Fiche de révision — développements limités et développements PDF

calcul-asymptotique.pdf

Calcul de développements asymptotiques de suites. Exercice 16 [ 01459 ] [Correction]. Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la

Exercices de mathématiques - Exo7

Equivalent simple en 0 de tan(sinx)?sin(tanx). Correction ?. [005431]. Exercice 7 **IT. Développement asymptotique à la précision 1.

Chapitre 5 : Analyse asymptotique

Exercice type 3. Donner le développement limité à l'ordre 2 de la fonction cosx. 1 + ln (1 + x) . ++++++++. Solution. +: On a cosx = 1 ?.

Feuille dexercices n 15 : Analyse asymptotique

22 mars 2016 Comme vous avez du temps à perdre continuez les calculs jusqu'à avoir un développement asymptotique à l'ordre. 1 n5 . Exercice 6 (* à **).

Exercices de mathématiques - Exo7

Donner un développement limité à l'ordre 2 de f(x) = Exercice 10 Recherche d'équivalents ... Ainsi un développement (asymptotique) de f en ?? est.

Fiche de révision — développements limités et développements

chapitre 3 (pas corrigés en classe mais corrigés sur cahier-de-prepa). Exercice 3. Obtenir un développement asymptotique de xn sous la forme a +.

Développements limités équivalents et calculs de limites

Exercice 24. 1. Déterminer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0

Suites et séries numériques (exercices corrigés)

Démontrer que la suite (un) converge et donner un développement asymptotique à trois termes de un (la limite étant le premier de ces trois termes). Exercice 21

Développements limités

30 janv. 2014 2.5 Corrigé du devoir . ... des développement asymptotiques dans cette section. ... les calculs est un exercice conseillé.

Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

Remarque : Ce n'est pas parce que admet un développement à l'ordre 2 en 0 que est 2 fois dérivable en 0. Exercice 3. Pour réel fixé on définit la

Fiche de revision | developpements limites et developpements asymptotiquespage 1Calculs de limites

Exercices deja vus sur ce sujet.Exercices 12, 13 et 16 du chapitre 1.Exercice 1.Montrer que la fonctionfdenie par

f(x) =8 :ch(x)sh(x)1x six6= 0

0 six= 0

est de classeC1surR.Solution de l'exercice 1.Deja, la fonctionfest de classeC1surRpar les theoremes generaux de stabilite.

Etape 1.Montrons quefest continue en 0.

Pour toutxnon nul, on a

f(x) =xch(x)sh(x)xsh(x):

Quandxtend vers 0, on note que le denominateur est equivalent ax2. On eectue donc un developpement limite

du numerateur a l'ordre 2. xch(x) =x(1 + o(x)) =x+ o(x2) et sh(x) =x+ o(x2) doncxch(x)sh(x) = o(x2): Il restef(x) = o(1) quandxtend vers 0, ce qui donne queftend vers 0 en 0. Le choix de l'enoncef(0) = 0 donne quefest continue en 0. Etape 2.Montrons quef0possede une limite nie en 0.

Pour toutx2R, on a

0(x) =sh2(x)ch2(x)sh

2(x)+1x

2=1sh

2(x)+1x

2=x2+ sh2(x)x

2sh2(x):

Cette fois, le denominateur est equivalent ax4quandxtend vers 0. On eectue donc un developpement limite du

numerateur a l'ordre 4. On trouve sh

2(x) =

x+x36 + o(x3) 2 =x2+x43 + o(x4) doncx2+ sh2(x) =x43 + o(x4): Le numerateur est donc equivalent ax4=3 quandxtend vers 0. On en deduit quef0tend vers 1=3 en 0.

Etape 3.Recapitulons.

La fonctionfest de classeC1surR.

La fonctionfest continue en 0.

La fonctionf0admet une limite nie en 0.

D'apres letheoreme de la limite de la derivee, la fonctionfest de classeC1surR.Exercice 2.Determiner limn!+1

cosn3n+ 1 + sinn6n+ 1 n

.Solution de l'exercice 2.On est en presence d'une forme indeterminee1+1. On va devoir passer par la forme

exponentielle.

