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Intégrales dépendant de paramètres

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

Soit un sous-ensemble mesurableERd, soit un intervalleIRd"intérieur non vide et soit une fonction mesurable : f:EI!C:R I E R dt R

Ef(x;t)dx

Une question naturelle qui possède des applications extrêmement nombreuses et utiles en Analyse consiste à déterminer de quelle manière l"intégrale :

F(t) :=Z

E f(x;t)dx

dépend du paramètreten fonction de la régularité de l"applicationfque l"on intègre (sur

des tranches horizontales). En fait, de tellesreprésentation intégralesF(t)s"avèrent constituer un outil puissant

répandu pour étudier les propriétés des solutions à de nombreuses équations aux dérivées

partielles, notamment issues de la physique, par exemple leur régularité, la localisation de

leurs singularités, ou encore leurs propriétés asymptotiques.C"est pourquoi ce bref chapitre

simple est d"une importance absolument capitale! 1

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud1. Continuité d"intégrales dépendant de paramètres

un premier énoncé fondamental est le suivant.

Théorème 1.1.

[Continuité d"une intégrale à paramètr e]Si, au voisinage d"un point fixé t

02I, les trois conditions suivantes sont satisfaites :

(i)pour toutt6=t0proche det0, la fonctionx7!f(x;t)est Lebesgue-intégrable en la variablexsurE; (ii)pour presque toutx2E: lim t!t0f(x;t) =f(x;t0); (iii)il existe une fonction positiveg:E!R+Lebesgue-intégrable surEqui, pour tout t6=t0proche det0et pour presque toutx2E, domine uniformément :f(x;t)6g(x);

Alors premièrement la fonction :

x7!f(x;t0) est Lebesgue-intégrable surEet deuxièmement surtout : lim t!t0Z E f(x;t)dx=Z E f(x;t0)dx: Autrement dit, ces trois conditions garantissent que la fonction introduite ci-dessus :

F(t) =Z

E f(x;t)dx estcontinueent=t0. Dans la plupart des applications utiles et intéressantes, il est en général aisé de vérifier que ces trois conditions sont effectivement satisfaites. Démonstration.L"argument est dérisoirement simple, puisque, comme l"aura fait deviner la présence d"une fonction dominatriceg, ce résultat est une application immédiate du théorème de convergence dominée, par exemple en introduisant une suite : t n!t0; à laquelle est associée la suite de fonctions intégrables : f n(x) :=f(x;tn); la vérification complète étant laissée en exercice d"assimilation. Bien entendu, l"énoncé le plus fréquemment utile dans les applications concerne une continuité entousles points de l"intervalleI. Théorème 1.2.Si les trois conditions suivantes sont satisfaites : (i)pour toutt2I, la fonctionx7!f(x;t)est Lebesgue-intégrable en la variablexsur E; (ii)pour toutx2E, la fonctiont7!f(x;t)est continue en la variabletsurI; (iii)il existe une fonction positiveg:E!R+Lebesgue-intégrable surEqui domine uniformément :f(x;t)6g(x)

2.Dérivabilité d"intégrales dépendant de paramètres 3entoutpoint(x;t)2EI;

Alors la fonction :

t7!Z E f(x;t)dx est continue sur l"intervalleIen entier. Démonstration.C"est encore un corollaire direct du Théorème de convergence dominée, et aussi un corollaire logique du théorème qui précède. Des énoncés analogues sont satisfaits par des intégrales :

F(t1;:::;tr) :=Z

E f(x;t1;:::;tr)dx de fonctions mesurables qui dépendent d"un nombrer>1quelconque de paramètres réels.

Il peuvent être formulés (exercice d"écriture), et ils découlent essentiellement directement

(pour des raisons formelles) des deux énoncés que nous venons de voir dans le cas d"un seul paramètre (r= 1).

2. Dérivabilité d"intégrales dépendant de paramètres

Commençons par rappeler deux résultats classique d"Analyse de niveau Licence 1 ou 2.

Théorème 2.1.

