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Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´es´

Enonc´es des exercicesExercice 1[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????0 1 1 1

1 0c2b2

1c20a2

1b2a20?

???????Exercice 2[Corrig´e]

Calculer le d´eterminant Δ =

5 1 2 3 4

4 5 1 2 3

3 4 5 1 2

2 3 4 5 1?

Calculer le d´eterminant Δ =

?????1 cosθcos2θ cosθcos2θcos3θ cos2θcos3θcos4θ? ?????Exercice 4[Corrig´e]

Calculer le d´eterminant Δ =

?????b+c c+a a+b b

2+c2c2+a2a2+b2

b

3+c3c3+a3a3+b3?

?????Exercice 5[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????1 1 1 1

1 1-1-1

1-1-1 1

1-1 1-1?

???????puis Δ =? ???????a b c d b a d c c d a b d c b a? ???????Exercice 6[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

?????y

2+z2yx zx

xy z

2+x2zy

xz yz x 2+y2? (EcrireDcomme le carr´e d"un autre d´eterminant)Exercice 7[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

?????bc+ca+ab a2+b2+c2bc+ca+ab bc+ca+ab bc+ca+ab a2+b2+c2 a

2+b2+c2bc+ca+ab bc+ca+ab?

(EcrireDcomme le produit de deux d´eterminants)Exercice 8[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

?????0x y z -x0w-v -y-w0u -z v-u0? ?????Jean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 1

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 9[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????x a b x a x x b b x x a x b a x? ???????Exercice 10[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????1x x2x3 x 3x2x1

1 2x3x24x3

4x33x22x1?

???????Exercice 11[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????-a b c d b-a d c c d-a b d c b-a? ???????Exercice 12[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????x y z t -y x-t z -z t x-y -t-z y x? (SiD= detA, consid´erer le produitATA)Exercice 13[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????1a a2a4

1b b2b4

1c c2c4

1d d2d4?

???????(Indication : Van Der Monde)Exercice 14[Corrig´e]

CalculerD=?

b·a?b?2b·c b·d c·a c·b?c?2c·d d·a d·b d·c?d?2? ???????, o`ua,b,c,dsont des vecteurs deR3.Exercice 15[Corrig´e] On reprend l"exercice pr´ec´edent en supposant quea,b,c,dsont des vecteurs deR4.

Montrer que sia,b,c,dsont li´es alorsD= 0, et que dans le cas contraireD >0.Exercice 16[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

n+ 1n+ 2n+ 3...2n

2n+ 1 2n+ 2 2n+ 3...3n

n

2-n+ 1n2-n+ 2... ... n2?

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 17[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

?????(a+b)2a2b2 a

2(a+c)2c2

b

2c2(b+c)2?

?????Exercice 18[Corrig´e]

CalculerD(m,p) =?

0 mC1 m...Cp m C 0 m+1C1 m+1...Cp m+1............ C 0 m+pC1 m+p...Cp m+p?

Calculer le d´eterminantD=?

1 2x3x24x35x4

1 4x9x216x325x4

1y y2y3y4

1 2y3y24y35y4?

Soitaun r´eel. On noteA=(

(((a

2a2 2a

a a 22a2

2 2a a2a

2a2a a2)

)))etB=( (((2 2a a 2 a)

)))1.Calculer detAsous forme factoris´ee.2.D´eterminer le rang de la matriceA.3.R´esoudre le syst`emeAX=B.Exercice 21[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

51 13 32 40 46

61 11 14 50 56

62 20 7 13 52

80 24 45 57 70?

Calculer le d´eterminantDn=?

q ......p q ... q p+q?

Calculer le d´eterminantD=?

???????a

1+b1b1b1... b1

b

2a2+b2b2... b2

b nbn... bnan+bn? ???????Jean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 3

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 24[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

0-a2a2...:

............0

0...0-anan

1 1...1 1?

Calculer le d´eterminantD=?

1a2... an

a

1x a2... an

a

1a2x......

............an a

1a2... anx?

Calculer le d´eterminantD6=?

0a0 0b0

0 0a b0 0

0 0b a0 0

0b0 0a0

b0 0 0 0a?

Calculer le d´eterminant d"ordren:Dn=?

??????x a ... a a x...............a a ... a x? ??????Exercice 28[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantDn=?

???????x

1a ... a

a x

2...............a

a ... a x n? ???????Exercice 29[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantDn=?

1a ... a

b x

2......

.........a b ... b x n?

(Ajoutert`a chaque coefficient. Consid´erer la fonctionDn(t)ainsi obtenue et v´erifier qu"elle est

affine par rapport `at. Utiliser ensuite deux valeurs particuli`eres det)Exercice 30[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

b

1a1a1... a1

b

1b2a2... a2

b

1b2... bnan?

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 31[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

1 n+11 0...0 C 2 n+2C1 n+21...... ...........0 ...... ...C1 n+p-11 C p n+pCp-1 n+p...C2 n+pC1 n+p?

Calculer le d´eterminantDp=?

1

11 0...0

C 2 2C1

21......

............0 ...... ...C1 p-11 C p pCp-1 p...C2 pC1 p?

Calculer le d´eterminantDn(x) =?

21-x a1a2... ... a1an

a

2a1a22-x a2a3... a2an

a

3a1a3a2a23-x ... a3an

a na1ana2... anan-1a2n-x?

Calculer le d´eterminantD=?

0 1 1 ............0

0...0 1 1

1 0...0 1?

Calculer le d´eterminantD=?

n2...... .........n n ... n n?

Calculer le d´eterminantD=?

???????P(x)P(x+ 1)... P(x+n)

P(x+ 1)P(x+ 2)... P(x+n+ 1)

P(x+n)P(x+n+ 1)... P(x+ 2n)?

o`uPest un polynˆome de degr´e strictement inf´erieur `an.Jean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 5

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 37[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

2 1n...3

n-1......1n n n-1...2 1?

Calculer le d´eterminantDn=?

-1 0 3... n -1-2 0...... ............n -1-2...-(n-1) 0? Montrer qu"un d´eterminant antisym´etrique d"ordre impair est nul.

Exercice 40[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantDn=?

-1 0 3... n -1-2 0...... ............nquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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