Développements limités usuels
Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas. Formule de Taylor-Young en 0. f(x) = x?0.
Développements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 Développements en série entière usuels e ax. = ?. ? n=0 ... III Puissances et inverses de fonctions usuelles.
Développements limités usuels en 0
Développements en série entière usuels e ax. = ?. ? n=0 an n! xn a ? C x ? R sh x. = ?. ? n=0. 1. (2n + 1)! x2n+1 x ? R ch x. = ?. ? n=0.
I) Développements limités usuels
Tous les DL usuels suivants sont au voisinage de x = 0. Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles. A) Famille exponentielle.
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de
Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2.
Développements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x. = 1+ x. 1! + x2. 2!+ ··· + xn n! + O(xn+1) sh x. = x + x3. 3!+ ··· + x2n+1. (2n + 1)!. + O(x2n+3).
Sans titre
sh x = x + th x = x. COS X -. 1. sin x = x. 1. 1 + x. Développements limités usuels. (au voisinage de 0) tan x = x +.
I) Développements limités usuels
Tous les DL usuels suivants sont au voisinage de x = 0. Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles. A) Famille exponentielle.
FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
Lycée Blaise Pascal. TSI 1 année. FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS. Limites usuelles lnx x. ?????? x?+?. 0 x lnx ?????? x?0+. 0 ln(x).
Développements en série entière usuels (en 0)
Développements en série entière usuels (en 0). 1) Exponentielle fonctions cosinus et sinus (rayon de convergence : +?) ex = +o. ? n=0.
Fiche : DL
I) Développements limités usuels
Tous les DL usuels suivants sont au voisinage dex= 0Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles.
A) Famille exponentielle
exp(x) = 1 +x+x22! +x33! +x44! +...+xnn!+o(xn)(Taylor) ch(x)= 1 + x22! +x44! +...+x2n(2n)!+o(x2n)(c h(x) =partie paire deex) sh(x)= x+x33! +...+x2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+1)(sh (x) =partie impaire deex) cos(x) = 1-x22! +x44! +...+ (-1)nx2n(2n)!+o(x2n) (cos(x) =?(eix)) sin(x) =x-x33! +...+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+1) (sin(x) =?(eix))B) Famille géométrique
11-x= 1 +x+x2+...+xn+o(xn)(série géométrique)
11 +x= 1-x+x2+...+ (-1)nxn+o(xn)(en remplaçantxpar-x)
ln(1-x) =-x-x22 -x33 +...-xn+1n+ 1+o(xn+1)(en intégrant la série géométrique) ln(1 +x) =x-x22 +x33 +...+ (-1)nxn+1n+ 1+o(xn+1)(au choix)Arctan(x) =x-x33
+x55 +...+ (-1)nx2n+12n+ 1+o(x2n+1)Le dernier s"obtient en remplaçantxparx2dans la série géométrique alternée puis en intégrant, car
Arctan
?(x) =11 +x2.C) Autres
(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2!x2+···+α(α-1)···(α-n+ 1)n!xn+o(xn)S"obtient directement avec la formule de Taylor :
dkdxk(1 +x)α=α(α-1)···(α-k+ 1)(1 +x)α-kMoyen mnémotechnique : ressemble à une formule du binôme (et coïncide avec le binôme lorsqueα?N).
Cas important :α=±12
. On en déduit le DL deArcsin(x). tan(x) =x+x33 +o(x3)S"obtient soit à partir detan =sincos , soittan(x)≂xpuistan?= 1 + tan2. Pas de formule générale. 1 FicheDLII) Rappels des propriétés générales Propriété 1 (Taylor-Young)Soitn?N. Soitf?Cn(I,R)eta?I.Alors?x?I
f(x) =f(a) + (x-a)f?(a) +···+(x-a)nn!f(n)(a) +o?(x-a)n?Preuve : cf cours PTSI.
Remarque 1Fréquemment,a= 0:
f(x) =f(0) +xf?(0) +...xnn!f(n)(0) +o(xn) Propriété 2Un développement limité s"intègre terme à terme sans problème.Propriété 3
Le DL d"une fonctionfpaire ne contient que des puissances paires. Le DL d"une fonctionfimpaire ne contient que des puissances impaires. 2quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] développement personnel physique quantique
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