[PDF] Nombres complexes-Représentation géométrique-Forme

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Nombres complexes-Représentation

géométrique-Forme exponentielle

Fiche exercices

EXERCICE 1

1. Dans le plan complexe rapporté au repère(O;⃗u,⃗v), placer les points A(zA); B(zB);C(zC) avec:

zA=-1+2izB=-2-3

2izC=2+1

2i

2. Déterminer l'affixe de

⃗BC

3. Calculer l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

EXERCICE 2

Dans le plan complexe rapporté au repère(O;⃗u,⃗v), on considère les points A; B et C de coordonnées

respectives

A(3;-1);B(5;1)etC(2;1).

1. Quelles sont les affixes des points A; B et C et des vecteurs

⃗AB;⃗AC;⃗BC?

2. On définit les points D et E par

⃗AD=2⃗AB+⃗AC et 3⃗BE=⃗BC. Déterminer l'affixe de chacun des points D et E.

3. Démontrer que A; D et E sont alignés.

EXERCICE 3

Dans le plan complexe, on considère les points: A; B; C et D d'affixes respectives: zA=-2-4i;zB=5-2i; zC=4+3i;zD=1+i

1. a) Déterminer l'affixe du point C', symétrique de C par rapport au point D.

b) Déterminer l'affixe du point A' vérifiant ⃗DA'=⃗DB+⃗DC

2. Quelle est la nature du quadrilatère A'BC'D?

EXERCICE 4

Dans la figure ci-après,(O;⃗u,⃗v)est un repère orthonormé direct. Donner les affixes des points O, A, B, C, D et E et des vecteurs ⃗AB,⃗CE,⃗ED.

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géométrique-Forme exponentielle

EXERCICE 5

Soient A, B et C trois points d'affixes respectives 2+i, 5-i et 3i+1.

1. Placer ces points dans le plan complexe.

2. Déterminer l'affixe du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

EXERCICE 6

Calculer le module de chacun des nombres suivants:

1. z1=2-i2. z2=3+4i

3. z3=7-i4. z4=-4+3i 5. z6=(1+i)47. z7=(-3+5i)28. z9=4-3i

3-4iEXERCICE 7

1. Dans le plan complexe rapporté au repère (O;⃗u,⃗v), on considère les points B et C d'affixes

Vérifier que B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 4.

2. On considère le point A d'affixe

zA=zB-zC

2Calculer zA puis

∣zB-zA∣; ∣zC-zA∣ et ∣zB-zC∣3. Déterminer la nature du triangle ABC.

EXERCICE 8

Dans le plan complexe rapporté au repère(O;⃗u,⃗v)orthonormé direct.

1. Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe

zvérifiant: a) ∣z-1+i∣=∣z+2-i∣b) ∣z+2+i∣=2c) Construire ces ensembles.

2. Donner dans chaque cas une équation cartésienne de l'ensemble trouvé.

EXERCICE 9

Dans le plan complexe rapporté au repère(O;⃗u,⃗v)

1. Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixes

zvérifiant: a) ∣iz+1-i∣=∣z+3∣b) ∣z+2-i∣=2 c)

∣iz+2+i∣=32. Donner dans chaque cas une équation cartésienne de l'ensemble trouvé.

EXERCICE 10

Déterminer les nombres complexes tels que les points M; M' et M'' d'affixes respectives z;1 zetz-1appartiennent à un même cercle de centre O.

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géométrique-Forme exponentielle

EXERCICE 11

z10=-4+4i

2. En donner une écriture trigonométrique et une écriture exponentielle de chaque nombre complexe.

3. À chaque nombre complexe

zkde la première question, on associe son imageMkdans le plan complexe,

rapporté à un repère orthonormé direct(O;⃗u,⃗v) d'unité 2 cm. Dessiner avec précision les points

Mk.

EXERCICE 12

Soit zRC .On posez=x+iyavec xRR et yRR

1. Déterminer la partie réelle Re(Z) et la partie imaginaire Im(Z) du nombre complexe:

(E): 3z2+z.z-6i

EXERCICE 13

Dans le plan complexe, à tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que : z'=zz+(1+i)z+3z-2.1. (a) Déterminer les affixes zA'etzB'des pointsA'etB', associés aux points A et B d'affixes respectives zA=2+ietzB=-i. (b) Déterminer l'affixe zKdu milieu K de [AB]. (c) Déterminer l'affixezK'du point

K'associé à K.

(d) K' est-il le milieu de [A'B'] ?

2. On pose

z=x+iy etz'=x'+iy' (x, y, x', y' réels).

Exprimer

x'ety'en fonction dexet dey.3. Déterminer l'ensemble e des points

Mdu plan tels quez'soit réel.

