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La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVALe mod`ele lin´eaire
Mod´elisation d'une variable quantitative en
fonction de variables quantitatives ou qualitativesM. L. Delignette-Muller
VetAgro Sup
5 janvier 2023
M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAIllustration
Ex. : mod´elisation d'une variable quantitative (le poids 10 jours ap. traitement) en fonction de deux variables explicatives, une quantitative (le poids initial) et une qualitative (le traitement).M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAObjectifs p´edagogiques
Connaˆıtre les bases th´eoriques du mod`ele lin´eaire. Connaˆıtre le cadre d'utilisation classique du mod`ele lin´eaire. Savoir v´eriifier ses conditions d'utilisation. Savoir interpr´eter les coeiÌifiÌicients estim´es et utiliser un mod`ele en inf´erence.Avoir un aper¸cu des extensions du mod`ele lin´eaire.M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAPlan
1La r´egression lin´eaire multipleMod`ele et estimation des param`etres
Conditions d'utilisation
Inf´erence
2Choix d'un mod`eleComparaison de mod`eles et s´election de variables
Mod`eles polynomiaux
Transformation de variables
3R´egression et ANOVAMod`ele d'ANOVA1
Mod`eles d'ANOVA 2
Mod`eles d'ANCOVA
M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceExemple inspir´e de la litt´eratureHanet al.2001,
Response Surface Modeling for the Inactivation ofEscherichia coli O157 :H7 on Green Peppers (Capsicum annuumL.) by ChlorineDioxide Gas Treatments.4 variables contrˆol´ees:concentration en dioxyde de chloreCl02(mg.l-1),temp´eratureT(◦C),temps de traitementt(min) ethumidit´e relativeHR(%).Variable observ´ee not´eeLR: la r´eduction bact´erienne en
UFC (en log) pour 5 g de poivre.
M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceVisualisation du jeu de donn´ees
> d <- read.table("DATA/han2001.txt", header = TRUE, stringsAsFactors = TRUE) > str(d) ?data.frame?: 29 obs. of 5 variables: $ T : int 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 ... $ HR : int 65 65 85 85 65 65 85 85 65 65 ... $ ClO2: num 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 ... $ t : num 15 15 15 15 15 15 15 15 65 65 ... $ LR : num 1.59 1.71 2.19 2.25 3.7 3.98 4.88 5 2.03 2.71 ... > head(d)T HR ClO2 t LR
1 10 65 0.2 15 1.59
2 20 65 0.2 15 1.71
3 10 85 0.2 15 2.19
4 20 85 0.2 15 2.25
5 10 65 0.4 15 3.70
6 20 65 0.4 15 3.98
M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceImpact du dioxyde de chlore?
Diagramme de dispersion et r´egression simple en ignorant les autres variables de contrˆole0.10.20.30.40.5 1 2 3 4 5 ClO2 LR r 2 = 0.70M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaireLa r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceImpact de la temp´erature?
Diagramme de dispersion en ignorant les autres variables de contrˆole510152025 1 2 3 4 5 TLRM.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceImpact du temps de traitement?
Diagramme de dispersion en ignorant les autres variables de contrˆole20406080100120140 1 2 3 4 5 tLRM.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceImpact de l'humidit´e relative?
Diagramme de dispersion en ignorant les autres variables de contrˆole60708090 1 2 3 4 5 HRLRM.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erencePrise en compte de plusieurs variables de contrˆoleL'efffet le plus ´evident est celui du dioxyde de chlore, maisles autres variables n'ont-elles pas d'efffet?
Serait-il int´eressant de les int´egrer dans un mod`ele pour mieux pr´edire l'efffet d'un traitement?Ne pourrait-on pas atteindre un pourcentage de variance expliqu´ee (r2) sup´erieur `a 70%? ⇒int´erˆet de lar´egression multiple.M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaireLa r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceLe mod`ele de r´egression multiple Simple extension du mod`ele de r´egression lin´eaire simple permettant la prise en compte de plusieurs variables de contrˆole (appel´ees aussi r´egresseurs ou covariables). Y avecϵi∼N(0,σ)Partie d´eterministe : relation lin´eaire
Partie stochastique : mod`ele gaussien
ial´eatoires, ind´ependants, suivant une loi normale(loi de Gauss) de variance r´esiduelleσ2constante.M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceM´ethode d'estimation des param`etresComme en r´egression lin´eaire simple.
