Intégrales dépendant dun paramètre
∂ f. ∂ x. (x t) dt . On peut retenir l'abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx. ∫ b a. = ∫ b a. ∂. ∂ x. Exemple 2. Étudions F(
Intégrales dépendant de paramètres
dérivée k-ème vaut : Γ ... Citons alors sans démontration le résultat suivant. Théorème 2.4. [Analyticité d'une intégrale dépendant d'un paramètre complexe] Avec.
INTÉGRALE À PARAMÈTRE
K désigne R ou C. I - CAS D'UN PARAMÈTRE ENTIER. 1) Intégration sur un intervalle quelconque I et suites de fonctions.
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Si C est une courbe géométrique plane et si M : I → R2 est une courbe paramétrée Dans cette intégrale double interviennent certaines dérivées partielles des ...
Chapitre 17 :Intégrales dépendant dun paramètre
gfab dt gf g f n b a n b a b a n. Page 4. Chapitre 17 : Intégrales dépendant d'un paramètre. Fonctions d'une variable réelle dérivation et intégration. Page 4
Principaux théorèmes dintégration
est bien dé nie pour tout t ∈ I et est continue sur I. Théorème (Théorème de dérivation sous l'intégrale) (domination de la dérivée) il existe une fonction ...
Intégrales dépendant dun paramètre
fpf fxp px tqdµptq. ( la dérivée p-ème de l'intégrale par rapport au paramètre est l'intégrale de la dérivée (partielle) p-ème par rapport au paramètre ).
Intégrales dépendant dun paramètre - AlloSchool
II - Dérivation des intégrales à paramètres du = √π (intégrale de Gauss). Γ (. 1. 2). = √π. La relation fonctionnelle du 2) permet encore d'écrire : ∀n ∈ ...
intégrales-dépendant-d-un-paramètre.pdf
convergence de l'intégrale du premier membre et permet de permuter intégrale et Cette dérivée partielle est continue en x continue par morceaux en θ et
Calcul Différentiel et Intégral
que pour une intégrale dépendant d'un paramètre x continu). Les hypothèses Autrement dit l'intégrale de la dérivée de f sur un segment s'exprime simplement ...
Intégrales dépendant dun paramètre
? f. ? x. (x t) dt . On peut retenir l'abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx. ? b.
Intégrales dépendant de paramètres
[Continuité d'une intégrale à paramètre] Si au voisinage d'un point fixé tir l'intégration et la dérivation partielle. Théorème 2.1.
Chapitre 17 :Intégrales dépendant dun paramètre
Intégrales dépendant d'un paramètre. Fonctions d'une variable réelle dérivation et intégration ... Mais u et v sont intégrables sur I
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Pour calculer cette intégrale il suffit de trouver une primitive de f
Leçon 239: Fonctions définies par une intégrale dépendant dun
23 déc. 2012 Leçon 239: Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. ... majorations par des fonctions gj ? L1 pour chaque dérivée.
Calcul Différentiel et Intégral
11.2 Intégrale d'une 1-forme le long d'une courbe paramétrée . de la dérivée (linéarité dérivation du produit entre une fonction f : R ? R et g : R ...
Principaux théorèmes dintégration
Théorème (Théorème de dérivation sous l'intégrale) (domination de la dérivée) il existe une fonction ? : E ? R+ mesurable telle que / ? dµ < ? et.
Chapitre 4 - Le théorème de convergence dominée
construction de l'intégrale et son corollaire immédiat sur les séries de Théorème 4.2.3: Théorème de dérivation (global) des intégrales à paramètre.
Chapitre 12 Intégrales à paramètre
Intégrale de GAUSS. Pour tout n ? N et x ? R on pose fn(x) = Intégrales dépendant d'un paramètre ... Théorème 4 (Dérivation sous le signe intégral).
Intégrales dépendant dun paramètre
Exercice 3 ** I Un calcul de l'intégrale de GAUSS I = / +? D'après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de LEIBNIZ) ...
