[PDF] 1S Corrigé DS no 13 1h Exercice 1 ( 6 points ) Le plan est rapporté

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1S Corrig´e DS n

o131h

Exercice 1(6 points )

Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e qu"on pourra repr´esenter et compl´eter au fur et `a mesure de

l"exercice (non exig´e)1.D´eterminer une ´equation cart´esienne de la droite Δ perpendiculaire `a la droited: 2x+y+ 3 = 0

passant parA(-4;5).?Solution: n(2;1) est un vecteur normal `a la droiteddonc est un vecteur directeur de Δ. Δ admet une ´equation cart´esienne de la formex-2y+c= 0

A?d??xA-2yA+c= 0??c= 14

donc Δ :x-2y+ 14 = 0Autre m´ethode en utilisant le produit scalaire :

-→u(-1;2) est un vecteur directeur de (d) (rappel :-→u(-b;a) est un vecteur directeur directeur de la droite

d"´equationax+by+c= 0)

SoitM(x;y)?(Δ)--→AM(x-(-4);y-5)

M?(Δ)

??--→AMet-→uorthogonaux ??x--→AMx-→u+y--→AMy-→u= 0 ??(x+ 4)×(-1) + (y-5)×2 = 0 ?? -x-4 + 2y-10 = 0 ?? -x+ 2y-14 = 0 ??x-2y+ 14 = 02.D´eterminer une ´equation du cercleCde centreI(-2;3) et de rayon 3.?Solution:

M(x;y)? C ??IM2= 32??(x-(-2))2+ (y-3)2= 9

Une ´equation du cercleCde centreI(-2;3) et de rayon 3 est donc (x+ 2)2+ (y-3)2= 93.D´eterminer une ´equation du cercleC?de diam`etre [AB] avecA(23

;-2) etB(3;53 ).?Solution:

M(x;y)? C???--→AM.--→BM= 0•?

?x --→AM=xM-xA=x-23 y --→AM=yM-yA=y-(-2) =y+ 2donc--→AM(x-23 ;y+ 2) ?x --→BM=xM-xB=x-3 y --→BM=yM-yB=y-53 donc--→BM(x-3;y-53 )•M(x;y)? C? --→AM.--→BM= 0 ??x--→AMx--→BM+y--→AMy--→BM= 0 ??(x-23 )(x-3) + (y+ 2)(y-53 ) = 0 ??x2-23x-3x+ 2 +y2+ 2y-53y-103= 0 ??x2-113 x+y2+13 y-163 = 0

Une ´equation du cercleC?estx2-113

x+y2+13 y-43

= 0Remarque : On peut aussi reprendre la m´ethode de la question 2 en cherchant les coordonn´ees du milieu

Ide [AB] et en calculant le rayonr=AB2

Exercice 2(8 points )

Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e.1.Montrer que l"ensemble des pointsM(x;y) dont les coordonn´ees v´erifient l"´equationx2+y2+2x-6y+5 = 0

est un cercleCdont on pr´ecisera le centreIet le rayon.?Solution: x

2+y2+ 2x-6y+ 5 = 0??(x+ 1)2-1 + (y-3)2-9 + 5 = 0??(x-(-1))2+ (y-3)2= 5

donc cette ´equation d´efinit un cercle de centreI(-1;3) et de rayon⎷5

2.D´eterminer les coordonn´ees des points d"intersection du cercleCet des axes de coordonn´ees du rep`ere.

On noteraAetBles points d"intersection deCet de l"axe (Oy),A´etant celui avec la plus petite ordonn´ee.?Solution:

M(x;y) appartient `a l"axe des ordonn´ees six= 0 etM? C ??(0-(-1))2+ (y-3)2= 5 ??(y-3)2= 4 ??y-3 = 2 ouy-3 =-2 ??y= 5 ouy= 1

doncCcoupe l"axe des ordonn´ees en deux pointsAetBtels queA(0;1) etB(0;5)Intersection avec l"axe des abscisses :

?Solution:

M(x;y) appartient `a l"axe des abscisses siy= 0

etM? C ??(x-(-1))2+ (0-3)2= 5 ??(x+ 1)2=-4 Cette ´equation n"admet pas de solution car (x+ 1)2>0

doncCne coupe pas l"axe des abscisses.3.D´eterminer une ´equation cart´esienne de la tangenteTau cercleCenA.?Solution:

Test tangente au cercle enAsi et seulement si (IA)?(T) etA?(T)•? x -→AI=xI-xA=-1-0 =-1 y -→AI=yI-yA= 3-1 = 2donc--→AM(-1;2)

SoitM(x;y) :?

x --→AM=xM-xA=x y --→AM=yM-yA=y-1donc--→AM(x+ 1;y-1) •M(x;y)?T ??-→AI.--→AM= 0 ??x-→AIx--→AM+y-→AIy--→AM= 0 ?? -1×x+ 2×(y-1) = 0 ?? -x+ 2y-2 = 0

Une ´equation cart´esienne deTest-x+ 2y-2 = 04.Donner une valeur approch´ee `a 0,10de l"angle?IABdans le triangleIAB.

(on pourra utiliser Al-Kashi)?Solution:

Dans le triangleIAB, on a :

-→AI.--→AB=AI2+AB2- ||-→AI---→AB||22 =AI2+AB2-BI22

Calcul deAB:AB2= (xB-xA)2+ (yB-yA)2= 16

etAI2=BI2= 5 (rayon du cercle) donc -→AI.--→AB=5 + 16-52 = 8Remarque : On peut aussi calculer

-→AI.--→ABen utilisant les coordonn´ees des vecteurs--→AB(0;4) et-→AI(-1;2).-→AI.--→AB=x-→AIx-→AB+y-→AIy-→AB= 0×(-1) + 4×2 = 8-→

AI.--→AB=AI×AB×cos(?-→AI,--→AB) =⎷5×⎷16cos(?IAB) = 8 donccos(?IAB) =8⎷5 ⎷16 =84 ⎷5 =2⎷5 donc ?IAB=cos-1(2⎷5 )?26,60annexe : Figure de l"ex 2 :

Exercice 3(6 points )

1.Soient deux pointsAetBavecAB= 6, et soitIle milieu de [AB].

D´eterminer l"ensembleCdes pointsMdu plan tels que :--→MA.--→MB= 16a)Montrer queM? C ??MI2= 25.

(on pourra d´ecomposer--→MAet--→MBen introduisant le pointI). ?Solution: --→MA.--→MB= 16 ??(--→MI+-→IA).(--→MI+-→IB) = 16 ??--→MI.--→MI+--→MI.-→IB+-→IA.--→MI+-→IA.-→IB= 16 ??MI2+--→MI.(-→IA+-→IB) +IA×IB×cos(?-→IA,-→IB) = 16 or ?-→IA,-→IB=πradians donc--→MA.--→MB= 16 et-→IA+-→IB=-→IA+-→AI=-→0 ??MI2+ 0 +IA2cos(π) = 16 ??MI2-?AB2 2 = 16 (rappel :cos(π) =cos(-π) =-1) ??MI2-9 = 16 ??MI2= 25b)D´eterminer alors pr´ecis´ement l"ensembleC.?Solution: MI

2= 25??MI= 5 carMI≥0

doncMappartient au cercle de centre I et rayon 5.

L"ensembleCdes pointsMdu plan tels que :--→MA.--→MB= 16 est donc cercle de centre I et rayon 5.2.On donneA(-1;2),B(2;-2) etC(-2;-1) dans un rep`ere orthonorm´e.

En utilisant les coordonn´ees des vecteurs, d´eterminer pr´ecis´ement l"ensembleE des pointsMdu plan tels que :--→AM.--→BC= 3?Solution:

SoitM(x;y)•Coordonn´ees du vecteur

--→AM:? x --→AM=xM-xA=x-(-1) =x+ 1 y --→AM=yM-yA=y-2donc--→AM(x+ 1;y-2)•Coordonn´ees du vecteur --→BC:? x --→BC=xC-xB=-2-2 =-4 y --→BC=yC-yB=-1-(-2) = 1donc--→BC(-4;1)•--→

AM.--→BC= 3

??x--→AMx--→BC+y--→AMy--→BC= 0 ??(x+ 1)×(-4) + (y-2)×1 = 3 ?? -4x-4 +y-2 = 3 ?? -4x+y-9 = 0 donc l"ensembleE

des pointsMdu plan tels que--→AM.--→BC= 3 est la droite d"´equation cart´esienne-4x+y-9 = 0

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