[des accr oissementsfinis] Sur un intervalle compact[a;b]Ravec

1< a < b <1, si une fonctionf: [a;b]!Rest continue, et aussi dérivable sur

l"intervalle ouvert]a;b[- mais pas forcémentC1-, alors il existe au moins un élément c2]a;b[tel que : f

0(c) =f(b)f(a)ba:

Démonstration.Cet énoncé est une conséquence du Théorème de Rolle, rappelé ci- dessous, appliqué à la fonction auxiliaire : g: [a;b]!R x7!f(x)f(b)f(a)bax; dont la dérivée vaut : g

0(x) =f0(x)f(b)f(a)ba:

Théorème 2.2.

[de Rolle] Sur un intervalle compact[a;b]avec1< a < b <1, si une fonctionf: [a;b]!Rest continue, et aussi dérivable sur l"intervalle ouvert]a;b[, et si enfin : f(b) =f(a); alors il existe au moins un élémentc2]a;b[tel que : f

0(c) = 0:

Démonstration.Unc2]a;b[qui convient est par exemple c:=max [a;b]fouc:=min [a;b]f;

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sudcar on sait (exercice de révision) qu"en un extremum d"une fonction dérivable, la dérivée

s"annule nécessairement (sinon, s"il y avait une pente non nulle, le point en question ne serait pas un extremum). Voici maintenant l"énoncé que nous attendons tous, à savoir celui qui permet d"interver- tir l"intégration et la dérivation partielle.

Théorème 2.3.

[Déri vabilitésous le signe intégral] Avec les mêmes notations précédem- ment :

F(t) =Z

E f(x;t)dx; si les trois conditions suivantes sont satisfaites : (i)pour toutt2I, la fonctionx7!f(x;t)est Lebesgue-intégrable en la variablexsur E; (ii)pour toutx2E, la fonctiont7!f(x;t)est dérivable, de dérivée : @f@t (x;t); (iii)il existe une fonction positiveg:E!R+mesurable Lebesgue-intégrable surEqui domine uniformément :@f@t (x;t)6g(x); pour toutx2Eet toutt2I;

Alors en toutt2Ifixé, la fonction :

x7!@f@t (x;t) est Lebesgue-intégrable surE, et surtout, la fonction : t7!Z E f(x;t)dx est dérivable surIde dérivée égale à : ddt Z E f(x;t)dx=Z E@f@t (x;t)dx: Démonstration.Fixons donc un paramètret2Iet donnons-nous une suite quelconque (tn)1n=1d"élémenttn2Inftgqui tendent vers : t=limn!1tn: En tout pointx2E, les quotients différentielsf(x;tn)f(x;t)t ntont alors une valeur finie qui tend par hypothèse vers : @f@t (x;t) =limn!1f(x;tn)f(x;t)t nt: La formule des accroissement finis assure alors qu"il existe au moins un élémentsnsitué entretnetttel que : f(x;tn)f(x;t)t nt=@f@t (x;sn):

2.Dérivabilité d"intégrales dépendant de paramètres 5Grâce à l"hypothèse(ii), la suite de fonctions intégrables surE:@f@t

(x;sn) 1 n=1

vérifie les hypothèses du Théorème de convergence dominée, d"où nous déduisons que la

fonction-limite : x7!limn!1@f@t (x;sn) @f@t (x;t) est Lebesgue-intégrable surE, et aussi que l"on a : lim n!1Z E@f@t (x;sn)dx=Z E limn!1@f@t (x;sn)dx Z E@f@t (x;t)dx: Mais commetn6=tpour toutn>1, on peut grâce à la linéarité de l"intégrale dévelop- per les quotients différentiels finis :Z E@f@t (x;sn) =Z

Ef(x;tn)f(x;t)t

ntdx 1t nt Z E f(x;tn)dxZ E f(x;t)dx: ce qui achève la démonstration (exercice visuel). Par exemple, ce théorème permet d"établir que laFonction Gamma d"Euler, définie par : (y) :=Z 1 0 exxy1dx est de classeC1sur]0;1[, et que, pour toutk2N, sa dérivéek-ème vaut : (k)(y) =Z 1 0 exxy1logxkdx: De même, à partir de la formule élémentaire valable poury >0réel :Z1 0dxx

2+y2=2y;

on obtient par dérivation, pour tout entiern>2, que (exercice) :Z1

0dx(x2+y2)n=2

13(2n3)24(2n4)1y

2n1:

Outre la continuité et la dérivabilité des intégrales dépendant d"un ou de plusieurs pa-

ramètres, il est également extrêmement utile dans de nombreuses applications de connaître

la régularité d"une intégrale :

F(z) :=Z

E f(x;z)dx d"une fonctionf:E !Cqui dépendholomorphiquementd"un paramètrez2C, où

Cest un ouvert.

