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Calcul de développements asymptotiques de suites. Exercice 16 [ 01459 ] [Correction]. Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la

Exercices de mathématiques - Exo7

Equivalent simple en 0 de tan(sinx)?sin(tanx). Correction ?. [005431]. Exercice 7 **IT. Développement asymptotique à la précision 1.

Chapitre 5 : Analyse asymptotique

Exercice type 3. Donner le développement limité à l'ordre 2 de la fonction cosx. 1 + ln (1 + x) . ++++++++. Solution. +: On a cosx = 1 ?.

Feuille dexercices n 15 : Analyse asymptotique

22 mars 2016 Comme vous avez du temps à perdre continuez les calculs jusqu'à avoir un développement asymptotique à l'ordre. 1 n5 . Exercice 6 (* à **).

Exercices de mathématiques - Exo7

Donner un développement limité à l'ordre 2 de f(x) = Exercice 10 Recherche d'équivalents ... Ainsi un développement (asymptotique) de f en ?? est.

Fiche de révision — développements limités et développements

chapitre 3 (pas corrigés en classe mais corrigés sur cahier-de-prepa). Exercice 3. Obtenir un développement asymptotique de xn sous la forme a +.

Développements limités équivalents et calculs de limites

Exercice 24. 1. Déterminer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0

Suites et séries numériques (exercices corrigés)

Démontrer que la suite (un) converge et donner un développement asymptotique à trois termes de un (la limite étant le premier de ces trois termes). Exercice 21

Développements limités

30 janv. 2014 2.5 Corrigé du devoir . ... des développement asymptotiques dans cette section. ... les calculs est un exercice conseillé.

Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

Remarque : Ce n'est pas parce que admet un développement à l'ordre 2 en 0 que est 2 fois dérivable en 0. Exercice 3. Pour réel fixé on définit la

Suites et séries numériques (exercices corrigés) Exercice 1(Théorème de Césaro, exercice classique).Soit(un)n2Nune suite d"éléments d"un espace vectoriel normé(E;jj:jj).

1. On suppose que cette suite converge, on appelle`sa limite. On définit la

suite de terme général v n=1n (u1+u2++un) Démontrer que cette suite converge aussi vers`.Commencer par étudier le cas d"une suite nulle, puis s"y ramener.

2. La réciproque est-elle vraie?

3. On suppose la suite(un)à valeurs réelles, divergeant vers+1. Que peut-

on dire de la suite(vn)? Cet exercice est un grand classique du " découpage ».1. Remarquer que v n`=1n ((u1`) + (u2`) ++ (un`)) permet de se ramener au cas`= 0E. On se suppose désormais dans ce cas. Soit >0, on fixe un rangN0tel que

8nN0junj =2

on a alors, pour toutnN0, jvnj 1n (u0+:::+uN0) +nN0+ 1n 2 Le majorant tend vers=2quandn!+1, il existe donc un rangN1tel que (nN1) =)(jvnj )

2. Non, l"exemple classique étantun= (1)n.

3. SoitAun réel quelconque, on fixe un rangN0tel que

8nN0unA+ 1

1 on a alors, pour toutnN0, v n1n (u0+:::+uN0) +nN0+ 1n (A+ 1) Le minorant tend versA+1quandn!+1, il existe donc un rangN1tel que (nN1) =)(vnA)Exercice 2(Oral Centrale).Soit(an)n02RNet

2]1;1[. Montrer

a n!n!+10,an+1 an!n!+10Seule l"implication de droite à gauche est intéressante. Notons u n=an+1 an et essayons d"exprimeranà l"aide desup(l"hypothèse est que la suite(un) converge vers 0) :a1=u0+ a0,a2=u1+ a1=u1+ u0+

2a0, puis, par

récurrence : a n=un1+ un2+

2un3++

n1u0+ na0 Pour la suite de d"exercice, on constate que quandnest grandunet nsont petits. Mais c"est quand même un peu délicat à écrire. Soit >0; soitp0tel que

8kp0jukj

et, d"autre part, soitMtel que8k2Njunj M(la suite(un)converge, donc est bornée).

