[PDF] II) Produit scalaire dans lespace

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II) Produit scalaire dans l"espace

1)D`é¨fi'n°i°ti`o"nffl

-→uet-→vsont deux vecteurs de l"espace etA,B,Ctrois points de l"espace tels que-→ABet-→ACsoient

des représentants de ces vecteurs.

Il existe un planPcontenant les pointsA,BetC.-→u .-→v=-→AB.-→ACpeut être calculé dans le plan

P.

Donc toutes les propriétés du produit scalaire énoncés dansle plan s"appliquent dans l"espace à

des points et des vecteurs coplanaires.

Définition

•-→u .-→v=1

2??-→u+-→v?2- ?-→u?2- ?v?2?

•Si dans un repère orthonormé(O;-→i;-→j;-→k)-→u(((x y z))) et-→v(((x y z alors-→u .-→v=xx?+yy?+zz?.

•Si-→uet-→vsont non nuls alors-→u .-→v=?u? × ?-→v? ×cos(-→u .-→v)

-→u .-→v=

AB.AH. oùHest le pro-

jeté orthogonal deCsur(AB).

2)O°r°t"h`oˆg´o"n`a˜li°t´é `d`a'n¯s ˜l"`esfi¯p`a`c´e

Théorème

Droites orthogonales

Deux droites(D)et(D?)de vecteurs direc-

teurs respectifs-→uet-→vsont orthogonales si, et seulement si,-→u .-→v= 0.

Théorème

Droite et plan perpendiculaires

TSPage 3

Une droite(D)de vecteur directeur-→uet un plan(P)de base(-→v ,-→w)sont orthogonaux si, et

seulement si,-→u .-→v= 0et-→u .-→w= 0.

Définition

un vecteur directeur d"une droite perpendiculaire au plan(P) est appelé vecteur normal à(P). SoitAun point de l"espace et-→nun vecteur non nul L"ensemble des pointsMde l"espace tel que--→AM.-→n= 0est le plan passant parAet de vecteur normal-→n.

Exemple : Soit [AB] un segment de milieuI.

L"ensemble des pointsMde l"espace équidistants des pointsAet Best leplan médiateurdu segment [AB] : c"est le plan passant parIet de vecteur normal-→AB.

III) Espace

1)É`qfi°u`a°ti`o"nffl `c´a°r°t´ésfi°i`e'n'n`e `dffl"°u'nffl ¯p˜l´a'nffl `d`a'n¯s ˜l"`esfi¯p`a`c´e

Propriété

Dans un repère orthonormé, tout plan admet une équation de laformeax+by+cz+d= 0 oùa,b,cetdsont des réels tels quea,betcne sont pas tous nuls.

Le vecteur

-→n(a;b;c)est un vecteur normal à ce plan.

Propriété

Réciproque :

Soienta,b,cetdquatre réels tels quea,betcne sont pas tous nuls. Dans un repère orthonormé, l"ensemble(E)des pointsM(x;y;z)de l"espace vérifiant ax+by+cz+d= 0est un plan de vecteur normal-→n(a;b;c)

E"x´er`ci`c´e 3: L"espace est muni d"un repère orthonormé (O;-→i;-→j;-→k). Donner une équation car-

tésienne du plan (P) passant par le pointA(-2;1;3) et orthogonal à (BC) avecB(1;-2;2) et

C(4;1;-1).

2)D°i¯sfi°t´a'n`c´e `dffl"°u'nffl ¯p`oi'n°t `àffl °u'nffl ¯p˜l´a'nffl

TSPage 4

PropriétéSoientMun point de l"espace,-→nun vecteur non nul et(P)le plan passant parMet de vecteur normal-→n. SoitAun point de l"espace et H le projeté orthogonal deAsur le plan(P), la distanceAH est égale à :AH=???

AM.-→n???

?-→n?.

Propriété

Dans un repère orthonormal, soient(P)le plan d"équationax+by+cz+d= 0etA(xA;yA;zA) un point de l"espace. la distance deAà(P)est égale à|axA+byA+czA+d| ⎷a2+b2+c2.

3)C`er`c¨l´e `et ¯sfi¯p˛h`èr`e

a)É`qfi°u`a°ti`o"n¯s `d`e `c´er`c¨l´es `d`a'n¯s ˜l´e ¯p˜l´a'nffl

Le plan est rapporté à un repère orthonormal : Le cercle de centreI(a;b) et de rayonRest l"ensemble des pointsM(x;y) tels que :IM=R. Une équation de ce cercle est (x-a) + (y-b) =R2. Le cercle de diamètre [AB] est l"ensemble des pointsMdu plan tels que :--→MA.--→MB= 0. b)Sp˛h`èr`e `d`a'n¯s °u'nffl °r`ep`èr`e `or°t"h`o"n`or'm`é

Définition

La sphère de centreI(a;b;c)et de rayonRest l"ensemble des pointsM(x;y;z)de l"espace tels que :IM=R.

Propriété

Une équation de la sphère de centreI(a;b;c)et de rayon R est :(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2.

La sphère de diamètre [AB] est l"ensemble des pointsM(x;y;z) de l"espace tels que :--→MA.--→MB= 0.

E"x´er`ci`c´e 4Soit (O;-→i;-→j;-→k) un repère orthonormé de l"espace. Démontrer que l"ensemble des pointsM(x;y;z) dont les coordonnées vérifient l"équation x

2+y2+z2-2x+ 4y+ 2 = 0 est une sphère, dont on déterminera le centreIet le rayon.

TSPage 5

Le plan (P) d"équationx-2y+ 2z+ 1 = 0 est-il sécant à cette sphère?

4)I"n`é´qfi°u`a°ti`o"nffl `c´a°r`a`ct´ér°i¯sfi`a'n°t °u'nffl `d`e'm°iffl-`esfi¯p`a`c´e

Définition

L"ensemble des pointsM(x;y;z)qui vérifientax+by+cz+d≥0est un demi-espace délimité par le plan(P)d"équationax+by+cz+d= 0, frontière comprise. L"autre demi-espace de même frontière(P), frontière comprise, est l"ensemble des points

E"x´er`ci`c´e 5Dans un repère orthonormé (O;-→i;-→j;-→k) de l"espace, on donne :A(1;1;1) et

B(3;-1;-3).

Déterminer une équation du plan médiateur du segment [AB].

Déterminer l"inéquation du demi-espace de frontière le plan médiateur de [AB] et contenant le

pointB, frontière comprise.

E"x´er`ci`c´e 6: Calculer la distance du pointA(5;2;-3) au plan (P) d"équation :x+4y+8z+2 = 0.

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