[PDF] [PDF] Exercices - Déterminants - Jérôme Von Buhren

16i

16i,j6n(αi+βi).

4. Mon trerqu el"in versed ela matrice H?Mn(R)donnée par ?(i,j)?J1,nK2, hij=1i+j-1 est à coefficients entiers. 3/ 8

Déterminants - Exercices Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.frExercice 29 :SoientA?Mn(R)etU= (1)16i,j6n.

(i) Mon trerque R→R, x?→det(A+xU)est une fonction affine. (ii) En dédu irep ourα?Rnet(a,b)?R2aveca?=bla valeur de D n(a,b,α) =? 1(a) (b)αn? (iii)

En déduire la v aleurde Dn(a,a,α).

Exercice 30(Circulant):Soient(a1,...,an)?Cn,ω= exp(2iπ/n)et A=( ((((a

1a2a3... an

a na1a2... an-1............... a

2a3... ... a1)

)))), M=?

ω(k-1)(?-1)?

16k,?6n.

1.

Calculer det(AM).

2. En dédu ireune expression de det(A)avecP(X) =a1+···+anXn-1.

Exercice 31 :Pour(a0,...,an-1)?Cn, on pose

A=( ((((((((0... ...0-a0

1......-a1

0............

.........0...

0...0 1-an-1)

Pour toutz?C, calculerPn(z) = det(zIn-A).1.4 Déterminants tridiagonaux

Exercice 32 :Pour(a,b)?R2, on note

D n(a,b) =? a ......b (0)a a+b? 1.

Calculer Dn(a,b)sia?=b.

2.

Calculer Dn(a,a).

Exercice 33 :Pour(a,b)?R2, on note

D n(a,b) =? 1 ......ab (0) 1a+b? 1.

Calculer Dn(a,b)sia?=b.

2.

Calculer Dn(a,a).

Exercice 34 :Pourx?R, calculer les déterminants D n(x) =? 1 ......1 (0) 1 2cos(x)? x ......x (0)x1 +x2? 4/ 8

Déterminants - Exercices Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.fr1.5 Déterminant de Vandermonde

Exercice 35(Vandermonde):Soientα1,...,αn?Cdistincts. On note

V(α1,...,αn) = det((αi-1j)16i,j6n).

1. Mon trerque C→C, x?→V(α1,...,αn-1,x)est une fonction polynômiale de degrén-1. 2.

En déduire la relation

V(α1,...,αn-1,x) =V(α1,...,αn-1)n-1?

i=1(x-αi). 3.

En déduire que

V(α1,...,αn) =?

16i

Exercice 36 :Soit(m1,...,mn)?Zn. Montrer que

1. Calculer le déterminan tde la matric eA?Mn(R)donnée par ?(i,j)?J1,nK2, aij=j-1? k=1(mi-k+ 1). 2.

En déduire que

?n? k=1k!? divise?

16i Exercice 37 :Calculer le déterminant de la matriceA= (ij)16i,j6n. Exercice 38 :Pour(a1,...,an)?Kn, calculer le déterminant de la matrice

M?Mn(R)donnée par

?(i,j)?J1,nK2, mij= 1 +aj i.Exercice 39 :Pour(a1,...,an)?Knetk?J1,nK, calculer D n=? Exercice 40 :Soient(α1,...,αn)?Cnet(β1,...,βn)?Cn. 1. Calculer le déterminan tde la matrice ?(αi+βj)n-1?

16i,j6n.

2.

En dédu irela déterminan tde la matrice

?(i+j-1)n-1?

16i,j6n.

Exercice 41 :Soit(P1,...,Pn)une famille deCn-1[X]et(a1,...,an)?Cn. 1. Calculer le déterminan tde la matrice (Pi(aj))16i,j6n. 2. Soit P?Cn-1[X]. Calculer le déterminant de?P(i-1)(j)?

16i,j6n.

3. Soit P?Cn-1[X]. Calculer le déterminant de?P(i+j)?

16i,j6n.

4. Soit (θ1,...,θn)?Rn. Calculer le déterminant de?cos((j-1)θi)?

16i,j6n.

2 Déterminant d"un endomorphisme

Exercice 42 :Calculer le déterminant deu?L(Rn[X])dans les cas suivants. (i)u(P) =P+P?,(ii)u(P) =P(X+1)-P(X),(iii)u(P) =XP?+P(1). Exercice 43 :Soitn?N. On considèreE={x?→exP(x)|P?Rn[X]}. 1. Mon trerque Eest un sous-espace vectoriel deF(R,R)de dimension finie. 2. Mon trerqu el"application ?:f?→f?est un endomorphisme deV. 3.

