Exercices de mathématiques

calcul-asymptotique.pdf

Calcul de développements asymptotiques de suites. Exercice 16 [ 01459 ] [Correction]. Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la

Exercices de mathématiques - Exo7

Equivalent simple en 0 de tan(sinx)?sin(tanx). Correction ?. [005431]. Exercice 7 **IT. Développement asymptotique à la précision 1.

Chapitre 5 : Analyse asymptotique

Exercice type 3. Donner le développement limité à l'ordre 2 de la fonction cosx. 1 + ln (1 + x) . ++++++++. Solution. +: On a cosx = 1 ?.

Feuille dexercices n 15 : Analyse asymptotique

22 mars 2016 Comme vous avez du temps à perdre continuez les calculs jusqu'à avoir un développement asymptotique à l'ordre. 1 n5 . Exercice 6 (* à **).

Exercices de mathématiques - Exo7

Donner un développement limité à l'ordre 2 de f(x) = Exercice 10 Recherche d'équivalents ... Ainsi un développement (asymptotique) de f en ?? est.

Fiche de révision — développements limités et développements

chapitre 3 (pas corrigés en classe mais corrigés sur cahier-de-prepa). Exercice 3. Obtenir un développement asymptotique de xn sous la forme a +.

Développements limités équivalents et calculs de limites

Exercice 24. 1. Déterminer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0

Suites et séries numériques (exercices corrigés)

Démontrer que la suite (un) converge et donner un développement asymptotique à trois termes de un (la limite étant le premier de ces trois termes). Exercice 21

Développements limités

30 janv. 2014 2.5 Corrigé du devoir . ... des développement asymptotiques dans cette section. ... les calculs est un exercice conseillé.

Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

Remarque : Ce n'est pas parce que admet un développement à l'ordre 2 en 0 que est 2 fois dérivable en 0. Exercice 3. Pour réel fixé on définit la

Exo7

Développements limités

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Calculs

Exercice 1Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cos xexpxà l"ordre 3

2.(ln(1+x))2à l"ordre 4

3. shxxx

3à l"ordre 6

4. e xp sin(x)à l"ordre 4 5. sin

6(x)à l"ordre 9

6. ln cos(x)à l"ordre 6 7.

1cosxà l"ordre 4

8. tan xà l"ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux)

9.(1+x)11+xà l"ordre 3

10. arcsin ln(1+x2)à l"ordre 6 1. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de f(x) =px. 2. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de g(x) =epx 3.

Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en

p3 deh(x) =ln(sinx).

Donner un développement limité à l"ordre 2 def(x) =p1+x21+x+p1+x2en 0. En déduire un développement à

l"ordre 2 en+¥. Calculer un développement à l"ordre 1 en¥.

2 Applications

Exercice 4Calculer les limites suivantes

lim x!0e x2cosxx

2limx!0ln(1+x)sinxx

limx!0cosxp1x2x 4

Étudier la position du graphe de l"applicationx7!ln(1+x+x2)par rapport à sa tangente en 0 et 1.

Déterminer:

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x

2. lim x!0+(arctanx)1x 2 3. lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx

Exercice 7Soitfl"application deRdansRdéfinie parf(x) =x31+x6:Calculerf(n)(0)pour toutn2N:

Soitaun nombre réel etf:]a;+¥[!Rune application de classeC2. On supposefetf00bornées ; on pose

M 0=sup x>ajf(x)jetM2=sup x>ajf00(x)j. 1. En appliquant une formule de T aylorreliant f(x)etf(x+h), montrer que, pour toutx>aet touth>0, on a :jf0(x)j6h2 M2+2h M0. 2.

En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.

Établir le résultat sui vant: soit g:]0;+¥[!Rune application de classeC2à dérivée seconde bornée et

telle que limx!+¥g(x) =0. Alors limx!+¥g0(x) =0.

4 DL implicite

Exercice 9tan(x) =x1.Montrer que l"équation tan x=xpossède une unique solutionxndansnpp2 ;np+p2 (n2N). 2.

Quelle relation lie xnet arctan(xn)?

