[PDF] CORRECTION du sujet de MATHÉMATIQUES du BACCALAURÉAT

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Mathématiques

CORRECTION du sujet de

MATHÉMATIQUES du

BACCALAURÉAT (sérieS-

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE)

Correction proposée par Mr

MORICEAU.

ILE DE LA REUNION,

session juin2010

Saint Denis, ILE DE LA RÉUNION ,30juin2010

Exercice1: Commun à tous les candidats

Soitfla fonction définie sur l"intervalle]-1;+∞[par : f(x) = 1 + ln(1 +x)

Partie A :

1.a) La fonctionfest définie et dérivable sur]-1;+∞[.

Pour toutx?]-1;+∞[,f?(x) =1

1 +x Pour toutx?]-1;+∞[,1 +x >0. Donc pour tout nombrexappartenant à ]-1;+∞[,1

1 +x>0.

Par conséquent, pour toutxappartenant à]-1;+∞[,f?(x)>0. En conclusion, la fonctionfest strictement croissante sur l"intervalle]-1;+∞[. 1

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1.b) Déterminons tout d"abord la limite de la fonction f en+∞.

limx→+∞(1 +x) = +∞ lim u→+∞lnu= +∞? donclimx→+∞ln(1 +x) = +∞

En conclusion,limx→+∞f(x) = +∞

lim x→-1+(1 +x) = 0+ lim u→0+lnu=-∞? donclim x→-1+ln(1 +x) =-∞

En conclusion,lim

x→-1+f(x) =-∞

2) On désigne pargla fonction définie sur l"intervalle]-1;+∞[par :

g(x) =f(x)-x a) On peut remarquer queg(x) =f(x) + (-x) lim x→-1+f(x) =-∞ lim x→-1(-x) = 1? donclim x→-1+(f(x) + (-x)) =-∞

En conclusion,lim

x→-1+g(x) =-∞ 2. b)

Posonst= 1 +x

Sixtend vers+∞alorsttend également vers+∞.

Nous savons que :limt→+∞lnt

t= 0(croissance comparée) Donc, lim x→+∞ln(1 +x)

1 +x= 0

On peut écrire : pour toutx >-1,

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g(x) =f(x)-x = 1 + ln(1 +x)-x = 1-x+ ln(1 +x) = (1 +x)×? 1-x

1 +x+ln(1 +x)(1 +x)?

Nous venons de voir que :limx→+∞ln(1 +x)

1 +x= 0

D"autre part,limx→+∞1-x

1 +x=-1

Ainsi,limx→+∞?

1-x

1 +x+ln(1 +x)1 +x?

=-1

Commelimx→+∞(1 +x) = +∞

Nous pouvons écrire (par produit) que :

lim x→+∞? (1 +x)×? 1-x

1 +x+ln(1 +x)(1 +x)??

En conclusion,limx→+∞g(x) =-∞

2. c) La fonctiongest définie et dérivable sur]-1;+∞[.

Pour toutx?]-1;+∞[,g?(x) =f?(x)-1

On peut écrire : pour toutx >-1,

g ?(x) =f?(x)-1 1

1 +x-1

1-(1 +x)

1 +x -x 1 +x 3

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Comme pour toutxappartenant à]-1;+∞[,1 +x >0alors le signe deg?(x) sur]-1,+∞[est celui de(-x)sur ce même intervalle. x-1 0 +∞ -x+ 0- g?(x)?+ 0- g(x)? -∞ ?1? -∞ d) •gest continue (car dérivable) sur]-1;0]et strictement croissante sur]-1;0]. D"autre part,g(-0,9)<0etg(0) = 1>0. Ainsi,0?[g(-0,9);g(0)] Il existe un unique valeurα(d"après le théorème des valeurs intermédiaires) avec

α <0tel queg(α) = 0.

•gest continue (car dérivable) sur[0;+∞[et strictement décroissante sur [0;+∞[. D"autre part,g(2) = ln3-1>0etg(3) = 2ln2-1<0. Ainsi,0?[g(3);g(2)] Il existe un unique valeurβ(d"après le théorème des valeurs intermédiaires) avec

β?[2;3]tel queg(β) = 0.

En conclusion, sur]-1;+∞[, l"équationg(x) = 0 admet exactement deux solutionsαetβavecα <0et

β?[2;3].

e) D"après les questions précédentes, on peut dire que : g(x)<0sur]-1;α[et sur]β;+∞[ g(x)>0pourx?]α;β[. g(α) = 0etg(β) = 0. Pour savoir la position relative de la courbeCfpar rapport à la droiteD, dé- terminons le signe def(x)-x(c"est-à-dire le signe deg(x)) suivant les valeurs de x. •Pourx?]-1;α[etx?]β;+∞[f(x)-x <0et donc pour toutx?]-1;α[ et pour toutx?]β;+∞[f(x)< x. •Pourx?]α;β[f(x)-x >0et donc pour toutx?]α;β[f(x)> x. •Remarquons queg(α) = 0doncf(α) =αpuisg(β) = 0doncf(β) =β

En conclusion,

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•La courbeCfet la droiteDse coupent en deux pointsAetBde coordonnées respectives(α;α)et(β;β). •la courbeCfest au-dessous de la droiteDpourx?]-1;α[etx?]β;+∞[. •la courbeCfest au-dessus de la droiteDpourx?]α;β[.