Maximisation de la vraisemblance(maximisation de
Pr(Y|β0,β1,...,βp,σ)) qui revient dans le cadre du mod`ele gaussien `a laminimisation de la Somme des Carr´es des Ecarts (SCE)SCE=Pn
i=1e2iavecei=Yi-ˆYi Probl`eme d'optimisation auquel correspond une solution analytique :b= (X′X)-1X′y avecb= b 1 b 2 b ,X= 1x11...xp11x12...xp2
ety= y 1 y 2 y M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaireLa r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceR´egression lin´eaire multiple avecR > m <- lm(LR ~ T + HR + ClO2 + t, data = d) > m Call: lm(formula = LR ~ T + HR + ClO2 + t, data = d)Coefficients:
(Intercept) T HR ClO2 t -4.3783 0.0258 0.0435 11.5208 0.0177M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceR´egression lin´eaire multiple avecR > summary(m) Call: lm(formula = LR ~ T + HR + ClO2 + t, data = d)Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.8313 -0.0872 0.0269 0.1215 0.4323Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -4.37830 0.48624 -9.00 3.7e-09T 0.02575 0.01110 2.32 0.029
HR 0.04346 0.00555 7.83 4.6e-08
ClO2 11.52083 0.55483 20.76 < 2e-16
t 0.01775 0.00188 9.45 1.5e-09 Residual standard error: 0.272 on 24 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.961, Adjusted R-squared: 0.954F-statistic: 147 on 4 and 24 DF, p-value: <2e-16
M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceComparaison pr´edits / observ´es pour les 2 mod`eles12345 1 2 3 4 5LR observé
LR prédit
Modèle à un régresseur (ClO2)
123451 2 3 4 5
LR observé
LR prédit
Modèle à 4 régresseursM.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaireLa r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceInt´erˆet de la prise en compte de plusieurs r´egresseurs Dans cet exemplechaque r´egresseur apporte une contribution signiificative `al'explication de la variable observ´ee.On passe de 70% de variance expliqu´ee (r2) avec seulement
ClO2`a 96% avec les 4 r´egresseurs.
Mais le mod`ele th´eorique est-il valable, tant pour sa partie d´eterministe que pour sa partie stochastique?⇒V´eriificationa posteriorides conditions d'utilisation.M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceExamen des r´esidus
Mˆeme principe qu'en r´egression lin´eaire simple : v´eriificationa posterioridu mod`ele d'erreur gaussien (partie stochastique du mod`ele).graphe des r´esidus= examen des r´esidus en fonction de la variable pr´editediagramme Quantile-Quantiledes r´esidus (v´eriification de la normalit´e de leur distribution)+ examen desr´esidus en fonction de chaque r´egresseur (notamment pour contrˆoler la lin´earit´e du mod`ele)M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceGraphe des r´esidus
> plot(residuals(m) ~ fitted(m), pch = 16)12345 -0.8 -0.4 0.0 0.2 0.4 fitted(m) residuals(m)M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaireLa r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceDiagramme Quantile - Quantile des r´esidus > qqnorm(residuals(m), pch = 16) > qqline(residuals(m), lty = 3)-2-1012 -0.8 -0.4 0.0 0.2 0.4Normal Q-Q Plot
Theoretical Quantiles
Sample QuantilesM.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaireLa r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceR´esidus en fonction de chaque r´egresseur (1) > plot(residuals(m) ~ T, data = d, pch = 16, col = "blue")510152025 -0.8 -0.4 0.0 0.2 0.4 T residuals(m)M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaireLa r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceR´esidus en fonction de chaque r´egresseur (2) > plot(residuals(m) ~ HR, data = d, pch = 16, col = "orange")60708090 -0.8 -0.4 0.0 0.2 0.4 HR residuals(m)M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaireLa r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceR´esidus en fonction de chaque r´egresseur (3) > plot(residuals(m) ~ ClO2, data = d, pch = 16, col ="green")0.10.20.30.40.5 -0.8 -0.4 0.0 0.2 0.4 ClO2 residuals(m)M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaireLa r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceR´esidus en fonction de chaque r´egresseur (4) > plot(residuals(m) ~ t, data = d, pch = 16, col = "red")20406080100120140 -0.8 -0.4 0.0 0.2 0.4 t residuals(m)M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaireLa r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceD´etection des donn´ees inlfluentes -"Jacknife"ou eustachagePour chaque observationn◦i(iallant de 1 `an)r´eestimation des param`etres du mod`ele par r´egression sur le
jeu de donn´ees sans l'observationn◦iquantiification globale de l'impact de l'observationn◦isur
l'ensemble des param`etres du mod`ele -distance de Cook Graphe repr´esentant les distances de Cook en fonction du num´ero de l'observation, permettant de d´etecter d'´eventuelles observations nettement plus inlfluentes que les autres.M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceGraphe des distances de Cook
> plot(m, which = 4)051015202530 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20Obs. number
Cook's distance
lm(LR ~ T + HR + ClO2 + t)Cook's distance
19 237M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceRep´erage possible aussi des observations extrˆemes sur le graphe des r´esidus et le diagramme Quantile- Quantile > plot(m, which = 1); plot(m, which = 2)12345 -0.5 0.0 0.5Fitted values
Residuals
Residuals vs Fitted
2319 7 -2-1012 -3 -2 -1 0 1 2
Theoretical Quantiles
Standardized residuals
Normal Q-Q
2319
7M.L. Delignette-MullerLe mod`ele lin´eaire
La r´egression lin´eaire multiple
Choix d'un mod`ele
R´egression et ANOVAMod`ele et estimation des param`etresConditions d'utilisation
Inf´erenceQue faire en cas de non respect du mod`ele d'erreur? Non normalit´e des r´esidus et/ou h´et´eroscedasticit´e (variance non constante) : tenter une transformation de variable ou changer la partie stochastique du mod`ele (mod`ele g´en´eralis´e)Non ind´ependance des r´esidusou non lin´earit´e : tenter unequotesdbs_dbs25.pdfusesText_31
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