[PDF] Chapitre 4 - Le théorème de convergence dominée





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Intégrales dépendant dun paramètre

∂ f. ∂ x. (x t) dt . On peut retenir l'abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx. ∫ b a. = ∫ b a. ∂. ∂ x. Exemple 2. Étudions F( 



Intégrales dépendant de paramètres

dérivée k-ème vaut : Γ ... Citons alors sans démontration le résultat suivant. Théorème 2.4. [Analyticité d'une intégrale dépendant d'un paramètre complexe] Avec.



INTÉGRALE À PARAMÈTRE

K désigne R ou C. I - CAS D'UN PARAMÈTRE ENTIER. 1) Intégration sur un intervalle quelconque I et suites de fonctions.



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Si C est une courbe géométrique plane et si M : I → R2 est une courbe paramétrée Dans cette intégrale double interviennent certaines dérivées partielles des ...



Chapitre 17 :Intégrales dépendant dun paramètre

gfab dt gf g f n b a n b a b a n. Page 4. Chapitre 17 : Intégrales dépendant d'un paramètre. Fonctions d'une variable réelle dérivation et intégration. Page 4 



Principaux théorèmes dintégration

est bien dé nie pour tout t ∈ I et est continue sur I. Théorème (Théorème de dérivation sous l'intégrale) (domination de la dérivée) il existe une fonction ...



Intégrales dépendant dun paramètre

fpf fxp px tqdµptq. ( la dérivée p-ème de l'intégrale par rapport au paramètre est l'intégrale de la dérivée (partielle) p-ème par rapport au paramètre ).



Intégrales dépendant dun paramètre - AlloSchool

II - Dérivation des intégrales à paramètres du = √π (intégrale de Gauss). Γ (. 1. 2). = √π. La relation fonctionnelle du 2) permet encore d'écrire : ∀n ∈ ...



intégrales-dépendant-d-un-paramètre.pdf

convergence de l'intégrale du premier membre et permet de permuter intégrale et Cette dérivée partielle est continue en x continue par morceaux en θ et



Calcul Différentiel et Intégral

que pour une intégrale dépendant d'un paramètre x continu). Les hypothèses Autrement dit l'intégrale de la dérivée de f sur un segment s'exprime simplement ...



Intégrales dépendant dun paramètre

? f. ? x. (x t) dt . On peut retenir l'abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx. ? b.



Intégrales dépendant de paramètres

[Continuité d'une intégrale à paramètre] Si au voisinage d'un point fixé tir l'intégration et la dérivation partielle. Théorème 2.1.



Chapitre 17 :Intégrales dépendant dun paramètre

Intégrales dépendant d'un paramètre. Fonctions d'une variable réelle dérivation et intégration ... Mais u et v sont intégrables sur I



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Pour calculer cette intégrale il suffit de trouver une primitive de f



Leçon 239: Fonctions définies par une intégrale dépendant dun

23 déc. 2012 Leçon 239: Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. ... majorations par des fonctions gj ? L1 pour chaque dérivée.



Calcul Différentiel et Intégral

11.2 Intégrale d'une 1-forme le long d'une courbe paramétrée . de la dérivée (linéarité dérivation du produit entre une fonction f : R ? R et g : R ...



Principaux théorèmes dintégration

Théorème (Théorème de dérivation sous l'intégrale) (domination de la dérivée) il existe une fonction ? : E ? R+ mesurable telle que / ? dµ < ? et.



Chapitre 4 - Le théorème de convergence dominée

construction de l'intégrale et son corollaire immédiat sur les séries de Théorème 4.2.3: Théorème de dérivation (global) des intégrales à paramètre.



Chapitre 12 Intégrales à paramètre

Intégrale de GAUSS. Pour tout n ? N et x ? R on pose fn(x) = Intégrales dépendant d'un paramètre ... Théorème 4 (Dérivation sous le signe intégral).



Intégrales dépendant dun paramètre

Exercice 3 ** I Un calcul de l'intégrale de GAUSS I = / +? D'après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de LEIBNIZ) ...

Chapitre 4

Le théorème de convergence dominée

4.0 Rappel des théorèmes de convergence précédents

Pour des suites de fonctions positives, on a vu le théorème de convergence croissante, essentiel dans la

construction de l"intégrale, et son corollaire immédiat sur les séries de fonctions positives.Théorème:Théorème de convergence croissante ou de Beppo Levi

Soit(fn)n?Nune suitecroissantede fonctions mesurablespositivessur l"espace mesuré(X,M,μ).

