[PDF] [PDF] Applications linéaires matrices déterminants

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Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 1 Applications linéaires, matrices, déterminants

Exercice 1.

1. Montrer que ݑ est linéaire.

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire.

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire.

3. Donner une base de ܫ

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4.

1. Montrer que ݄ est une application linéaire.

2. Montrer que ݄ est ni injective ni surjective.

3. Donner une base de son noyau et une base de son image.

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.

Soit ݂ ݂ǣԹଷ՜Թଷ définie par :

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire.

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2

3. Donner une base de ܫ

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7.

convient.

On pourra utiliser une autre méthode.

3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant ܫ

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8.

Soit ݑǣԹସ՜Թଷ une application linéaire définie par

3. Déterminer une base de ܫ

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.

2. Donner une base (La plus simple possible) de ܫ

4. Montrer que ܧ

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.

On admettra que ݑ est une application linéaire.

1. Déterminer une base du noyau de ݑ.

2. ݑ.

3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant ܫ

Allez à : Correction exercice 10

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 3

Exercice 11.

2. En déduire que ݂ est inversible (c'est-à-dire bijective) et déterminer ݂ିଵ.

Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire.

2. ݂.

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire.

3. Déterminer une base de ܫ

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

Soit ݑǣԹଷ՜Թଷ :

1. Montrer que ݑ est linéaire.

Allez à : Correction exercice 14

Exercice 15.

Soit ݑ un endomorphisme de Թଷ défini par :

Montrer que ܧ et ܨ

3. Déterminer une base de ܧ et une base de ܨ

4. Y a-t-il ܨ۩ܧ

Allez à : Correction exercice 15

Exercice 16.

Soit ݂ǣԹଷ՜Թଷ :

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 4

1. Montrer que ܧିଵ et ܧ

3. Que peut-on en déduire sur les dimensions de ܧିଵ et de ܧ

4. Déterminer ܧିଵܧת

5. A-t-on ܧିଵܧْ

Allez à : Correction exercice 16

Exercice 17.

Soient

Soit ݑ Թଷ définie par :

3. Montrer que :

Allez à : Correction exercice 17

Exercice 18.

1. Montrer que ݌ est une application linéaire.

tout ݑא

égaux.

Allez à : Correction exercice 18

Exercice 19.

2. Pour tout ݔܧא

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 5

Allez à : Correction exercice 19

Exercice 20.

Allez à : Correction exercice 20

Exercice 21.

Allez à : Correction exercice 21

Exercice 22.

1. Montrer que ݑ est une application linéaire.

Allez à : Correction exercice 22

Exercice 23.

Soit ݑ une application linéaire de ܧ dans ܧ, ܧ Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes (b) ܫ

Allez à : Correction exercice 23

Exercice 24.

Question de cours

Soit ݑ une application linéaire de ܧ vers ܧ

Allez à : Correction exercice 24

Exercice 25.

Soit ݑǣܧ՜ܧ une application linéaire et ߣ

Montrer que est un sous-espace vectoriel de ܧ

Allez à : Correction exercice 25

Exercice 26.

Soient ܧ et ܨ

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 6

Soit ݑǣܧ՜ܨ

2. Montrer que si ݊൐݌ alors ݑ

Allez à : Correction exercice 26

Exercice 27.

Soit ݂ǣܧ՜ܨ

Montrer que :

Allez à : Correction exercice 27

Exercice 28.

Soient ݂ et ݃ deux endomorphisme de Թ௡. Montrer que

Allez à : Correction exercice 28

Exercice 29.

Soit ݑ un endomorphisme de ܧ

Allez à : Correction exercice 29

Exercice 30.

Soit ݑ un endomorphisme de ܧ

Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes

Allez à : Correction exercice 30

Exercice 31.

1. ݌ൌ͵, ݍൌ-

b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݂. c) ݑ.

2. ݌ൌ͵ et ݍൌ͵, dans cette question ݁ൌ݂

b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݁. c) ݑ.

Allez à : Correction exercice 31

Exercice 32.

1. ݌ൌ-, ݍൌ͵

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 7 c) ݑ. c) ݑ.

Allez à : Correction exercice 32

Exercice 33.

(On admet que ݑ est une application linéaire). b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݁. c) ݑ. (On admet que ݑ est une application linéaire). b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݁. c) ݑ.

Allez à : Correction exercice 33

Exercice 34.