3. Donner un DL de xnen fonction denà l"ordre 0 pourn!¥. 4.

En reportant dans la relation trouvée en

2 , obtenir un DL dexnà l"ordre 2.

Exercice 10Recherche d"équivalentsDonner des équivalents simples pour les fonctions suivantes :

2 exp1+4xp1+6x2, en 0

2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0

3. arctan x+arctan3x 2p3 , enp3 4. px

2+123px

3+x+4px

4+x2, en+¥

5. ar gch

1cosx, en 0

cosx1+ax21+bx2 soit uno(xn)en 0 avecnmaximal.

Calculer

`=limx!+¥ ln(x+1)lnx x

Donner un équivalent de

ln(x+1)lnx x lorsquex!+¥.

Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13

x3+o(x3)

2.(ln(1+x))2=x2x3+1112

x4+o(x4) 3. shxxx 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+o(x6) 4. e xp sin(x)=1+x+12 x218 x4+o(x4) 5. sin

6(x) =x6x8+o(x9)

6. ln (cosx) =12 x2112 x4145 x6+o(x6) 7.

1cosx=1+12

x2+524 x4+o(x4) 8. tan x=x+x33 +2x515 +17x7315 +o(x7)

9.(1+x)11+x=exp11+xln(1+x)=1+xx2+x32

+o(x3) 10. arcsin ln(1+x2)=x2x42 +x62

+o(x6)Indication pourl"exer cice2 NPour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poserh=x1 et considérer un

dl au voisinage deh=0.Indication pourl"exer cice3 NEnx=0 c"est le quotient de deux dl. Enx= +¥, on poseh=1x

et on calcule un dl enh=0.Indication pourl"exer cice4 NIl s"agit bien sûr de calculer d"abord des dl afin d"obtenir la limite. On trouve :

1. lim x!0ex2cosxx 2=32 2. lim x!0ln(1+x)sinxx =0 3. lim x!0cosxp1x2x 4=16

Indication pour

l"exer cice

5 NFaire un dl enx=0 à l"ordre 2 cela donnef(0),f0(0)et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu"il

faut pour répondre aux questions. Idem enx=1.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de faire un dl afin de trouver la limite.

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x= +¥

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x=32

2. lim x!0+(arctanx)1x 2=0 4 3.lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx=2Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord le dl puis utiliser une formule de Taylor.

Indication pour

l"exer cice

8 N1.La formule à appliquer est celle de T aylor-Lagrangeà l"ordre 2.

Étudier la fonction f(h) =h2

M2+2h

M0et trouver infh>0f(h).

Il f autchoisir un a>0 tel queg(x)soit assez petit sur]a;+¥[; puis appliquer les questions précédentes

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Développements limités

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Calculs

2.(ln(1+x))2à l"ordre 4

3à l"ordre 6

6(x)à l"ordre 9

1cosxà l"ordre 4

9.(1+x)11+xà l"ordre 3

Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en

2 Applications

Exercice 4Calculer les limites suivantes

2limx!0ln(1+x)sinxx

Déterminer:

2+3x+2+x

2+3x+2+x

1sinx1cosx

En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.

4 DL implicite

Quelle relation lie xnet arctan(xn)?

En reportant dans la relation trouvée en

2 exp1+4xp1+6x2, en 0

2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0

2+123px

3+x+4px

4+x2, en+¥

1cosx, en 0

Calculer

Donner un équivalent de

Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13

2.(ln(1+x))2=x2x3+1112

6(x) =x6x8+o(x9)

1cosx=1+12

9.(1+x)11+x=exp11+xln(1+x)=1+xx2+x32

Indication pour

5 NFaire un dl enx=0 à l"ordre 2 cela donnef(0),f0(0)et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu"il

2+3x+2+x= +¥

2+3x+2+x=32

1sinx1cosx=2Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord le dl puis utiliser une formule de Taylor.

Indication pour

8 N1.La formule à appliquer est celle de T aylor-Lagrangeà l"ordre 2.

Étudier la fonction f(h) =h2

M0et trouver infh>0f(h).