Alorsf= sup

nfn= limn→+∞↑fnest mesurable à valeurs dansR +et? fdμ= limn→∞↑? f ndμ.Corollaire: Théorème d"interversion de ?et? Soit(fn)n?Nune suite de fonctions mesurablespositivessur l"espace mesuré (X,M,μ). Alors? n?Nf n est mesurable positive et n?Nf ndμ=? n?N? f

ndμ.Le théorème de convergence croissante se décline en un autre corollaire donnant le cas de la convergence

décroissante.Mais pour ce dernier cas, on a besoin d"une hypothèse de domination: une des

fonctionsfn0de la suite(fn)n?Ndoit avoir une intégrale finie, ce qui induit la finitude des intégrales de

toutes fonctions les suivantes, puisquefn0les domine!Corollaire: Théorème de convergence décroissante

Soit(fn)n?Nune suitedécroissantede fonctions mesurablespositivessur l"espace mesuré(X,M,μ).

Alorsf= infnfn= limn→+∞↓fnest mesurablepositiveet s"il existen0?Ntel quefn0est intégrable

alors? fdμ= limn→∞↓? f ndμ <+∞.89

90CHAPITRE 4. LE THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE

Afin d"avoir un théorème analogue pour des suites non nécessairement monotones, de fonctions non

nécessairement positives, on est tenter d"utiliser les limites inférieure et supérieure qui sont respectivement

des limites croissantes et décroissantes :Nota Bene On rappelle qu"une suite de réels(un)n?Nest convergente dansRsi et seulement si -∞La limite inférieure est la plus petite valeur d"adhérence et limite supérieure est la plus grande

valeur d"adhérence de(un)n?NdansR. L"égalité des deux signifie qu"il y a une unique valeur

d"adhérence : la limite de la suite dansR.On a justement vu un corollaire du théorème de Beppo Levi pour les limites inférieures :

Lemme: Fatou-Lebesgue

Soit(fn)n?Nune suite de fonctions mesurablespositivessur l"espace mesuré(XM,μ). Alors liminfnfnest mesurable positive et : liminf f ndμ.4.1 Le théorème de convergence dominée

En utilisant judicieusement les remarques du paragraphe précédent, on obtient le théorème suivant,

qui suppose uniquement une convergencesimple:Théorème 4.1.1:Théorème de convergence dominée de Lebesgue

Soit(fn)n?Nune suite de fonctions mesurables sur l"espace mesuré(XM,μ)à valeurs dansRouC, qui convergesimplement-p.p. (pourμ) vers une fonctionf. Supposons qu"il existe une fonction intégrablepositiveg:X→R

1.fetfnsont intégrables (pour toutn?N)

2.limn?

|fn-f|dμ= 0(autrement dit?f-fn?1→0lorsquen→+∞)

3.limn?

f ndμ=? fdμ.Voir la démonstration(page93 )

4.2. CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE91Corollaire 4.1.2:Séries d"intégrales

Soit(un)n?Nune suite de fonctions mesurables sur l"espace mesuré(XM,μ)à valeurs dansRouC. Si? n?N? X |un|dμ <+∞alors les fonctionsun,? n?N|un|et? n?Nu nsont intégrables et X? n?Nu ndμ=? n?N? X u ndμVoir la démonstration(page95 )

4.2 Conséquences du théorème de convergence dominée

Le théorème de convergence dominée concerne des suites de fonctions, l"indice est un paramètre

entier. La continuité étant équivalente à la continuité séquentielle dansRou dans un espace métrique,

on généralise facilement le théorème de convergence dominée à la continuité des intégrales à paramètre.Théorème 4.2.1:Théorème de continuité des intégrales à paramètre.

Soient(X,M,μ)un espace mesuré,Iun intervalle deR,a?Ietf:X×I→Rune fonction

(x?Xest la variable d"intégration ett?Ile paramètre réel). On assimile cette fonctionfà la

famille(ft)t?Ià un paramètre en posantf(x,t) =ft(x). On suppose quefsatisfait les hypothèses :

1.Continuité par rapport au paramètret: pour(μ)presque toutx?X,

f(x,·) :I?→R t?→f(x,t)est continue ena;

2.Mesurabilité par rapport à la variable d"intégrationx: pour toutt?I,

f(·,t) =ft:X?→R x?→f(x,t)est mesurable surX;

3.Domination: il existe une fonctiong:X→R

Alorsftest intégrable pour toutt?IetF(t) =?

