[PDF] CHAPITRE I : MATRICES 1 Trace 2 Déterminant

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cours du mercredi 25/1

CHAPITRE I : MATRICES

1 Trace

La trace d"une matrice carréeAest la somme de ses coefficients diago- naux : trA=n X i=1A i;i: Proposition 1.1SoientA2Mm;n(K);B2Mn;m(K), alorstrAB= trBA.

2 Déterminant

2.122 SiA=0 B @a b c d1 C

A, on posedetA=jAj:=adbc.

Propriétés :

i)detAB= detAdetB; ii)detA6= 0,Ainversible et dans ce cas,A1=1detA0 B @db c a1 C A. 2.233 SiA=0 B

BBBB@a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a331

C

CCCCA, on pose

Propriétés :

i)det0 B BBBB@ 1 2 31
C

CCCCA=123;

1 ii)dettA= detA; iii) si Aa deux lignes ou deux lignes égales, alorsdetA= 0; iv)detAB= detAdetB; v)detA=P3i=1(1)i+jaijjAijj=P3j=1(1)i+jaijjAijjoùAijest la matrice

22obtenue en barrant la ligneiet la colonnej.

Ces propriétes se démontrent directement à partir de la formule de défi- nition; pour la multiplicativité, les calculs sont un peu longs mais pas trop Définition 1 (la comatrice)On poseeA:= ((1)i+jjAijj)1i;j3.

Lemme 2.1On a toujours :

A teA=teAA= detAI3

Démonstration :On a :q.e.d.Théorème 2.2Une matriceAest inversible si et seulement si son déter-

minant est non nul.

3 Matrices équivalentes et matrices semblables

SiA;B2Mm;n(K), alorsA;Bsont équivalentes s"il existeP2Mm(K) etQ2Mn(K)inversibles telles queA=PBQ. SiA;B2Mn(K), alorsA;Bsont semblables s"il existeP2M(K)telle queA=PBP1.

Remarques :

a)

Les matrices 0

B @0 1 0 01 C Aet0 B @1 0 0 01 C

Asont équivalentes car0

B @0 1 0 01 C A0 B @1 1 0 11 C A= 0 B @1 0 0 01 C A. b) si A;Bsont semblables, alorstrA= trB(cartr(PBP1= tr(P1PB) = trB). En particulier les matrices0 B @1 0 0 01 C Aet0 B @0 1 0 01 C

Ane sont pas semn-

lables. 2 c)Les matrices 0 B @0 1 0 01 C Aet0 B @0 0 1 01 C

Asont semblables car0

B @0 1 0 01 C A= P 0 B @0 0 1 01 C

AP1avecP=0

B @0 1 1 01 C A.

4 Exemple d"application

Soit(fn)n0la suite définie parf0= 0,f1= 1,fn+1=fn+fn1sin1.

Alorsfn=1p5

(1+p5 2 )n(1p5 2 )n. En effet, on poseXn:=0 B @f n f n+11 C Asi n0etA:=0 B @0 1 1 11 C

A. De sorte que :Xn+1=AXn. Donc,Xn=AX0=

A t(0;1) =la deuxième colonne deA.

Or,A=PDP1avecP=0

B @1 1 01 C

A;D:=0

B @0 001 C

A,:= (1+p5

2 )et

0:= (1p5

2

Par conséquent,An=PDnP1=P0

B @n0 00n1 C

AP1=1p5

0 B @?n0n ?n+10n+11 C A.

D"où le résultat

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