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-SudRappelons à cet effet rapidement qu"une fonction :

h: !C définie sur un ouvert Cest diteanalytiquesi elle est développable en série entière convergente au voisinage de tout pointz02 , c"est-à-dire si : 8z02

9r0>0; r0 );8jzz0j< r0h(z) =1X n=0a nzz0 n la série Pan(zz0)nétant convergente dans le disquefz2C:jzz0j< r0g. On démontre - et nous admettrons ce résultat ici - que les fonctions analytiques sont indé- finiment dérivables et que leurs dérivées de tous ordres par rappport àz: kh@z k(z)(k>1) demeurent analytiques dans le même ouvert . Citons alors sans démontration le résultat suivant.

Théorème2.4.

[Analyticité d"uneintégraledépendantd"unparamètrecomplexe]Avec les notations qui précèdent :

F(z) :=Z

E f(x;z)dx; Eétant un sous-ensemble mesurable deRd, si les trois conditions suivantes sont satis- faites : (i)pour toutz2 , la fonctionx7!f(x;z)est Lebesgue-intégrable en la variablexsur E; (ii)pour toutx2E, la fonctionz7!f(x;z)est analytique dans (iii)il existe une fonction positiveg:E!R+Lebesgue-intégrable surEqui domine uniformément :f(x;z)6g(x); pour toutx2Eet toutt2I;

Alors la fonction :

z7!Z E f(x;z)dx est analytique dans de dérivéesk-èmes d"ordre quelconque égales à : d kdz kZ E f(x;z)dx=Z E@ kf@z k(x;z)dx: Par exemple, la fonctiond"Euler complexe définie pourz2Cpar : (z) :=Z 1 0 exxz1dx est analytique dans le demi-plan complexe z2C: Rez >0.

3.Exercices 73. Exercices

Exercice 1.Soit un intervalleIRd"intérieur non vide, soit une fonctionf:RI!Ret soient deux fonctionsu;v:I!Rsatisfaisant : fest continue surRI; la dérivée partielle(x;t)7!@f@t (x;t)existe et est continue surRI; uetvsont dérivables surI;

Montrer que la fonctionG:I!Rdéfinie par :

G(t) :=Z

v(t) u(t)f(x;t)dx est bien définie, qu"elle est dérivable surI, et enfin, que sa dérivée vaut : G

0(t) =Z

v(t) u(t)@f@t (x;t)dx+fv(t);tv0(t)fu(t);tu0(t): Exercice 2.En discutant les casa61eta >1, étudier : lim n!1Z 1 0 1 +xn neaxdx: Exercice 3.Soit une fonction mesurable intégrablef:R!R+[ f1g. Avec un paramètret >0, on introduit :

F(t) :=Z

Rf(x)p1 +tf(x)2dx:

(a)Montrer queFprend des valeurs finies, qu"elle est continue, et que0 =limt!1F(t). (b)Montrer queFestC1sur]0;1[. (c)Montrer l"existence de la dérivée à droite deFen0: lim t!>0F(t)F(0)t dansf1g [R.

(d)Quelle condition nécessaire et suffisantefdoit-elle satisfaire pour queFsoit de classeC1sur[0;1[?

Exercice 4.

[F onctiongamma d"Euler et f ormulede Stirling] Pours >0, soit la fonction : (s) :=Z 1 0 xs1exdx:

(a)Montrer, pours >0, que l"intégrale a un sens, à savoir que les deux limites suivantes existent :

lim !>0Z 1 xs1exdxetlim M!1Z M 1 xs1exdx: (b)Montrer queestC1sur]0;1[. (c)Déterminerlims>!0(s)ainsi quelims!1(s).quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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