[PDF] Complexes Déterminer l'ensemble des

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TS.Exercices série1- ComplexesComplexes

1Ensembles de points- Dans le plan complexePrapporté au repère orthonormal³

O ;¡!u,¡!v´

, on considère les

points A et B d"affixes respectives 1¡i et 7Å3i. On considère l"applicationfdeP¡{A}dansPqui, à tout point M(z)

dePdifférent de A, associe le point M0(z0) tel quez0AEz¡7¡3iz¡1Åi.

1.On posezAExÅiyetz0AEx0Åiy0. Exprimerx0ety0en fonction dexety.

2.Déterminer l"ensemble des points M du plan tels quez0soit réel.

3.Déterminer l"ensemble des points M du plan tels quez0soit imaginaire pur (de la formebi,b2?).

4.Interpréter géométriquement le module et un argument dez0.

Retrouver géométriquement les résultats du2.et3..

5.Déterminer l"ensemble des points M du plan tels que¯¯z0¯¯AE1.2Le plan complexePest rapporté à un repère orthonormal³

O ;¡!u,¡!v´

Déterminer l"ensemble des points M dePd"affixezvérifiant : a. c.

Åk2¼(k2?)

e.arg(z¡3i)AE¼6

Åk¼(k2?)f.arg(iz)AE¼4

Åk2¼(k2?)

AE¼2

AE¼2

Åk2¼(k2?)3Nombres conjugués- Le plan complexePest rapporté à un repère orthonormal³

O ;¡!u,¡!v´

On considère l"applicationfqui à tout point M deP, d"affixez, associe le point M0d"affixez0telle que :

z

0AEµ35

Å45

¡45

i On désigne par (¢) la droite d"équationx¡2y¡1AE0.

1.On posezAExÅiyetz0AEx0Åiy0. Exprimerx0ety0en fonction dexety.

2.Exprimer, en fonction dexety, les coordonnées du vecteur¡¡¡!MM0puis montrer que ce vecteur est normal à la

droite (¢).

3.Exprimer, en fonction dexety, les coordonnées du milieu I de [MM0] puis montrer que ce milieu appartient à la

droite (¢).

4.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l"applicationf.4On considère le polynôme P(z)AE2z3¡7z2Å22zÅ13.

1.Calculer P(2Å3i).

2.Exprimer P(z) en fonction de P(z).

3.Déduire des questions précédentes que P(z) est factorisable parz2¡4zÅ13 et effectuer cette factorisation.

4.Résoudre, dans l"ensemble?des nombres complexes, l"équation P(z)AE0.5Le plan complexePest rapporté à un repère orthonormal³

O ;¡!u,¡!v´

On désigne par A le point d"affixe 1Å2i.

On considère l"applicationfdeP¡{A}dansPqui, à tout point M d"affixezdistinct de A, associe le point M0d"affixez0

telle quez0AEzÅ3¡iz¡1¡2i. 1. R estitutionor ganiséede co nnaissance: démontrer la propriété suivante : "zest un nombre réel» équivaut à "zAEz».

2.Utiliser la propriété précédente pour déterminer l"ensemble des points M deP¡{A}tels quez0soit un nombre

réel.http://lycee.lagrave.free.fr1n

TS.Exercices série1- Complexes

6Placer les points A,B et C d"affixes respectiveszAAE¡13

¡2i,zBAE1Å2i, etzCAE73

Å6i.

Les points A, B et C sont-ils alignés?7On notezAExÅiy,xetyréels. On pose : ZAEz¡1zÅ1avecz6AE¡1

1.Démontrer que Z a pour forme algébrique :x2Åy2¡1(xÅ1)2Åy2Å2y(xÅ1)2Åy2i

2.Représenter dans le plan complexe l"ensemble des points M d"affixeztels que :

a.Z soit réel.b.Z soit imaginaire pur.8 Déterminer, dans chaque cas, l"ensemble des points M(z) pour lesquels M

0(Z)appartient à l"axe des réels.

1.ZAEz2¡2zÅ1;

2.ZAE(z¡3)(izÅ2)Déterminer, dans chaque cas, l"ensemble des points M(z)

pour lesquels M

0(Z)appartient à l"axe des imaginaires.

1.ZAEz2¡2zÅ1;

2.ZAEiz2¡z9Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal³

O ;¡!u,¡!v´

on considère l"applicationfdu plan dans lui-même qui, à tout point M d"affixezassocie le point M0d"affixez0telle que

z

0AEz2¡4z

1.Soit A et B les points d"affixes :zAAE1¡i etzBAE3Åi

a.Calculer les affixes des points A0et B0, images des points A et B parf. b.On suppose que deux points ont la même image parf.

Démontrer qu"ils sont confondus ou que l"un est l"image de l"autre par une symétrie centrale que l"on préci-

sera.

2.Soit I le point d"affixe¡3.

a.Démontrer que OMIM0est un parallélogramme si, et seulement si,z2¡3zÅ3AE0 b.Résoudre l"équationz2¡3zÅ3AE0 3. a .Exprimer (z0Å4) en fonction de (z¡2). En déduire une relation entrejz0Å4jetjz¡2j, puis entre arg(z0Å4) et arg(z¡2). b.On considère les points J et K d"affixes respectiveszJAE2 etzKAE¡4.

Démontrer que tous les points M du cercleCde centre J et de rayon 2 ont leur image M0sur un même cercle

que l"on déterminera.

c.Soit E le point d"affixezEAE ¡4¡3i. Donner la forme trigonométriquezEÅ4 et à l"aide du3. a.démontrer

qu"il existe deux points dont l"image parfest le point E. Préciser sous forme algébrique l"affixe de ces deux

points.10On considère l"algorithme suivant, quel est le résultat renvoyé par cet algorithme?Variables:zest un nombre complexe

nest un entier naturel

Initialisation:

zá1Åi ná1

Traitement:

TANT QUEz6AEz

nánÅ1 zázn

FINTANT QUE

Sortie:A FFICHERnm2

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