Calculer le déterminan tde ?.

Exercice 44 :Calculer le déterminant de la transpositionMn(K)→Mn(K). 5/ 8

Déterminants - Exercices Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.frExercice 45 :Soituun endomorphisme duR-espace vectorielC.

1.

Mon trerqu"il existe un un ique(a,b)?C2tel que

?z?C, u(z) =az+b¯z. 2. Exprimer le d éterminantde uen fonction de(a,b). Exercice 46 :SoitA?Mn(K). Calculer le déterminant de

A:Mn(K)→Mn(K), M?→AM.

Exercice 47 :SoientEun espace vectoriel de dimension finie,Bune base de

Eetf?L(E). Montrer pour tout(x1,...,xn)?Enque

n i=1det B(x1,...,xi-1,f(xi),xi+1,...,xn) = Tr(f)·detB(x1,...,xn).

3 Déterminant d"une famille de vecteurs

Exercice 48 :Déterminer lest?Rtels que?(t,1,1),(1,t,1),(1,1,t)?est une base deR3. Exercice 49 :Soient(u1,...,un)une famille libre deEet(α1,...,αn)?Kn.

On note

v=n? i=1α iui. Donner une CNS surα?Knpour que la famille(u1+v,...,un+v)soit libre. Exercice 50 :Soientz0,...,zn?Cdistincts. Montrer que la famille ?(X-z0)n,(X-z1)n,...,(X-zn)n? est une base deCn[X].Exercice 51 :Soit(f1,...,fn)une famille deF(X,K)oùXest un ensemble. Montrer que la famille(f1,...,fn)est libre ssi il existe(x1,...,xn)?Xntel quedet((fi(xj))16i,j6n)?= 0. 6/ 8

Déterminants - Exercices Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.frIndications

Exercice 3 :On adetB= (-1)n-1(n-1)detA.

Exercice 4 :FactoriserAp+Bp.

Exercice 8 :On montre l"inégalité par récurrence. On montre par récurrence que les matrices vérifiant l"égalité sont les matrices comportant un unique co- efficient non nul±1par ligne et par colonne.

Exercice 9 :Se ramener àA=Jr.

Exercice 10 :Se ramener àA=Jret écrire les matrices par blocs. Exercice 11 :Ce ramener àH=E11et utiliser la linéarité sur la première colonne. Exercice 12 :Sirang(A) =n, alorsrang(Com(A)) =n, sirang(A) =n-1, alorsrang(Com(A)) = 1, sinonrang(Com(A)) = 0. On adet(Com(A)) = (detA)n-1etCom(Com(A)) = (detA)n-2A. Les solutions de la questions5 sontA?On(R)? {0}. Exercice 13 :Le déterminant de la matriceA-XInest un polynôme unitaire de degrén, donc il est non nul. Finalement, on aCom((A-XIn)(B-XIn)) = Com(A-XIn)Com(B-XIn). Il s"agit d"une égalité den2polynômes enX, donc on peut l"évaluer enX= 0pour obtenir la relation. Exercice 14 :On additionneC1aux autres colonnes. Les coefficients de C

2,...,Cnsont pairs.

Exercice 2 :Le polynômeP(x) = det(A+xB)est de degrén. L"hypothèse donne queP(x)2-1admet2n+ 1racines, donc il est nul. Ainsidet(A) =±1 etP(x)/xn→0 = det(B). Exercice 16 :Utiliser la formule avec la signature. Siσ?Snne comporte

pas de point fixe, alors le terme correspondant est le même que celui deσ-1.Exercice 17 :Il existe(u,v)?Z2tel quedet(A)u+ det(B)b= 1. Il suffit de

prendreU=uCom(A)TetV=vCom(B)T. Exercice 18 :Pour la question2, effectuer une récurrence surn.