Intégrales dépendant d"un paramètre
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1**Pourn2Netx2]0;+¥[, on poseIn(x) =R+¥01(t2+x2)n.
1. Calculer la déri véede la fonction Insur]0;+¥[. 2.En déduire la v aleurde
R+¥
01(t2+1)3dt.
pln(12xcosq+x2)dq. 1. (a) Montrer queFestpaire, définieetcontinuesurR, dérivablesurRnf1;1g. Préciseruneexpression deF0(x)sous forme intégrale. (b)Calculer F0(x).
(c)Déterminer lim
x!+¥(F(x)4plnx). (d)En déduire F(x)pour tout réelx.
2. (a) Quand x2]1;1[, retrouver ce résultat en écrivant d"abord ln(x22xcosq+1)comme somme d"une série (commencer par dériver la fonction deq). (b)Déterminer une relation entre F(x)etF1x
et en déduireF(x)pour tout réelx.0et2dtPourx2R, on poseF(x) =R1
0ex2(1+t2)1+t2dtetG(x) =Rx
0et2dt
2. 1.Montrer que Fest de classeC1surRet préciserF0.
2.Montrer que Gest de classeC1surRet préciserG0.
3.Montrer que la fonction F+Gest constante surR.
4.Déterminer lim
x!+¥F(x). 5.En déduire I.
Existence et calcul de
R+¥
0et2ch(tx)dt(on admettra queR+¥
0et2dt=pp
2 R10t1lnttxdt.
0ext1+t2dt=R+¥
0sintx+tdtet en déduireR+¥
0sintt
dt(indication : trouver une équation différentielle du second ordre vérifiée par ces deux fonctions). x2R, on pose fg(x) =RT0f(xt)g(t)dt.
Montrer que la fonctionfgest définie surR, continue etT-périodique.2.est donc une loi interne surE, l"espace vectoriel des fonctions définies et continues surRetT-
périodiques. Montrer que cette loi est commutative.Correction del"exer cice1 N1.Soit n2N. SoientaetAdeux réels tels que 0 • Pour chaquexde[a;A], la fonctiont7!Fn(x;t)est continue par morceaux et intégrable sur[0;+¥[car • La fonctionFnest admet sur[a;A][0;+¥[une dérivée partielle par rapport à sa première variablex D"après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de LEIBNIZ), la fonctionInest de classeC1sur[a;A]et sa dérivée s"obtient par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour .Correction del"exer cice2 N1.(a) Parité deF.Soitxun réel du domaine de définition deF. En posantt=q+p, on obtient Fest définie surR.Remarque. Par parité de la fonctionq7!ln(x22xcosq+1), pour tout réelx, on a encoreF(x) = D"après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonctionFest continue sur[0;A] • La fonctionFadmet sur[A;A][0;p]une dérivée partielle par rapport à sa première variablex D"après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, la fonctionFest de classeC1sur • Six6=0, les pôles de la fraction rationnelle(x+1)t2+(x1)((x+1)2t2+(x1)2)(1+t2)sont simples et par parité, la x!+¥(F(x)4pln(x)) =0.(d)• Fest continue sur[1;1], dérivable sur]1;1[de dérivée nulle sur]1;1[. Donc la fonctionF Commejxjnest le terme général d"une série numérique convergente, la série de fonctions de terme =4plnx. On retrouve alors les résultats du 1).Correction del"exer cice3 N1.Soit A>0. SoitF:[A;A][0;1]!R • Pour chaquexde[A;A], la fonctiont7!F(x;t)est continue sur le segment[0;1]et donc intégrable • La fonctionFadmet sur[A;A][0;1]une dérivée partielle par rapport à sa première variablexdéfinie D"après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de LEIBNIZ), la fonctionFest de classeC1sur[A;A]et sa dérivée s"obtient en dérivant sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout2n>0 avec 2n>1.