X f(x,t)dμ(x)est continue ena. On a un résultat analogue a vecla con tinuitéà droite ou à gauc he;

On p euttout à fait généraliser à la con tinuitédans un espace métrique : il suffit de remplacer

Ipar un espace métrique, ou un ouvert d"un espace métrique.Exercice 4.2.2 Soit fonctionf:R→Rune fonction intégrable. Soita?R.

92CHAPITRE 4. LE THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE1.On p ose:

F(x) =?

[a,x]fdλ=? x a f(t)dt.

Montrer queFest continue surR

2. Mon trerque c"est encore vrai en remp laçantλpar une mesureμtelle queμ({x}) = 0pour

toutx?R.Théorème 4.2.3:Théorème de dérivation (global) des intégrales à paramètre

SoientIun intervalle ouvert non vide deRetf:X×I→Rune fonction telle que : 1. p ourpresque tout x?X,t?→f(x,t)est dérivable par rapport àtde dérivée∂f∂t (x,t) 2. p ourtout t?I,f(·,t) =ftestintégrable 3. il existe une fon ctiong:X→R+intégrable telle que pour toutt?I,???∂f∂t Alors ∂f∂t (·,t)est intégrable pour toutt?I,F(t) =? X f(x,t)dμ(x)est dérivable entet : F ?(t) =?

X∂f∂t

(x,t)dμ(x)Voir la démonstration(page97 )

Remarque 4.2.4

1. Il existe une v ersionlo cale(dériv éeen un p ointt0) en demandant uniquement l"exitence de ∂f∂t (x,t)et en remplaçant la condition de domination par 2. On p eutgénéraliser aux dériv éesd"ordre sup érieur(exe rcice). 3. On p eutaussi gé néraliseren remplaçan tIpar un ouvert deRpen utilisant les dérivées directionnelles notamment les dérivées partielles. 4. Le corollaire 4.1.2 p ermetqu antà lui de traiter le cas des fon ctionsanalytiqu es(c"est à dire localement développables en séries entières)

Les démonstrations du chapitre 4

Théorème:Théorème de convergence dominée de Lebesgue Soit(fn)n?Nune suite de fonctions mesurables sur l"espace mesuré(XM,μ)à valeurs dansRouC, qui convergesimplement-p.p. (pourμ) vers une fonctionf. Supposons qu"il existe une fonction

1.fetfnsont intégrables (pour toutn?N)

2.limn?

|fn-f|dμ= 0

3.limn?

f ndμ=? fdμ.Démonstration.Retourpage 90 1. Dans un premier temps, on supp oseque p ourtout x?X:fn(x)converge versf(x)et que 2gf nf|f-fn|-gg 93

94CHAPITRE 4. LE THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE

On a les propriétés suivantes :

•fest mesurable comme limite de fonctions mesurables •Pour toutn?N? {∞}, gdμ <+∞? doncfnest intégrable. En particulier, pourn=∞,fest intégrable. •On posehn= 2g- |f-fn|. On a : h n≥0etliminfnhn= 2g-limsup n|f-fn|= 2g-limn|f-fn|= 2g •En appliquant le lemme de Fatou à(hn)on obtient :

2gdμ=?

liminf h ndμ=?

2gdμ-limsup

n? |f-fn|dμ Comme

2gdμ <+∞, on trouve :limsup

n? limsup n? |f-fn|dμ= limn? |f-fn|dμ= 0. fdμ-? f |f-fn|dμdonclimn? f ndμ=? fdμ. 2. Soien tNnun ensemble de mesure nulle en dehors duquelgmajore|fn|, etNun ensemble de mesure nulle en dehors duquel(fn)n?Nconverge simplement versf. Alorsμ? N?? nN n? = 0.

On noteU=?

N?? nN n? cet on remplacefnpar˜fn=fn.?Uetfpar˜f=f.?U. On a : f ndμ=?

˜fndμ?

fdμ=?

˜fdμ?

|f-fn|dμ=?

˜f-˜fn|dμ.