On isole

n3n+ 1=3

3(3n+ 1)etn6n+ 1=6

6(6n+ 1):Lycee Henri Poincare | PC

*| mathematiques avril 2020

Fiche de revision | developpements limites et developpements asymptotiquespage 2La formule de Taylor-Young a l'ordre 1 s'ecrit

f(x0+h) =f(x0) +f0(x0)h+ oh!0(h):

On en tire

cos3 +h =12 p3 2 h+ oh!0(h) et sin(6 +h =12 +p3 2 h+ oh!0(h) puis cosn3n+ 1 = cos3

3(3n+ 1)

=12 +p3

6(3n+ 1)+ o1n

=12 +p3

18n+ o1n

et sinn6n+ 1 = sin6

6(6n+ 1)

=12 p3

12(6n+ 1)+ o1n

=12 p3

72n+ o1n

On ajoute tout ca

cosn3n+ 1 + sinn6n+ 1 = 1 +p3

24n+ o1n

Le logarithme de ceci est donc equivalent ap3=(24n) si bien que lim n!+1nln cosn3n+ 1 + sinn6n+ 1 =p3 24

Par continuite de l'exponentielle, la limite demandee existe et vaut exp(p3=24).Obtention de developpements asymptotiques

Exercices deja vus sur ce sujet.Exercice 3 du devoir en temps libre 1. Exercice 3 du chapitre 1 et exercice 23 du

chapitre 3 (pas corriges en classe mais corriges sur cahier-de-prepa).Exercice 3.Pour toutn2N, on note Inl'intervallei

2 +n;2 +nh

a.Pour toutn2N, montrer que la fonction tangente possede exactement un point xe dans l'intervalle In| on

le notexn. b.Pour toutn2N, prouver l'egalitexn=n+ Arctan(xn). c.Obtenir le developpement asymptotique x n=n+2 1n + o1n

d.Poursuivre le developpement un cran plus loin.Solution de l'exercice 3. a.On introduit la fonctionf:x7!tan(x)x. Prenons un entiernmomentanement xe.

La fonctionfest continue sur l'intervalle In. Elle admet en2 +nla limite1et en2 +ndonc, par le theoreme des valeurs intermediaires, elle s'annule au moins une fois. Remarquons maintenant que la fonctionfest derivable sur l'intervalle In, de derivee donnee par

8x2In; f0(x) = tan2(x):

Ainsi, la fonctionf0est positive sur Inet ne s'annule qu'en un seul point (enn) donc la fonctionfest strictement

croissante sur I n. Elle s'annule donc au plus une fois dans cet intervalle. Au nal, la fonctionfs'annule exactement une fois dans l'intervalle I n. b.Posons y n=xnn: Le caractere-periodique de la fonction tangente donne alors tan(yn) = tan(xn) =xn:Lycee Henri Poincare | PC *| mathematiques avril 2020

Fiche de revision | developpements limites et developpements asymptotiquespage 3Or le nombreynest dans l'intervalle ]2

;2 [ donc y n= Arctan(xn) c'est-a-direxn=n+ Arctan(xn): c.Si on prendn>1, le nombrexnest strictement positif, ce qui donne

Arctan(xn) =2

Arctan1x

n On sait quexnnest compris entre=2 et=2 doncxn=n+O(1). On en deduit quexnest equivalent anpuis que Arctan(1=xn) est equivalent a 1=(n) donc

Arctan(xn) =2

1n + o1n d.Allons encore plus loin. Pour cela, ecrivons 1x n=1n+2 +O(1n )=1n

1 +12n+O1n

2 1 =1n

112n+O1n

2 =1n

12n2+O1n

3 On conna^t le developpement limite Arctan(u) =u+O(u3) quandutend vers 0. On obtient donc

Arctan

1x n =1n

12n2+O1n

3 puis x n=n+2 1n +12n2+O1n 3 Jeu.Poursuivre le developpement asymptotique.Exercice 4.Pour toutx2R, on posef(x) =ex21x . On pose egalementf(0) = 0. a.Montrer que la fonctionfest de classeC1surR. b.Montrer quefest une bijection deRsurRet quef1est de classeC1.

c.Determiner le developpement limite a l'ordre 5 en 0 def1.Solution de l'exercice 4. a.Pour toutxreel non nul, on a

e x2=+1X n=0x

2nn!puisf(x) =+1X

n=1x

2n1n!:

Cette formule est valide egalement pourx= 0. On en deduit quefest developpable en serie entiere surRdonc de

classeC1.

b.On sait quefest de classeC1surRet que son developpement en serie entiere peut ^etre derive terme a terme.