Supposonsn > p0; on peut alors majorer

janj (1 +j j+:::+j jnp01) +M(j jnp0++j jn1) +ja0jj jn et donc, en utilisant des sommes géométriques : janj 1 j j+Mj jnp01 j j+ja0jj jn

Comme0 j

j<1, la suite(j jn)converge vers 0, il existe donc un rangn0à partir duquel janj 1 j j+1 j j et au début, on aurait pu prendre(1 j j)=2à la place de, on conclut. Exercice 3.On définit, pour tout entier natureln, u n=s1 + r2 + q3 ++pn

Montrer que, pour toutn,

2n+11 +unp2

En déduire un majorant de la suite(un), puis montrer que la suite(un)converge.u

2n+11p2

=q2 + p3 ++pn+ 1p2 =r1 + q3=4 ++p(n+ 1)=2n un On cherche alors une majoration récurrente : existe-t-ilMtel que(unM) =) (un+1M)? il suffirait pour cela que q1 +Mp2M c"est-à-dire1 +Mp2M2, n"importe quelMassez grand convient. Mais il faut initialiser, i.e. avoiru1= 1M.M= 2convient, et comme la suite(un)

croît, elle converge.Exercice 4(Irrationalité dee).On définit la suite de terme général

u n= 1 +11! +12! ++1n!: En introduisant la suite de terme généralvn=un+1=n!, montrer que les suites (un)et(vn)sont adjacentes, en déduire que la suite(un)converge vers une

limite irrationnellePas de difficulté particulière pour l"adjacence (montrer que la suite(vn)décroît

se fait en calculantvn+1vn); si la limite est rationnelle, elle s"écritp=q, et par stricte monotonie on a u q0dtp(t2+a2)(t2+b2) Ce résultat est à la base de l"algorithme de Gauss-Salamin de calcul de valeurs

décimales approchées de.).On voit que pour étudier la monotonie de(un)et celle de(vn), il faut étudier le

signe deunvn. Maisun+1vn+1=12 (pu npv n)2. On en déduit facilement que les deux suites sont monotones bornées, donc convergent. Le " passage à la limite » dans u n+1=un+vn2

donne l"égalité des limites des deux suites.Exercice 6.Trouver une suite réelle(un)telle que

2un2nen écrivant tout sous forme exponentielle, on peut avoir l"idée de

u n= expnln(n)

et on vérifie que ça marche.Exercice 7.Classer par ordre de prépondérance (avec la relation) les suites

de termes généraux : (lnn)3,ln(n3),3nn

3,2n,en=2,(ln(lnn))n,nln(lnn),

nlnn. Exercice 8.Classer par ordre de prépondérance (avec la relation) les suites de termes généraux : 1n

4,lnnn

5,2n1 + 3

n,2ln(lnn),ln(lnn)lnn+n,lnn2 n+n2, tan(1=n)1 + cos

3(1=n),(cos(1=n))sin(1=n)1

Exercice 9.On noteCle cercle trigonométrique,Sn(resp.Tn) la longueur du polygone régulier à2ncôtés inscrit dansC(resp. circonscrit àC). On montre alors : S n= 2n+1sin2 n; Tn= 2n+1tan2 n Donner un équivalent deTnSn.Cet énoncé est basé sur la méthode d"Archi-

mède de calcul de valeurs approchées de.On développetanuetsinuà l"ordre 3 au voisinage de0. On a le droit de

remplacerupar=2n, qui converge vers0.Exercice 10.Oral MinesDonner un développement asymptotique à deux

termes de la suite de terme général 1n tan(=4+1=n)tan(=4 + 1=n) =1 + tan(1=n)1tan(1=n)

1 + 1=n+o(1=n)11=n+o(1=n)

= 1 + 2=n+o(1=n) et donc 1n tan(=4+1=n)= exp ln(n)

1 + 2=n+o(1=n)

1n exp

2ln(n)=n+o(ln(n)=n)

12ln(n)=n+o(ln(n)=n)

1n 2lnnn

2+olnnn

2 d"où le développement cherché. Exercice 11.Etudier la convergence des suites dont les termes généraux sont donnés ci-dessous : n lnn(lnn)n; tan4 1n n (2R2R+) n 2 arccos1n ( >0) ;nsin(n+ 1)1 ( >1) Exercice 12.Donner un équivalent simple, lorsquen!+1, de cos n2ln(1 + 1=n) .On développe : n 2ln 1 +1n =n12 +13n+o1n et on tient compte decos(n+a) = (1)ncosaet decos(b=2) = sin(b)ce

qui permet de trouver l"équivalent :(1)n=(3n).Exercice 13.Soitxun nombre réel; on note`la limite de la suite(un)de

terme généralun=1 +x=nn. Déterminer un équivalent deun`.On a u n= exp(nln(1 +x=n)) = exp xx22n+on!+1 1n =exexp x22n+on!+1 1n

