Module 2 : Déterminant dune matrice
Unité 1 : Déterminant d'une matrice 2x2 Le déterminant concerne les matrices carrées. Une matrice dont le déterminant est différent de zéro.
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
3- Calcul du déterminant pour une matrice À toute matrice carrée correspond une valeur appelée le déterminant de que l'on dénote par ou encore
Sommaire 1. Déterminant dune matrice carrée
Démonstration : On admet l'existence et l'unicité du déterminant d'une matrice de Mn(). On va simplement faire le calcul en dimension 2.
12. Matrices symétriques et matrices définies positives - Sections 6.4
Si A est une matrice symétrique alors ses valeurs propres sont Vecteurs propres d'une matrice symétrique 2x2 ... déterminant = produit des pivots.
Rappel. Le polynôme caractéristique dune matrice carrée A est det
17 déc. 2012 §7.7 Trace déterminant et valeurs propres. Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de.
Université de Nice L1 Alg`ebre Linéaire 2 Ingo Waschkies semestre
Le déterminant d'une matrice 2x2 ou 3x3. (a) Calculer le déterminant des matrices suivantes. En déduire quelles sont les matrices inversibles.
The determinant of a 2 × 2 matrix
Determinants turn out to be useful when we study more advanced topics such as inverse matrices and the solution of simultaneous equations. These are covered in
CHAPITRE I : MATRICES 1 Trace 2 Déterminant
Théorème 2.2 Une matrice A est inversible si et seulement si son déter- minant est non nul. 3 Matrices équivalentes et matrices semblables. Si A B ? Mm
1 Quest-ce que le déterminant dune matrice ?
1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice ? Nous généralisons ici la notion de déterminant que vous connaissez déjà en dimension 2 et 3. La définition que
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
x3 ?3x2 +4x +7 2x2 +4x +6 2x2 de telle façon que le terme de plus ... Le scalaire detA ainsi défini est appelé le déterminant de la matrice A.
Exemple : Le polynôme caractéristique de
a b c d est ab c d = (a)(d)cd=2(a+d)+adbc:§7.7 Trace, déterminant et valeurs propres
Rappel. Les valeurs propre d"une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique. Définition. On appelle latrace de Ala somme des éléments sur la diagonale. Définition. On appelle latrace de Ala somme des éléments sur la diagonale.Exemples.tra b
c d =a+d,tr0 1 11 tr 0 @1 2 3 21 00 2 41
A Théorème.La trace deAest égale à la somme des valeurs propres deAet le déterminant deAest le produit des valeurs propres deA.Proof. Dans le casA=a b
c d ,det(A) =adbc,tr(A) =a+d et2(a+d)+adbc=det(AI) = (1)(2) =212+12=2(1+2)+12:
Donc1+2=a+d=tr(A)et12=adbc=det(A). Le
cas général se démontre de manière similaire. §7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c"est-à-dire exprimerAsous la formePMP1avecMdiagonale?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d"une puissance de la
matrice, par exempleA3=PM3P1. A quoi ça sert de calculer des puissances d"une matrice? Ça sert par exemple de calculer le cumul d"intérêt : Avecneuros de capital, et 0;3%d"intérêt annuel, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans? Avecxeuros d"action A etyeuros d"actionB, les valeurs après un an sontx+0;3yet 0;25x+yrespectivement. Comment calculer les valeurs après 3 ans, après 10 ans?Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c"est-à-dire exprimerAsous la formePMP1avecMdiagonale?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d"une puissance de la
matrice, par exempleA3=PM3P1. A quoi ça sert de calculer des puissances d"une matrice? Ça sert par exemple de calculer le cumul d"intérêt : Avecneuros de capital, et 0;3%d"intérêt annuel, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans? Avecxeuros d"action A etyeuros d"actionB, les valeurs après un an sontx+0;3yet 0;25x+yrespectivement. Comment calculer les valeurs après 3 ans, après 10 ans?Critères de diagonalisabilité
Théorème 1 (facile)Sitoutes les racines du p olynôme caractéristique deAsont simples, alorsAest diagonalisable. (sinon,Apeut être ou ne pas être diagonalisable).
Théorème 2 (difficile)SiAest une matriceréelle et symétrique , alors toutes les valeurs propres deAsont réelles etAest diagonalisable. Exo. Pour chacune des trois matrices suivantes, déterminer si elle est diagonalisable, et la diagonaliser si possible : 2 1 1 2 ;1 1 0 1 ;51 1 3 ;0 @2 0 0 1 3 12 8 11
A ;0 @1 0 0 1 3 12 8 11
A Pour 2 1 1 2 , on voit qu"elle est symétrique, donc par le théorème2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique21 1 2 = (1)(3). De là on voit qu"il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...Pour 1 1 0 1 , on n"a qu"une seule valeur propre=1. Calculer une base de son sous espace propre :AI=0 1 0 0 . On trouve Ker(AI) =h~e1i. DoncP=~e1n"est pas une matrice carrée.A n"est pas diagonalisable.Pour 511 3 , le polynôme caractéristique est(4)2. Donc 4 est une valeur propre double. Son sous espace propre est de dimension un.An"est pas diagonalisable. Pour 2 1 1 2 , on voit qu"elle est symétrique, donc par le théorème
2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique21 1 2 = (1)(3). De là on voit qu"il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...Pour 1 1 0 1 , on n"a qu"une seule valeur propre=1. Calculer une base de son sous espace propre :AI=0 1 0 0 . On trouve Ker(AI) =h~e1i. DoncP=~e1n"est pas une matrice carrée.A n"est pas diagonalisable.Pour 511 3 , le polynôme caractéristique est(4)2. Donc 4 est une valeur propre double. Son sous espace propre est de dimension un.An"est pas diagonalisable. Pour 2 1 1 2 , on voit qu"elle est symétrique, donc par le théorème
2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique21 1 2 = (1)(3). De là on voit qu"il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...Pour 1 1 0 1 , on n"a qu"une seule valeur propre=1. Calculer une base de son sous espace propre :AI=0 1 0 0 . On trouve Ker(AI) =h~e1i. DoncP=~e1n"est pas une matrice carrée.A n"est pas diagonalisable.Pour 511 3 , le polynôme caractéristique est(4)2. Donc 4 est une valeur propre double. Son sous espace propre est de dimension un.An"est pas diagonalisable. Pour 2 1 1 2 , on voit qu"elle est symétrique, donc par le théorème
2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique21 1 2 = (1)(3). De là on voit qu"il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...Pour 1 1 0 1 , on n"a qu"une seule valeur propre=1. Calculer une base de son sous espace propre :AI=0 1 0 0 . On trouve Ker(AI) =h~e1i. DoncP=~e1n"est pas une matrice carrée.A n"est pas diagonalisable.Pour 511 3 , le polynôme caractéristique est(4)2. Donc 4 est une valeur propre double. Son sous espace propre est de dimension un.An"est pas diagonalisable. Pour 0 @2 0 0 1 3 1
2 8 11
A , son polynôme caractéristique est(2) (3)(1)8 .Il faut surtout garder le facteurquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
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