8x2R; f0(x) =+1X

n=1x

2n2n!(2n1):

Les termes de cette somme sont positifs et le premier terme vaut 1 donc

8f0(x)>1:

En particulier, la fonctionfest strictement croissante surR. Par ailleurs, elle est continue et elle admet les

limites +1en +1et1en1(par croissances comparees) donc la fonctionfest une bijection deRsurR. Enn, le fait quefsoit de classeC1et que la derivee defne s'annule pas donne que la reciproquef1est egalement de classeC1surR.Lycee Henri Poincare | PC *| mathematiques avril 2020

Fiche de revision | developpements limites et developpements asymptotiquespage 4c.Une possibilite serait d'exprimer les cinq premieres derivees successives def1en fonction de celles defpuis

d'appliquer la formule de Taylor-Young, mais les calculs seraient areux.

Le mieux est de commencer par signaler que la classeC1donne l'existence d'un developpement limite en 0 a tout

ordre (theoreme de Taylor-Young) puis de remarquer quef1est impaire (reciproque d'une fonction impaire), si bien

que son developpement limite a l'ordre 5 est de la forme f

1(y) =ay+by3+cy5+ o(y5):

Celui de la fonctionfs'obtient en tronquant son developpement en serie entiere f(x) =x+12 x3+16 x5+ o(x5):

On conna^t l'identitef1(f(x)) =x. On peut alors eectuer la substitution puis exploiter l'unicite du developpement

limite pour identier les coecients. Le fait quef(x) soit equivalent axquandxtend vers 0 donne, par substitution, f

1(f(x)) =af(x) +bf(x)3+cf(x)5+ o(x5):

On trouve par ailleurs

f(x)3=x3 1 +12 x2+ o(x2) 3 =x3 1 +32 x2+ o(x2) =x3+32 x5+ o(x5) et f(x)5=x5+ o(x5) donc f

1(f(x)) =ax+12

a+b x 3+16 a+32 b+c x

5+ o(x5):

Par unicite du developpement limite, il vient

a= 1;12 a+b= 0;16 a+32 b+c= 0; doncb=1=2 puisc= 7=24. f

1(y) =y12

y3+724

y5+ o(y5):Exercice 5. (**)Pour tout entiern>2, montrer que l'equationxn=x+ 1 possede une unique solution dans

l'intervalle ]0;+1[ | on la notexn. Obtenir un developpement asymptotique dexnsous la formea+bn +cn

2+ o1n

2 .Solution de l'exercice 5.Soit un entiern>2. Considerons la fonctionfn:x7!xnx1. Observons deja quefnest majoree par1 sur l'intervalle [0;1] donc elle ne s'y annule pas.

Cette fonction est continue sur l'intervalle [1;+1[ avecfn(1) =1<0 et elle tend vers +1en +1donc, par le

theoreme des valeurs intermediaires, elle s'annule au moins une fois sur ]1;+1[.

Pour toutx>1, on obtient

0n(x) =nxn11>n1>1

donc la fonctionfnest strictement croissante sur [1;+1[. Elle s'annule donc une seule fois. On remarque l'inegalitefn(2) = 2n3>223 = 1 doncfn(1)6fn(xn)6fn(2). La stricte croissance defnsur [1;+1[ donne donc 16xn62.

Remarque.Par un raisonnement similaire, on peut montrer que pour tout" >0, on a l'encadrement 16xn61+"

a partir d'un certain rang, mais inutile de faire aussi sophistique.Lycee Henri Poincare | PC *| mathematiques avril 2020

Fiche de revision | developpements limites et developpements asymptotiquespage 5Partons maintenant de l'egalite (xn)n=xn+ 1 pour obtenirxn= (1 +xn)1=n. L'encadrement precedent donne

1=n6xn631=n:

Par le theoreme des gendarmes, on en deduit quexntend vers 1 quandntend vers +1.Ecrivons alorsyn=xn1.

C'est une quantite strictement positive de limite nulle.