On retrouve`=ex, et

u n` x22nexExercice 14.Déterminer un développement asymptotique à la précision1=n3 de la suite donnée par son premier terme réelx0et la relation de récurrence

8n2Nxn+1=exp(xn)n+ 1:

Indication : commencer par chercher un équivalent dexn, puis utiliser cet équi- valent pour trouver un développement plus précis, etc... 6 On commence par remarquer que la suite est à termes réels strictement positifs (au moins à partir du rang 1), on en déduit

8n2 0xn1n

Donc la suite converge vers0. Doncexp(xn1)tend vers1quandn!+1, donc x n1n Donc x n=1n exp1n1+o1n1 1n exp1n +o1n 1n 1 +1n +o1n

et on continue, mais c"est de plus en plus long...Exercice 15.Soit, pour tout entier naturelk,xkl"unique solution dans l"in-

tervallek2 ;k+2 de l"équationtanx=x. Donner un développement asymptotique dexkà la précision1=k2. Pour cela, on écriraxk=k+2 yk, on vérifiera queykest tel que y k= arctan1k+=2yk: Exercice 16.Démontrer que l"équationsinx= 1=xa une solution unique dans l"intervalle2 + 2k;+ 2k. On notexkcette solution. Donner un développement asymptotique dexkà la précision1=k2. Exercice 17.Oral MinesMontrer qu"il existe un unique réel, notéf(k), solution de l"équationx+lnx=k. Etudier le comportement asymptotique def(k)quand k!+1. Exercice 18.Soient(un)et(vn)deux suites à termes réels strictement po- sitifs. On suppose queunvn. Montrer que, si(un)a pour limite+1, alors ln(un)ln(vn). Exercice 19.Soit, pourn2,Pn=XnX1. Démontrer quePna une unique racine réelle positiveun. Démontrer que la suite(un)converge, et donner un développement asymptotique à trois termes deun(la limite étant le premier de ces trois termes).P na pour limite+1en+1. Elle est négative en0, et continue, donc s"annule par théorème des valeurs intermédiaires. Elle ne s"annule qu"un nombre fini de fois, et donc a une plus grande racine réelleun. P n(1)<0,P0n>0sur]1;+1[, et, si >0, à partir d"un certain rangPn(1+)>

0(croissances comparées). Donc, à partir d"un certain rang,1un1+. On

en déduit u n= 1+o(1)

Ecrivons alorsun= 1 +n. Comme

(1 +n)n= 1 +n+ 1 = 2 +n il semble assez commode, pour développer, de prendre les logarithmes des deux membres (qui sont bien strictement positifs, au moins à partir d"un certain rang). On obtient nln(1 +n) = ln(2 +n) (1) Le premier membre de l"égalité est équivalent ànn(carn!n!+10), le second membre est équivalent àln2(car il tend vers cette limite, non nulle). Donc nln2n

On obtient

u n= 1 +ln2n +o1n et on en voudrait un peu plus. Développons donc(1)un peu plus loin : n nn2n2 +o(n2n) = ln2 +n2 +o(n) Mais l"équivalent trouvé plus haut nous permet d"affirmer que les deuxosont deso(1=n). Qui plus est, n

2n(ln2)2n

8 ce qui peut s"écrire n

2n=(ln2)2n

+o1n

Donc :

n n=(ln2)22n+ ln2 +n2 +o1n =(ln2)22n+ ln2 +ln22n+o1n

On remet les choses en ordre, et on obtient :

u n= 1 +ln2n +(ln2)2+ ln22n2+o1n

2Exercice 20.Soit, pourn2,Pn=XnnX+ 1. Démontrer quePna une

plus grande racine réelleun. Démontrer que la suite(un)converge, et donner un développement asymptotique à trois termes deun(la limite étant le premier de ces trois termes). Exercice 21.Oral MinesDonner un développement asymptotique à deux termes dean, plus grande racine réelle deX2n2nX+ 1.