Exercice 19 :On a

D= 2(cosb-cosa)(cosc-cosa)(cosc-cosb),

Δ = 4sin?b-a2

sin?c-a2 sin?c-b2 Exercice 20 :D= 2abc(b-a)(c-a)(c-b),Δ = (a+b+2c)(a-b)2(a+b-2c). Exercice 21 :On additionne toutes les colonnes sur la première, puis on retranche chaque ligne à la précédente en partant de la fin. On arrive à D n=n(n+ 1)2 ??????1-n(1) (1) 1-n? [n-1]= nn-1(n+ 1)2 (-1)n-1. Exercice 22 :On retranche chaque ligne à la précédente en commençant par la dernière, puis on répète l"opération une seconde fois. En développant selon la première colonne, on trouve(-1)n+1(n-1)2n-2. Exercice 23 :En retranchant à chaque colonne la suivante en partant de la première, on trouveDn=a1(a1-a2)n-1. Exercice 24 :En effectuantC1←C1-CnetL1←L1-Ln, on trouve D n=-2Dn-1-Dn-2, puisDn= (-1)n-1(n-1). En utilisant la linéarité sur la dernière colonne, on trouveΔn= (n-1)!+nΔn-1. On en déduit la formule n= (1 + 1 + 1/2 +···+ 1/n)n!. Exercice 25 :On trouves1(s2-s1)(s3-s2)...(sn-sn-1). Exercice 26 :En retirant chaque ligne à la précédente en partant de la dernière, on trouveΔp= Δp-1=···= Δ1= 1. 7/ 8

Déterminants - Exercices Préparation à l"agrégation - Jérôme Von Buhren -http://vonbuhren.free.frExercice 27 :Si on noteC= (1,...,1), il faut calculer

det(a1e1+b1C,...,anen+bnC) =n? i=1a i+n? k=1? i?=ka i. Exercice 28 :En développant selon la dernière ligne, on trouve que les pôles sont lesβi, les racines sont lesαipour16i6n-1. Ils sont tous simple, donc on en déduitFà une constante multiplicative près. Pour obtenir la relation, on multiplie parX+βnet on évalue enX=-βn. Pour 4, on peut calculer les coefficients deH-1avec la formule précédente.

Exercice 29 :En notantP(X) =?ni=1(αi-X), on a

D n(a,b,α) = (aP(b)-bP(a))/(a-b), Dn(a,a,α) =P(a)-aP?(a). Exercice 30 :On trouvedet(A) =P(1)···P(ωn-1).

Exercice 31 :On trouvePn(z) =zn+?n-1k=0akzk.

Exercice 32 :Dn(a,b) = (an+1-bn+1)/a-bsia?=betDn(a,a) = (n+1)an. Exercice 33 :On aDn= (a+b)Dn-1-abDn-2.Dn(a,b) = (an+1-bn+1)/a-b sia?=betDn(a,a) = (n+ 1)an. Exercice 34 :On aDn= (2cos(x))Dn-1-Dn-2. On trouven+1six≡0[2π], (-1)n(n+ 1)six≡π[2π]etsin((n+ 1)x)·(sinx)-1sinon. On aΔn= (1 +x2)En-1-x2En-2etΔn(x) =?ni=0x2i. Exercice 36 :En effectuant des opérations sur les colonnes, on trouve que le déterminant deAest le déterminant de Vandermonde de(m1,...,mn). Chaque élément de laj-ième colonne deAest le produit dej-1entiers consécutifs, donc est divisible par(j-1)!. On en déduit le résultat.

Exercice 37 :On trouve1!2!···n!.Exercice 38 :On retranche à chaque colonne la précédente en partant de la

dernière. On utilise ensuite la linéarité sur la première colonne avec1 +ai=

2ai-(ai-1). On trouve(2a1···an-(a1-1)···(an-1))V(a1,...,an).

Exercice 39 :En utilisant le polynômeP(X) = (X-a1)...(X-an) =?ni=0(-1)n-iσn-iXi, on trouve D n=σn-kV(a1,...,an). Exercice 40 :En développant chaque coefficient avec la formule du binôme, la matrice s"écrit comme le produit de deux matrices. On en déduit que le déterminant est

D= (-1)n(n-1)/2?

n-1? i=0? n-1 i??

V(α1,...,αn)V(β1,...βn).

Pour la question 2, en appliquant la formule, on trouve(-1)n(n-1)/2[(n-1)!]n. Exercice 41 :La première matrice est le produit d"une matrice de Vander- monde et de la matrice de(P1,...,Pn)dans la base canonique. On en déduit que le déterminant vautdet(P1,...,Pn)V(a1,...,an). Pour 2 et 3, en appli- quant le résultat précédent, on trouve(-1)n(n-1)/2[(n-1)!an-1]noùan-1est le coefficient deXn-1dansP. Pour 4, avec les polynôme de Tchebychev, on Exercice 49 :En calculant le déterminant de la famille dans la base (u1,...,un), on trouve qu"elle est libre ssi1 +α1+···+αn?= 0. Exercice 51 :On effectue une récurrence surn. On remplacexnpar une variablexet on développe selon la dernière colonne. La liberté de la famille entraine que le déterminant en fonction dexne peut être identiquement nulle, ce qui montre l"existence dexn. 8/ 8quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50