De plus,
-pour chaque(x;t)2[a;A][0;+¥[, où la fonctionjest continue par morceaux et intégrable sur[0;+¥[car négligeable devant1t 2quandt
tend vers+¥. 01(t2+x2)n+1dt=2nxIn+1(x).
8n2N,I0n(x) =2nxIn+1(x).2.Pour x>0, on aI1(x) =1x
arctantx 0=p2x. Ensuite,I2(x) =12xI01(x) =p4x3puisI3(x) =14xI02(x) =
3p16x5et doncI3(1) =3p16
R 01(t2+1)3dt=3p16
F(x) =Z
p pln(x22xcosq+1)dq=Z 2p 0ln(x2+2xcost+1)dt
Z p pln(x2+2xcost+1)dt(par 2p-périodicité) Z p pln((x)22(x)cost+1)dt=F(x): Ainsi, pour tout réelx,F(x)existe si et seulement siF(x)existe et de plusF(x) =F(x). 3 Fest paire.Définition deF.Soitx2[0;+¥[. Pour tout réelq2[p;p], x 22xcosq+1= (xcosq)2+(sinq)2=xeiq2>0.
De plus,
xeiq=0,eiq=x,x=1 etq=0. Par suite, • six6=1, la fonctionq7!x22xcosq+1 est continue sur le segment[0;p]et donc intégrable sur ce segment. • six=1, pour tout réelq2[p;p]on ax22xcosq+1=22cosq=4sin2q2 . La fonction q7!ln4sin2q2 est continue sur[p;0[[]0;p]et quandqtend vers 0 ln 4sin2q2
=2ln2+2lnsinq2 2lnq2 2lnjqj=o
1pjqj On en déduit que la fonctionq7!ln4sin2q2
est intégrable sur[p;p]et donc queF(1)existe. Finalement,Fest définie sur[0;+¥[et par parité 0ln(x22xcosq+1)dq.
Continuité deF.SoitA>1. SoitF:[0;A]]0;p]!R
(x;q)7!ln(x22xcosq+1). • Pour chaquex2[0;A], la fonctionq7!F(x;q)est continue par morceaux sur]0;p]. • Pour chaqueq2]0;p], la fonctionx7!F(x;q)est continue par morceaux sur[0;A]. • Pour chaque(x;q)2R+]0;p], puisquex22xcosq+1= (xcosq)2+(sinq)2, =Maxf2jln(jsinqj)j;ln(A22Acosq+1)g=j(q): On a vu que la fonctionf1:q7!2jln(jsinqj)jest intégrable sur]0;p]et d"autre part, la fonction f 2:qln(A22Acosq+1)est intégrable sur[0;p]et donc sur]0;p]car continue sur[0;p].
Puisquej=12
(f1+f2+jf1f2j), on en déduit que la fonctionjest continue par morceaux et intégrable sur]0;p]. 22xcosq+1.
De plus,
- pour chaque(x;q)2[A;A][0;p], 4 La dernière inégalité écrite est claire géométriquement :1-1 1 -1 -A A?? xe iθ [-A,A] A1De plus, la fonction constantejest intégrable sur le segment[0;p]. Fest de classeC1sur]1;1[et8x2]1;1[,F0(x) =4Rp
0xcosqx
22xcosq+1dq. La démarche est
analogue sur]¥;1[et sur]1;+¥[et finalementFest de classeC1surRnf1;1get 8x2Rnf1;1g,F0(x) =4Rp
0xcosqx
22xcosq+1dq.(b)Calcul deF0(x).Soitx2Rnf1;1g. On poset=tanq2
. On a donc cosq=1t21+t2etdq=2dt1+t2. On obtient
F 0(x) =4Z
p 0xcosqx
22xcosq+1dq=8Z
0x1t21+t2x
22x1t21+t2+1dt1+t2
=8Z =8Z 0(x+1)t2+(x1)((x+1)2t2+(x1)2)(1+t2)dt
Pour tout réelt,
t 2+x1x+1
2 (t2+1) =tix1x+1t+ix1x+1(ti)(t+i). De plus,x1x+1=1,x1x+1=1,x=0.
