D) et( ) sont parallèles et

si (D ) est incluse dans un plan(P),

Alors ( ) est parallèle à(P)

une droite du plan .

Propriété 2 (admise) :

Si deuǆ plans (P) et (P') sont parallğles et si une droite (d )est parallèle à (P), alors (d) est parallğle ă (P')

Exemple :

SABCD pyramide à base trapèze ABCD telle que (CD)//(AB) . Démontrer que (CD)//(SAB) 6

3. Démontrer que deux droites sont parallèles

Propriété (admise ):

Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles Si (d1) // ( d2 ) et (d2 ) // ( d3 ) alors (d1 ) // (d(3 )

Propriété ( admise)

Si deux plans sont parallèles

droites d'intersection sont parallğles. Application ͗ section d'un solide de l'espace aǀec un plan

Exemple :

ABCDEFGH est un cube , I et K sont les points des

arêtes [EH] et [BC] tels que : et

Construire la section du cube par le plan (IFK)

Pour dĠterminer la section d'un solide de l'espace aǀec un plan , on cherche ă dĠterminer de

proche en proche des points du plan de section sur chaque arête du solide , en utilisant deux

droites coplanaires sĠcantes dont l'une est incluse dans le plan de section et l'autre porte sur une

7 Théorème du toit : ( ROC , démontré dans le chapitre géométrie vectorielle ) Si (d) et (d') sont deuǆ droites parallğles (P) et (P') sĠcants selon une droite ( ) alors : (d) ͬͬ (d') ͬͬ

Exemple :

SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un

carrĠ . DĠterminer l'intersection des plans (SBC) et (SAD)

III. OrthogonalitĠ dans l'espace

1. Droites orthogonales

Définition

Deuǆ droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si il existe deux droites coplanaires qui leur

sont parallèles et qui sont perpendiculaires entre elles .

Exemple :

Dans le cube ABCDEFGH , les droites (FB)

et (BC) sont prependiculaires en H .

Comme (HE) est parallèle à (BC) , les

droites (HE) et (BC) sont orthogonales

2. Droite orthogonale à un plan

Définition

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan Propriété ( ROC démontré dans le chapitre produit scalaire ) Si une droite est orthogonale à un plan , elle est orthogonale à toute droite de ce plan

Exemple :

Démontrer que les droites (FH) et

(FB) sont orthogonales

Pour démontrer que

¾ Deux droites d et

sont orthogonales, il suffit de démontrer que la droite est orthogonale à un plan P contenant d.

¾ Une droite

est orthogonale à un plan P , il suffit de SURXYHU TX·HOOH HVP RUPORJRQMOH j GHX[ GURLPHV VpŃMQPHV GX SOMQ

3. Parallélisme et orthogonalité

Propriétés ( admises )

Deux droites orthogonales

à un même plan sont

parallèles

Si deux droites sont

parallèles , tout plan perpendiculaire ă l'une est perpendiculaire ă l'autre

Propriétés ( admises )

Deux plans orthogonaux à

une même droite sont parallèles

Si deux plans sont parallèles

, alors toute droite orthogonale ă l'un est orthogonale à l'autre.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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TS Position relative de droites et plans Cours

Rappels :

Un plan est défini par :

Si un plan

On note

I. Droites et plans

1. Position relative de deux droites

Deux droites non coplanaires :

Remarques :

Exemples : exercices 20 , 21 page 277

2. Position relative de deux plans

L'intersection de deuǆ plans est une droite

Exemple 1 :

ABCD tétraèdre , E , F et G sont

Construire la droite d'intersection des

3. Position relatiǀe d'une droite et d'un plan

Exemple :

II. Parallélisme

1. Démontrer que deux plans sont parallèles

Théorème : (admis)

Alors (P) et (Q) sont parallèles

Propriété ( admise ) :

Exemple :

Propriété 1 (admise ):

Si deux droites (D) et( ) sont parallèles et

Alors ( ) est parallèle à(P)

Propriété 2 (admise) :

Exemple :

3. Démontrer que deux droites sont parallèles

Propriété (admise ):

Propriété ( admise)

Si deux plans sont parallèles

Exemple :

ABCDEFGH est un cube , I et K sont les points des

Construire la section du cube par le plan (IFK)

Exemple :

SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un

III. OrthogonalitĠ dans l'espace

1. Droites orthogonales

Définition

Exemple :

Dans le cube ABCDEFGH , les droites (FB)

Comme (HE) est parallèle à (BC) , les

2. Droite orthogonale à un plan

Définition

Exemple :

Démontrer que les droites (FH) et

Pour démontrer que

¾ Deux droites d et

¾ Une droite

3. Parallélisme et orthogonalité

Propriétés ( admises )

Deux droites orthogonales

à un même plan sont

Si deux droites sont

Propriétés ( admises )

Deux plans orthogonaux à

Si deux plans sont parallèles