4.2. CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE95Corollaire: Séries d"intégrales

Soit(un)n?Nune suite de fonctions mesurables sur l"espace mesuré(XM,μ)à valeurs dansRouC. Si? n?N? X |un|dμ <+∞alors les fonctionsun,? n?N|un|et? n?Nu nsont intégrables et X? n?Nu ndμ=? n?N? X u ndμDémonstration.Retourpage 91

On poseg=?

n?N|un|dμ <+∞,fn=?n k=0uketf=? n?Nun. Alors l"hypothèse et le théorème de Beppo Levi nous disent quegest positive intégrable d"intégrale X gdμ=? X? n?N|un|dμ=? n?N? X |un|dμ <+∞.

De plusgdomine la famille(fn)n?N:

On en déduit quefest définie presque partout (la série? n?N|un|est presque partout finie et donc la série? n?Nunest presque partout absolument convergente). Lethéorème de con vergence dominée s"applique, d"où la conclu siondu corollaire.

96CHAPITRE 4. LE THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉEThéorème:Théorème de continuité des intégrales à paramètre.

Soient(X,M,μ)un espace mesuré,Iun intervalle deR,a?Ietf:X×I→Rune fonction

(x?Xest la variable d"intégration ett?Ile paramètre réel). On assimile cette fonctionfà la

famille(ft)t?Ià un paramètre en posantf(x,t) =ft(x). On suppose quefsatisfait les hypothèses :

1.Continuité par rapport au paramètret: pour(μ)presque toutx?X,

f(x,·) :I?→R t?→f(x,t)est continue ena;

2.Mesurabilité par rapport à la variable d"intégrationx: pour toutt?I,

f(·,t) =ft:X?→R x?→f(x,t)est mesurable surX;

Alorsftest intégrable pour toutt?IetF(t) =?

X f(x,t)dμ(x)est continue ena. On a un résultat analogue a vecla con tinuitéà droite ou à gauc he;

On p euttout à fait généraliser à la con tinuitédans un espace métrique : il suffit de remplacer

Ipar un espace métrique, ou un ouvert d"un espace métrique.Démonstration.Retourpage 91 L"intégrabilité deftest évidente. Ensuite, dire queFest continue ena?Irevient à dire que pour toute suite(tn)n?Nqui converge versa, la suite?F(tn)? n?Nconverge versF(a). Il suffit donc

d"appliquer le théorème de convergence dominée aux suites(gn)n?Ndéfinies pargn=f(·,tn). En

effet, si(tn)n?Nconverge versa, on déduit de la continuité def(x,·)enaque(gn(x))n?Nconverge versf(x)(pour presque toutx?X). En outre pour toutn?Net presque toutx?Xon a lim n→∞F(tn) = limn→∞? g n(x)dμ(x) = limn→∞? f(x,tn)dμ(x) =? f(x,a)dμ(x) =F(a).

4.2. CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉE97Théorème:Théorème de dérivation (global) des intégrales à paramètre

SoientIun intervalle ouvert non vide deRetf:X×I→Rune fonction telle que : 1. p ourpresque tout x?X,t?→f(x,t)est dérivable par rapport àtde dérivée∂f∂t (x,t) 2. p ourtout t?I,f(·,t) =ftestintégrable 3. il existe une fon ctiong:X→R+intégrable telle que pour toutt?I,???∂f∂t Alors ∂f∂t (·,t)est intégrable pour toutt?I,F(t) =? X f(x,t)dμ(x)est dérivable entet : F ?(t) =?

X∂f∂t

(x,t)dμ(x)Démonstration.Retourpage 92

L"intégrabilité dex?→∂f∂t

(x,t)surXpour toutt?Iest évidente. Pour la dérivée deFena?I, on applique le théorème de con vergencedomin ée à la suite (gn)n?Ndéfinie pargn=f(·,tn)-f(·,a)t

n-aoù(tn)n?Nest une suite qui tend versacomme pour lecorollaire 4.2.1 . En effet, pour presque tout

x?X,limn→∞gn(x) =∂f∂t (x,a)et d"après le théorème des accroissements finis, pour presque tout x?X, |gn(x)|=???f(x,tn)-f(x,a)t n-a? t?I? ??∂f∂t

On déduit que

lim n→+∞F(tn)-F(a)t n-a= limn→+∞? X g n(x)dμ(x) =?

X∂f∂t

(x,a)dμ(x)quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
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