•F0(0) =4Rp 0(cosq)dq=0.
2+(x1)(x+1)22ix1x+1
1x1x+1
2(x21)2i(x21)(4x)=14ix;
et 5 b=(x+1)+(x1)2i((x+1)2+(x1)2)=14ix. Donc 8 (x+1)t2+(x1)((x+1)2t2+(x1)2)(1+t2)=2ix 1tix1x+11t+ix1x+1+1ti1t+i!
2ix 2ix1x+1t
2+x1x+1
2+2it 2+1! 4x x21(x+1)2t2+(x1)2+1t 2+1 Ensuite, en notantele signe dex1x+1
F 0(x) =4x
Z 0 x21(x+1)2t2+(x1)2+1t 2+1 dt 4x x21(x+1)21x1x+1arctan tx1x+1!# 0 =4x (e+1)p2 Par suite, six2]1;1[,F0(x) =0 et six2]¥;1[[]1;+¥[,F0(x) =4px 8x2Rnf1;1g,F0(x) =0 six2]1;1[
4px six2]¥;1[[]1;+¥[.(c)Soit x>1. F(x)4pln(x) =Rp
pln(x22xcosq+1)dqRp pln(x2)dq=Rp pln12x cosq+1x 2dq= F1x Par suite, lim
x!+¥(F(x)4pln(x)) =limx!+¥F1x =limy!0F(y) =F(0) =0 par continuité de Fen 0.
lim 4plnx+CavecC=limx!+¥(F(x)4plnx) =0. Donc8x>1,F(x) =4plnx.
• Six<1,F(x) =F(x) =4pln(x) =4plnjxj. 8x2R,Rp
pln(x22xcosq+1)dq=0 six2[1;1] 4pln(jxj)six2]¥;1[[]1;+¥[.2.(a) Soit x2]1;1[. Pourq2[p;p], on posef(q) =ln(x22xcosq+1). Puisque8q2[p;p],
x 22xcosq+1>0 (voir 1)),fest dérivable sur[p;p]et pourq2[p;p],
f 0(q) =2xsinqx
22xcosq+1=1i
eiqxeiqeiqxeiq =1i 11xeiq+11xeiq
1i n=0xneinq+¥å n=0xneinq! (carjxeiqj=jxeiqj=jxj<1) =2+¥å n=1sin(nq)xn: 6 Soitq2[p;p].Idésigne l"intervalle[0;q]ou[q;0]suivant queqsoit positif ou négatif. Pourn2Nett2I, posonsgn(t) =2sin(nt)xn. Pour toutn2Net toutt2I, on ajfn(t)j6jxjn. 0f0(t)dt=2ln(1x)++¥å
n=12xnZq 0sin(nt)dt
=2 n=1x nn n=1(1cos(nq))xnn =2+¥å n=1cos(nq)n xn: 8x2]1;1[,8q2[p;p], ln(x22xcosq+1) =2å+¥n=1cos(nq)n
xn.Soitx2]1;1[. Pourn2Netq2[p;p],cos(nq)n xn6jxjn. Comme précédemment, on peut intégrer terme à terme et on obtient F(x) =2å+¥n=1xnn
R p pcos(nq)dq=0. 8x2]1;1[,Rp
pln(x22xcosq+1)dq=0.(b)Soit x2R. F 1x =Z p pln 12x cosq+1x 2 dq=Z p p(ln(12xcosq+x2)ln(x2))dq=4plnjxj+F(x): 8x2R,F1x
=4plnjxj+F(x).Soitx>1. Puisque1x 2]0;1[,F(x) =4plnx+F1x
De plus,
intégrable sur le 7 segment[0;1]. A>0,Fest de classeC1surRet
8x2R,F0(x) =2xR1
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