4. Déterminer l'ensemble f des points

Mdu plan tels quez'soit imaginaire pur.

EXERCICE 14

Pour chacune de ces questions, une seule réponse est exacte. On donnera la réponse exacte et on justifiera le

choix. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal(O;⃗u,⃗v).

1. Soit

zun nombre complexe vérifiantz+∣z∣=6+2i. Alors l'écriture algébrique dezest : a) 8

3-2ib) -8

3-2ic) 8

3+2id) -8

3+2i

2. Dans le plan complexe, l'ensemble des points M d'affixe

z=x+iyvérifiant ∣z-1∣=∣z+i∣est la droite d'équation : a)

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géométrique-Forme exponentielle a)

3k+1, k∈ℕ b) 3k+2, k∈ℕ c) 3k, k∈ℕ d) 6k, k N∈4. On posez=-

Un argument dez2est :

a) π 4b)

4c) 3π

4d) -3π

4.

5. On posez=-

Un argument dezest :

a) 7π 8b)

8c) 5π

8d) 3π

8.

6. Soient D la droite d'équationy=x

a) arg(z)=π

6b) arg(z)=π

4c)arg(z)=π

3d) arg(z)=2π

3.

7. Soit

zest : a) π

6+θb)

6c)

6-θd) π

3-θ.

8. Soit

zun nombre complexe non nul d'argument θ, où θ est un nombre réel. Un argument de z+∣z∣ est :

a) θ 2b)

θc) π

4d) θ

4

EXERCICE 15

Donner une écriture trigonométrique et une écriture exponentielle des nombres complexes suivants :

1. z1=1-i2. z2=3 2-3 2i

3. z3=-3

4. z4=

5. z5=-5

2+5 2i

EXERCICE 16

Dans le plan complexe rapporté au repère O; u;v

A(3-2i)B(-2+3i)M(z) avec z≠3-2i

Soit Z=z+2-3i

z-3+2i

1. En posant:

z=x+iy avec xRR et yRR, démontrer que: Z=x2+y2-x-y-12 (x-3)2+(y+2)2+i(-5x-5y+5

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géométrique-Forme exponentielle

2. Si M≠A et M≠B alors donner une interprétation géométrique du module et d'un argument de Z.

3. Déterminer et construire l'ensemble (E1) des points

M(z)tels que Z soit un imaginaire pur.

4. Déterminer et construire l'ensemble (E2) des points

M(z)tels que Z soit un nombre réel.

5. Déterminer et construire l'ensemble (E3) des points

M(z)tels que Z soit un nombre réel et négatif.

6. Déterminer et construire l'ensemble (E4) des points

M(z)tels que argZ=π

2+2kπ.

7. Déterminer et construire l'ensemble (E5) des points

M(z)tels que∣Z∣=18. Déterminer et construire l'ensemble (E6) des points

M(z)tels que∣Z∣=2EXERCICE 17

1. Écrire sous forme exponentielle les nombres suivants:

z1=6i2

2; z2=1-i; z3=z1

z22. En déduire les valeurs exactes de cos5

12et de sin5

12

EXERCICE 8

(O;⃗u;⃗v) est un repère orthonormé direct du plan complexe. 1.

A est le point d'affixe zA=-1+iB est le point d'intersection du cercle (C) centre O passant par A et de l'axe des abscisses, d'abscisse négative.

Déterminer l'affixe de B.

2. Construire le point M d'affixe zM=-1-

Écrire

zMsous forme exponentielle

En déduire les valeurs exactes de cos7

8et de

sin7π

8EXERCICE 19

α est un nombre réel donné.

Écrire sous forme exponentielle, les nombres complexes suivants: 1. z1=sinα-icosαApplication: 32.
z2=1+cosα+isinαApplication: 33.
z3=cosα+isinα+iApplication:

3EXERCICE 20

(O;⃗u;⃗v) est un repère orthonormé direct du plan complexe.

1. a) Déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z tels que:

argz=π

4+2kπb) Déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z tels que: arg(z-1+i)=π

4+2kπ

2. a) Déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z tels que:

argz=π

3+2kπb) Déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z tels que: arg(z+1+2i)=-π

3+2kπ

3. Déterminer et construire l'ensemble des points M d'affixe z tels que: arg(z-1+i)=arg(z+1-2i)+2kπ.

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géométrique-Forme exponentielle

CORRECTION

EXERCICE 1

1.

2.⃗BC(2+1

2i+2+3

2i)⃗BC(4+2i)3. ABCD est un parallélogramme si et seulement si:

AD=BC

On note: zD=x+iy avec x∈R et y∈R

⃗AD(x+1+i(y-2)) ⃗AD=⃗BC⇔{x+1=4quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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