[PDF] Le Mod`ele Linéaire Gaussien Général

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Publicationsde

l'InstitutdeMath ematiques deToulouse

LeModeleLineaireGaussienGeneral

(versiondemars2010)

AlainBaccini

2

Tabledesmatieres

1Introductionalamodelisationstatistique9

2Generalitessurlemodelelineaire15

3L'analysedevarianceunivariee27

3

4TABLEDESMATIERES

3.2.2 4

5L'analysedevariancemultivariee67

5.1

TABLEDESMATIERES5

6Modelesaeetsaleatoiresetmodelesmixtes83

6.1.1 6.1.2 6.2.1 6.3.1

7Modelespourdonneesrepetees113

A

AproposdelamethodedeBonferroni137

6TABLEDESMATIERES

CUnexercicesurlescarreslatins167

GBibliographie185

TABLEDESMATIERES7

Avant-propos

Originedecedocument

moyendulogicielSAS. constituedeschapitres4a7.

Remerciements

8TABLEDESMATIERES

Chapitre1

Introductionalamodelisation

statistique statistique.

1.1Notiondemodelisationmathematique

physique,biologique,economiqueouautre. probabilite). 9

Lemodelelineaire(gaussien)debase

danslechapitre2.

Lemodelelineairegeneralise

Lesmodelesnonlineaires

deneurones.

Lesmodelesmixtes

Lesmodelespourdonneesrepetees

repeteesauchapitre7.

Lesmodelespourserieschronologiques

L'analysediscriminanteetlaclassication

denaturequalitative. ouaumodelelineairegeneralise.

Quelquesautresmodeles

VectorMachines).

modelespourdonneesrepeteesauchapitre7. http://www.math.univ-toulouse.fr/~besse/ rubrique\Enseignement". nousdecrivonsdansceparagraphe. donnees".

1.3.1\Nettoyage"desdonnees

supprimessinon.

1.3.2Analysesunivariees

eventuellement,corrigeroueliminer).

1.3.3Analysesbivariees

l'^etreaveclesanalysesunivariees.

1.3.4Analysesmultivarieesquantitatives

lineaires.

1.3.5Analysesmultivarieesqualitatives

0.5. d'autresregroupements.

1.3.6Bilan

niveaula,absolumentindispensable. casqualitatif). (IRn;BIRn;Q): mettresouslaformesuivante: (IRn;BIRn;nY i=1P i): variablesexplicatives. lemodeledevient: (IRn;BIRn;Pn):

Onacoutumedelenoter(IR;BIR;P)

Chapitre2

Generalitessurlemodelelineaire

conanceetlestests.

Resume

taillen: Y i=pX j=1 jXj i+Ui: Y inconnus,aestimer.LesXj

Matriciellement,onpeutreecrire

Y=X+U;

desparametres.

B=(X0X)1X0Y:

Y=X^B=X(X0X)1X0Y=HY;

15 colonnesdeX.

U=Y^Y=H?Y;

supplementaireorthogonalauprecedent. 2=P n i=1^U2i np=k^Uk2np: j=1cjj;conduital'intervalle c

0^t[^2c0(X0X)1c]1=2;

out=tnp(1 F=NUM q^2;

X0X=^B0C[C0(X0X)1C]1C0^B;

desresidusdanslemodelesousH0.

2.1Denitionsetnotations

2.1.1Lemodelelineaire

Y=pX j=1 jXj+U: lecas.

2.1.DEFINITIONSETNOTATIONS17

systematiquementleshypothesessuivantes:

IE(U)=0;Var(U)=2>0

l'hypothesed'homoscedasticite.

IE(Y)=pX

j=1 jXj;Var(Y)=2:

2.1.2Lemodelelineairegaussien

UN(0;2);

cettehypotheseentra^nantlanormalitedeY.

2.1.3Notations

Y. Y i=pX j=1 jXj i+Ui(egaliteentrev.a.r.): y i=pX j=1 jxj i+ui(egaliteentrenombresreels):

Parailleurs,onnoteraY=0

B @Y 1. Y n1 C dorenavantavecunechantillon),X=(xj predicteurs,=0 B 1. p1 C

AlevecteurdesparametresdansIRpetU=0

B @U 1. U n1 C

Alevecteuraleatoire

Y=X+U;

avec,danslecasgaussien,

UNn(0;2In)etYNn(X;2In);

I ndesignantlamatriceidentited'ordren.