Soit ݂ǣԹସ՜Թଷ Թସ et Թଷ est

1. Déterminer une base du noyau de ݂.

2. ݂. Quel est le rang de ܣ

Allez à : Correction exercice 34

Exercice 35.

Déterminer le rang de la matrice

Allez à : Correction exercice 35

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 8

Exercice 36.

Soit la matrice ܣ de définie par : ܣ

1. Montrer que ܣ est inversible et calculer son inverse ܣ

2. En déduire ܣ

Allez à : Correction exercice 36

Exercice 37.

Soit ܣ la matrice de définie par : ܣ

1. Calculer ܣ

3. En déduire ܣ

4. Retrouver ܣ

Allez à : Correction exercice 37

Exercice 38.

Soit ܣ

Allez à : Correction exercice 38

Exercice 39.

Soit ܣ

Allez à : Correction exercice 39

Exercice 40.

A tout nombre réel ݐ on associe la matrice : ܯ

1. Calculer le produit des matrices ܯ

Allez à : Correction exercice 40

Exercice 41.

Soit ݑǣԹଷ՜Թଷ Թଷ dont la matrice dans la base canonique est Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 9

5. Calculer ܲ

7. Donner la relation entre ܣǡܲ et ܦ

Allez à : Correction exercice 41

Exercice 42.

3. a) Déterminer le noyau et l'image de ݂. b) En déduire que ݂ est inversible.

4. Montrer que ܣൌܪܴ

Où ܪ est la matrice d'une homothétie dont on donnera le rapport et ܴ on donnera l'angle.

Allez à : Correction exercice 42

Exercice 43.

Soit ݑ Թଷ dont la matrice dans la base canonique est : 4. a) Calculer ܲିଵܲܣ en fonction de ܴ b) Calculer ܴ c) En déduire les valeurs de ܣ

Allez à : Correction exercice 43

Exercice 44.

Soit ݑ une application linéaire de Թଷ dans Թଷ définie par :

1. Déterminer la matrice de ݑ dans la base canonique.

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 10 ܧ est ͳ et donner un vecteur non nul ܽ de ܧ

5. Montrer que ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 44

Exercice 45.

1. Déterminer la matrice ܣ

Allez à : Correction exercice 45

Exercice 46.

1. Déterminer la matrice ܣ

2. ݑ. On donnera un vecteur directeur ܽ

directeur de ܧିଵ ܿ

Allez à : Correction exercice 46

Exercice 47.

Allez à : Correction exercice 47

Exercice 48.

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 11 Soit ݑ un endomorphisme de Թସ dont la matrice dans la base canonique est

On pose :

Allez à : Correction exercice 48

Exercice 49.

Soient ܽǡܾǡܿ

5. Calculer ܲ

6. Calculer ܲିଵܲܣ

Allez à : Correction exercice 49

Exercice 50.

Soit ݑ un endomorphisme de Թସ dont la matrice dans la base canonique est :

5. Calculer ܰସ et en déduire ܣ

7. Donner une base de ܫ

Allez à : Correction exercice 50

Exercice 51.

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 12 Soit ݑ Թସ dont la matrice dans la base canonique est :

7. Quel est le rang de ܣ

Allez à : Correction exercice 51

Exercice 52.

Soit ݑ :

Allez à : Correction exercice 52

Exercice 53.

1. Déterminer un vecteur ܽ

Allez à : Correction exercice 53

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 13

Exercice 54.

Soit ݑ un endomorphisme de Թସ dont la matrices dans la base canonique est :

Allez à : Correction exercice 54

Exercice 55.

Soit ݑ un endomorphisme de Թଷ dont la matrice dans la base canonique est :

Allez à : Correction exercice 55

Exercice 56.

Allez à : Correction exercice 56

Exercice 57.

Soit ݑ Թସ dont la matrice dans la base canonique est Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 14

Partie I

Partie II

Partie III

Allez à : Correction exercice 57

Exercice 58.

1. Montrer que ݂ est linéaire.

2. Montrer que la matrice ܣ

6. Déterminer le rang de ݂.

7. ݂.

8. Trouver une base de noyau de ݂.

Allez à : Correction exercice 58

Exercice 59.

3. Déterminer le noyaݑ.

Allez à : Correction exercice 59

Exercice 60.

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 15

3. Déterminer le noyau de ݑ. On notera ܲ

4. ݑ.

Allez à : Correction exercice 60

Exercice 61.

1. Montrer que ݂ est une application linéaire

3. ݂.

Allez à : Correction exercice 61

Exercice 62.