Exercice 22.Oral X, minesSoit, pourn1,fn:x7!nX

k=1x k1. Montrer qu"il existe un unique réel strictement positif tel quefn(xn) = 0. Etudier la suite(xn)et en donner un développement asymptotique à deux termes.f nest strictement croissante, vaut1en0, a pour limite+1en+1. D"où, par théorème des valeurs intermédiaires (il est clair quefnest continue) l"existence et l"unicité dexn. On constate quexn<1sin >1. Mais aussi, f n(x) =xxn+11x1 =1 + 2xxn+11x Donc x n+1n= 2xn1 (1)

Soit2]0;1[;fn(1)!n!+112

. Donc, si <1=2, à partir d"un certain rang on afn(1)>0, et doncxn<1. En fait, on aurait pu se contenter de remarquer quefn< fn+1surR+, ce qui donne0< fn+1(xn), et donc x n+1< xn(variations defn). On a donc la convergence de(xn)vers`2[0;1[. 9 Mais, dans(1), on a nécessairement(2xn1)qui converge vers0(le premier membre converge vers0). Donc`= 1=2. Posons x n=12 +n où(n)converge vers0. On a (n+ 1)ln12 +n = ln(2) + ln(n) qui donne déjà ln(n) nln2 (2) mais cela ne suffit pas (on ne peut pas prendre des exponentielles d"équivalents). Mais, repartant sur la relation(1)(sans prendre les logarithmes), on a 2n=12 n+1 exp((n+ 1)ln(1 + 2n)) Mais(n+1)ln(1+2n)2nnetnn!n!+10(prendre le logarithme denn, (2)montre qu"il tend vers1). On obtient n12 n+2

ce qui donne le deuxième terme du développement asymptotique.Exercice 23.Un ancien rapport de l"X déplore que certains candidats ne

sachent pas, en partant de l"hypothèse " la sériePanconverge », écrirean

sous la formeunun1où(un)est une suite qui converge vers0. Et vous?Si on part dean=SnSn1, où lesSnsont les sommes partielles, la suite(Sn)

ne converge pas vers0. Mais elle converge, versS. Or a n= (SnS)(Sn1S) on peut donc prendre u n=SnS=Rn

(on peut aussi directement penser aux restes).Exercice 24.SoitP,Qdeux polynômes. A quelle condition la série

X nn0P(n)Q(n) (n0choisi pour que le dénominateur ne s"annule pas) converge-t-elle?

En utilisant des équivalents, la cns est

deg(P)deg(Q) 2

(ou<1, ça revient au même).Exercice 25.Nature de la sériePsinn?Grossièrement divergente; la formule

sin(n+ 1) = sinncos1 + cosnsin1 montre assez facilement (sachant quesin16= 0) que la suite(sinn)ne converge pas vers0.Exercice 26.Soit(un)une suite à termes réels positifs, décroissante. Montrer que si la sériePunconverge, alorsun=o(1=n). Montrer que ce résultat est

faux si on enlève l"hypothèse " décroissante »Le plus important est de retenir le fait que le critère de comparaison à Riemann

n"est pas une condition nécessaire. Par exemple, prenonsun= 1=nsinest un carré,0sinon.Punconverge, et pourtant on n"a pasun=o(1=n). Mais si(un)décroît, avec des notations habituelles,

0nu2nS2nSn

Donc(nu2n)converge vers0. Donc(2nu2n)aussi. Et également((2n+ 1)u2n+1) grâce à

0(2n+ 1)u2n+12n+ 12n2nu2nExercice 27.Soitk >1; on noteSk=+1X

n=11n ketk=+1X n=11(2n+ 1)k; calculer ken fonction deSk.11 Toutes les séries convergent, on peut écrire S k= 1 + k++1X n=11(2n)k= 1 + k+12 kSk

ce qui permet de conclure.Exercice 28(Oral Mines).Nature de la série de terme généralun=n(na=lnn).Aucun intérêt, elle diverge grossièrement.

Exercice 29(Oral Mines).Nature de la série de terme généralsin(p1 +n+n2).On développe : p1 +n+n2=nr1 + 1n +1n 2 jusqu"à un ordre suffisant...Or nr1 + 1n +1n

2=n(qui donnera un signe)+2

(qui changera sin encos)

2n8n(cela risque de ne pas suffire...)+O1n

2 (leOest une astuce ici qui évite l"explicitation des termes d"ordre suivant). Ce qui donne : sin(p1 +n+n2) = (1)ncos38n+O1n 2 et la divergence est grossière...on peut donc penser que l"énoncé est erroné, et qu"il s"agissait d"examinerPunavec uquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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