Il vientxn= (2 +yn)1=npuis

x n= e1n ln(2+yn)= e1n (ln(2)+o(1))= 1 +ln(2)n + o1n En particulier, on en deduit queynest equivalent a ln(2)=net on peut prolonger le developpement. ln(2 +yn) = ln(2) + ln

1 +yn2

= ln(2) +yn2 + o(yn) = ln(2) +ln(2)2n+ o1n puis x n= expln(2)n +ln(2)2n2+ o1n 2 On utilise ensuite le developpement limite exp(u) = 1 +u+u2=2 + o(u2), pour obtenir x n= 1 +ln(2)n +ln(2)2 +ln(2)22 1n

2+ o1n

2 Jeu.Poursuivre le developpement.Nature d'une serie au moyen d'un developpement limite Exercices deja vus sur ce sujet.Exercices 5, 9, 12 et 15 du chapitre 3.Exercice 6.

Etudier la serie de terme generalun= cos(pn

2+n+ 1) (convergence et convergence absolue).Solution de l'exercice 6.On commence par factorisern2sous la racine carree, pour obtenir

2+n+ 1 =n

1 +1n +1n 2

En vue de l'etude nale, on voudrait un developpement limite avec la precisionO(1=n2). En tenant compte dun

en facteur de la racine carree, il va falloir developper celle-ci avec une precision enO(1=n3).

Ce qui est sous la racine carree est de la forme 1+upour unude l'ordre de 1=ndonc on va developper (1+u)1=2

avec une precision enO(u3). (1 +u)1=2= 1 +12 u18 u2+Ou!0(u3):

Une substitution puis une troncature donnent

1 +1n +1n 2 1=2 = 1 +12 1n +1n 2 18 1n +1n 2 2 +O1n 3 = 1 +12n+38n2+O1n 3

On en tire

2+n+ 1 =n+2

+38n+O1n
2 On rappelle les identites trigonometriques cos(n+) = (1)ncos() et cos(+=2) =sin() u n=(1)nsin38n+O1n 2 Utilisons pour nir le developpement limite sin(u) =u+O(u2), pour obtenir u n=38 (1)n+1n +O1n 2 :Lycee Henri Poincare | PC *| mathematiques avril 2020

Fiche de revision | developpements limites et developpements asymptotiquespage 6La serie des (1)n+1=nconverge par le theoreme des series alternees. Le reste enO(1=n2) donne une serie absolu-

ment convergente. Par somme, la serie desunest convergente.

Par ailleurs, on obtient aussi quejunjest equivalent a 3=(8n), si bien que la serie desjunjest divergente.Exercice 7. (*)Nature de la serie de terme generalpn

2+n+ 13pn

3+n2+n+

.Solution de l'exercice 7.On commence par factorisern2sous la racine carree, pour obtenir pn

2+n+ 1 =n

1 +1n +1n 2

En vue de l'etude nale, on voudrait un developpement limite avec la precisionO(1=n2). En tenant compte dun

en facteur de la racine carree, il va falloir developper celle-ci avec une precision enO(1=n3).

Ce qui est sous la racine carree est de la forme 1+upour unude l'ordre de 1=ndonc on va developper (1+u)1=2

avec une precision enO(u3). (1 +u)1=2= 1 +12 u18 u2+Ou!0(u3):

Une substitution puis une troncature donnent

1 +1n +1n 2 1=2 = 1 +12 1n +1n 2 18 1n +1n 2 2 +O1n 3 = 1 +12n+38n2+O1n 3

On en tire

2+n+ 1 =n+12

+38n+O1n
2

On fait de m^eme avec l'autre terme

3 pn

3+n2+n+

=n 1 +n +n 2+ n 3 1=3

On utilise le developpement limite

(1 +u)1=3= 1 +13 u19 u2+Ou!0(u3):

Une substitution puis une troncature donnent

1 +n +n 2+ n 3 1=3 = 1+13 n +n 2+ n 3 19 1 +n +n 2+ n 3 2 +O1n 3 = 1+3n+39n2+O1n 3

Par dierence, notre terme general s'ecrit

12 3 +38
39
1n +O1n 2 Si6= 3=2, notre suite a une limite non nulle donc la serie etudiee diverge grossierement. On suppose dans la suite que= 3=2. Le developpement limite s'ecrit alors 2524
3 1n +O1n 2

Si6= 25=8, notre terme general a un equivalent de la forme=npour une certaine constante6= 0 donc la serie

etudiee diverge.