2.1.4Troisexemplesbasiques

Lemodeleconstant,oumodele\blanc"

Ils'ecrit:

Y i=+Ui(Y=1In+U): auqueloncomparerad'autresmodeles.

Lemodelederegressionlineairesimple

C'estlemodelesuivant:

Y i=1+2X2i+Ui:

Cemodeles'ecrit:

Y i=j+Ui; indicatrice,desortequep=2.

Matriciellement,cemodelepeuts'ecrire

Y=X+U;

avec =1 2 etX=0 B B B B B B B B @10 10 01 011 C C C C C C C C A. dufacteur(n1+n2=n).

2.2.ESTIMATIONDESPARAMETRES19

2.2Estimationdesparametres

2.2.1Estimationdedanslecasgeneral

carres.Elleconsisteaposer: =ArgminkyXk2;2IRp:(2.1) =(X0X)1X0y(estimation); valeurobserveeduvecteuraleatoire

B=(X0X)1X0Y(estimateur):

Proprietesde^B

{Var(^B)=2(X0X)1X0X(X0X)1=2(X0X)1=2 nS1n;avecSn=1nX0X(matrice estimateurconvergent,sousreserveque: lim n!1det(Sn)=d>0: =ArgminkyXk2

V1:(2.2)

2.2.3Estimationdedanslecasgaussien

Densited'uneloimultinormale

f(z)=1 (2)n=21(det)1=2exp[12(z)01(z)]:

L(y;;2)=1

(2)n=21nexp[122(yX)0(yX)]:

Log-vraisemblance

l(y;;2)=log[L(y;;2)] =n

2log(2)nlog()122(yX)0(yX)

=constantenlog()1

22kyXk2:

Consequences

gaussien.

Proprietes

L'estimateur

inferieuredel'inegalitedeCramer-Rao). avecj=Pn i=1(xj p).Ilvientdonc(X0X)1=diag(1 devariance(voirchapitre3).

2.2.4Estimationd'unefonctionlineairede

lam^emecondition)etecace. jk,etc.

2.2.5Valeurspreditesetresidus

Valeurspredites

^y=X^=X(X0X)1X0y: considere;onparleaussidevaleursajustees.

Danslemodelegaussien,onobtient

Y=HYNn(X;2H);

2.2.ESTIMATIONDESPARAMETRES21

estidempotente). hietonl'estime par^p

Residus

Onobtientainsi^U=Y^Y=(InH)Y=H?Y;

gonalaFX.

Danslemodelegaussien,onobtient:

U=H?YNn(0;2H?):

Independancede^Uavec^Yetavec^B

Ona:

Cov(^U;^Y)=Cov(H?Y;HY)=2H?H=0:

pour^Uet^B.

Residusstudentises

estdoncp ^p1hi.Ils'agitdel'approximaton n i=1^U2i np(voir peuutiles.

2.2.6Estimationde2danslecasgeneral

varianceempiriquedesresidus^Ui,soit2=1 nn X i=1^

U2i(lamoyenneempiriquedes^Uiestnulle).

npn X i=1^ U2i,

2.2.7Estimationde2danslecasgaussien

corrige^2=1 npn X i=1^ (np)^2 2=P n i=1^U2i2=k^Uk222 np:

Ondeduitdeceresultat:

{IE(^2)=2(resultatdejaconnu); {Var(^2)=24 np:^2estdoncunestimateurconvergent; c

0^BN(c0;2c0(X0X)1c):

decoecientdesecurite1: c

0^^[c0(X0X)1c]1=2tnp(1

2):

Dansl'expressionci-dessus,onnoteraque:

{c0^estl'estimationponctuelledec0; {^[c0(X0X)1c]1=2estl'erreur-typedec0^; {tnp(1 desecurite1)pourleparametrej. utilisantpourrisquenonpasmais

2.3.TESTD'UNEHYPOTHESELINEAIREEN23

2.3Testd'unehypotheselineaireen

sous-espacevectorieldeIRndedimensionpq.

Onavu:

(np)^2 2=P n i=1^U2i2=k^Uk222 np: k ^U0k2k^Uk2 22
q; aveck^U0k2=Pn ci-dessussontindependantes.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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