2. Déterminer la matrice ܣ

4. Déterminer une base et la dimension de ܫ

Allez à : Correction exercice 62

Exercice 63.

1. Montrer que ݑ est une application linéaire.

3. Déterminer la matrice ܣ

Allez à : Correction exercice 63

Exercice 64.

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 16

Allez à : Correction exercice 64

Exercice 65.

1. Montrer que ݂ est linéaire.

2. Montrer que la matrice ܣ

Allez à : Correction exercice 65

Exercice 66.

Partie I

1. Montrer que ݃ est une application linéaire.

2. ݃.

Partie II

3. Montrer que ݄ est bijective.

Allez à : Correction exercice 66

Exercice 67.

Soient ܽ et ܾ

1. Déterminer la dimension de ܪ

2. Montrer que ܨ est un sous-espace vectoriel de ܪ

3. Quelle est la dimension de ܨ

a) Montrer que ߮ b) Montrer que ߮

Allez à : Correction exercice 67

Exercice 68.

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 17

2. Pour toutes matrices אܣ

5. Soit ܣ

antisymétrique.

Allez à : Correction exercice 68

Exercice 69.

Allez à : Correction exercice 69

Exercice 70.

1. Calculer อ

2. a) Calculer อ b) Montrer que ተ

Allez à : Correction exercice 70

Exercice 71.

Soit ܣ

2. Déterminer les valeurs de ܿ, ܾ, ܽ

Allez à : Correction exercice 71

Exercice 72.

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 18

Première partie

Soit ݑǣԹଷ՜Թଷ une application linéaire. La matrice de ݑ dans la canonique de Թଷ est ܣ

Deuxième partie

Troisième partie

Allez à : Correction exercice 72

Exercice 73.

Soit ܣ

Soit ݑǣԹସ՜Թସ un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est ܣ

1. Montrer que si ݒ est un endomorphisme de ܧ

3. a) Donner un vecteur non nul ܽ Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 19

Allez à : Correction exercice 73

Exercice 74.

Première partie :

Soit ݃ un endomorphisme de Թଷ

Deuxième partie :

Troisième partie :

Soit ݂ Թଷ dont la matrice dans la base canonique est :

6. Montrer que ݂൅ܫ

Allez à : Correction exercice 74

CORRECTIONS

Correction exercice 1.

Donc

Ce qui montre que ݑ est linéaire.

2.

Allez à : Exercice 1

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 20

Correction exercice 2.

Donc ݂ est linéaire.

2.

Allez à : Exercice 2

Correction exercice 3.

1.

Donc ݂ est linéaire.

2.

3. Donc ܫ

Allez à : Exercice 3

Correction exercice 4.

Donc ݄ est linéaire.

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 21
donc ݄ ݄ est un endomorphisme donc ݄ est injectif si et seulement si ݄ est surjectif. Ici, ݄

Allez à : Exercice 4

Correction exercice 5.

3.

Première méthode :

Deuxième méthode (plus compliquée) :

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 22

Troisième méthode :

Allez à : Exercice 5

Correction exercice 6.

1.

Donc ݂ est linéaire.

2. du rang 3.

Première méthode

݂, ils ne sont pas proportionnels ils forment donc une famille libre de vecteurs dans un espace de dimension -

Deuxième méthode

libre.

Soit on fait " -à-

vecteurs est nulle

Donc pour tout ߣଷא

Si on prend ߣ

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 23

Allez à : Exercice 6

Correction exercice 7.

1.

Donc ݑൌቀݔǡݔǡ௫

2. a. ܾ b.

Première méthode

Comme ܾ et ܿ ne sont pas proportionnels ils forment une famille libre de ܫ base.

Deuxième méthode

Ne sont pas proportionnels donc ils forment une famille libre de ܫ

Cette égalité équivaut à

Cette égalité équivaut à

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 24
Comme ܾ et ܿ ne sont pas proportionnels ils forment une famille libre de ܫ Troisième méthode (variante de la deuxième méthode) Ne sont pas proportionnels donc ils forment une famille libre de ܫ On va chercher une ou plusieurs équations caractérisant ܫ

Donc une équation caractérisant ܫ

comme dans la seconde méthode.

Donc une équation

caractérisant ܫ

Allez à : Exercice 7

Correction exercice 8.

1. 2. Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 25
Donc 3.

Allez à : Exercice 8

Correction exercice 9.

1. 2.

Cette famille est une sous-

de ܫ Soitquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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