Si= 25=8 (et= 3=2), alors notre terme general est domine par 1=n2si bien que la serie etudiee converge

absolument.Exercice 8. (**)Pour tout entiern>2, on poseun=

1 +(1)nn

n2 .Lycee Henri Poincare | PC *| mathematiques avril 2020

Fiche de revision | developpements limites et developpements asymptotiquespage 7Rayon de convergence de

Punzn.Solution de l'exercice 8.Soitp2N.

u 2p=

1 +12p

4p2 = exp 4p2ln

1 +12p

On conna^t le developpement limite ln(1 +x) =xx22

+ o(x2). u

2p= exp

4p212p18p2+ o1p

2 = exp 2p12 + o(1)

On en deduit queu2pest equivalent a e1=2e2pquandptend vers +1. En particulier, la suite de terme general

2p(e1)2pa une limite non nulle donc la serie correspondante diverge grossierement.

Le rayon de convergence cherche est donc majore par e 1. Prenons maintenantxdans [0;e1[. On voit deja queu2px2ptend vers 0 quandptend vers +1.

On peut alors remarquer l'encadrement

06u2p+16

1 +12p+ 1

(2p+1)2

Le majorant est equivalent e

1=2e2p+1par le m^eme calcul que ci-dessus donc son produit parx2p+1tend vers 0.

On en deduit queu2p+1x2p+1tend vers 0 (theoreme des gendarmes).

Ainsi, la suite (unxn)n>2converge vers 0. C'est vrai pour toutxdans [0;e1[ donc le rayon de convergence vaut

au moins e 1.

Le rayon de convergence cherche vaut nalement e

1.Lycee Henri Poincare | PC

*| mathematiques avril 2020quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] Fiche de révision — développements limités et développements

0 six= 0

Etape 1.Montrons quefest continue en 0.

Pour toutxnon nul, on a

Pour toutx2R, on a

0(x) =sh2(x)ch2(x)sh

2(x)+1x

2(x)+1x

2=x2+ sh2(x)x

2sh2(x):

2(x) =

Etape 3.Recapitulons.

La fonctionfest de classeC1surR.

La fonctionfest continue en 0.

La fonctionf0admet une limite nie en 0.

On isole

3(3n+ 1)etn6n+ 1=6

6(6n+ 1):Lycee Henri Poincare | PC

On en tire

3(3n+ 1)

6(3n+ 1)+ o1n

18n+ o1n

6(6n+ 1)

12(6n+ 1)+ o1n

72n+ o1n

On ajoute tout ca

24n+ o1n

8x2In; f0(x) = tan2(x):

Arctan(xn) =2

Arctan1x

Arctan(xn) =2

1 +12n+O1n

112n+O1n

12n2+O1n

Arctan

12n2+O1n

2nn!puisf(x) =+1X

2n1n!:

8x2R; f0(x) =+1X

2n2n!(2n1):

8f0(x)>1:

1(y) =ay+by3+cy5+ o(y5):

1(f(x)) =af(x) +bf(x)3+cf(x)5+ o(x5):

On trouve par ailleurs

1(f(x)) =ax+12

5+ o(x5):

Par unicite du developpement limite, il vient

1(y) =y12

2+ o1n

Pour toutx>1, on obtient

0n(x) =nxn11>n1>1

1=n6xn631=n:

Il vientxn= (2 +yn)1=npuis

1 +yn2

2+ o1n

Etudier la serie de terme generalun= cos(pn

2+n+ 1) (convergence et convergence absolue).Solution de l'exercice 6.On commence par factorisern2sous la racine carree, pour obtenir

2+n+ 1 =n

Une substitution puis une troncature donnent

On en tire

2+n+ 1 =n+2

2+n+ 13pn

3+n2+n+

2+n+ 1 =n

Une substitution puis une troncature donnent

On en tire

2+n+ 1 =n+12

On fait de m^eme avec l'autre terme

3+n2+n+

On utilise le developpement limite

Une substitution puis une troncature donnent

Par dierence, notre terme general s'ecrit

1 +(1)nn

Punzn.Solution de l'exercice 8.Soitp2N.

1 +12p

1 +12p

On conna^t le developpement limite ln(1 +x) =xx22

2p= exp

4p212p18p2+ o1p

2p(e1)2pa une limite non nulle donc la serie correspondante diverge grossierement.