Partie B :

On considère la suite(un)définie par :?u0= 2

Pour tout entier naturel nun+1=f(un)

1. Raisonnonspar récurrencepour montrer que :

Initialisation :

Hérédité :

Comme la fonctionfest croissante sur]-1;+∞[alors on peut écrire que :

Or,f(2) = 1 + ln3etf(un) =un+1.

g(β) = 0doncf(β)-β= 0ainsif(β) =β

Ainsi,

Comme1 + ln3>2alors

Conclusion :

2.un+1-un=f(un)-un=g(un)

Nous venons de voir à la question précédente que : 5

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gest décroissante sur l"intervalle[0;+∞[a fortiori sur[2;β]donc

Commeg(β) = 0etg(2) = ln3-1>0

Ainsi,g(un)≥0et doncun+1-un≥0

La suite(un)est donc croissante.

D"après la question précédente, la suite(un)est bornée (et donc majorée) Nous savons qu"une suite croissante et majorée est convergente.

En conclusion, la suite(un)est convergente

Exercice2: Commun à tous les candidats

Partie I :

1. NotonsAnl"événement : " les deux faces obtenues sont noires »

La probabilité d"obtenir une face noire lors d"un lancer est 2

6c"est-à-dire13.

Les deux lancers sont indépendants doncP(An) =1

3×13.

Donc,

P(An) =1

9

2. NotonsAvl"événement : " les deux faces obtenues sont vertes » etArl"événe-

ment : " les deux faces obtenues sont rouges ». On peut écrire que :

C=An?Av?Ar

Les événementsAn,AvetArsont deux à deux incompatibles.

On a :

P(C) =P(An) +P(Av) +P(Ar)

CommeP(An) =1

9,P(Av) =?

16? 2 =136etP(Ar) =? 12? 2 =14

Alors,

P(C) =1

9+136+14=1436=718

3. NotonsEl"événement : " les deux faces obtenues sont de couleurs différentes »

On remarque queE=

C. Donc,P(E) =P(C) = 1-P(C) = 1-718=1118

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la probabilité pour qu"à l"issue d"un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes est égale à11 18.

4. Nous cherchonsPC(Av).

Par définition,

P

C(Av) =P(C∩Av)

P(C)=P(Av)P(C).

Donc, P

C(Av) =1

36×187=1836×7=114

Partie II :

1. a) L"arbre de probabilités est le suivant :

V1désigne l"événement : " la face obtenue au premier lancer estverte » N

1désigne l"événement : " la face obtenue au premier lancer estnoire »

V

2désigne l"événement : " la face obtenue au deuxième lancer est verte »

N

2désigne l"événement : " la face obtenue au deuxième lancer est noire »

R

2désigne l"événement : " la face obtenue au deuxième lancer est rouge »

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1. b) Nous recherchonsPV1(V2).

Nous pouvons écrire :PV1(V2) =2

3.

2. Nous recherchonsP(V1∩V2).

Par définition,

P

V1(V2) =P(V1∩V2)

P(V1) Donc,

P(V1∩V2) =P(V1)×PV1(V2) =2

3×23=49

3. Les événementsV1etN1constituent une partition de l"univers. D"après la

formule des probabilités totales,

P(V2) =P(V1∩V2) +P(N1∩V2) =4

9+13×16=49+118=918=12

Exercice3: Commun à tous les candidats

Partie A :

1. Soitfune fonction définie et dérivable sur]0;+∞[qui vérifie la condition(E),

c"est-à-dire que pour toutx?]0;+∞[, xf?(x)-f(x) =x2e2x Considérons la fonctiongdéfinie sur]0;+∞[par : g:x?→f(x) x cette fonctiongest dérivable sur]0;+∞[comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur n"est pas nul sur]0;+∞[.

Nous pouvons calculerg?(x)pourx?]0;+∞[.

Pour toutx?]0;+∞[,

g ?(x) =xf?(x)-f(x) x2 Or, la fonctionfvérifie la condition(E), c"est-à-dire que pour toutx?]0;+∞[, xf ?(x)-f(x) =x2e2x 8

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Comme pour toutx?]0;+∞[,xf?(x)-f(x)x2=g?(x)alors pour toutx?]0;+∞[: x 2e2x
x2=g?(x) En divisant parx2(ce qui est légitime puisquex2n"est pas nul pour toutx >0), nous obtenons : pour toutx?]0;+∞[, g ?(x) =e2x

2. D"après la question qui précède, sifvérifie la condition(E)alorsgest une

primitive de la fonction :x?→e2x. Ainsi,gest la fonction définie sur]0;+∞[par g:x?→e2x

2+λoùλdésigne un réel

Et donc, la fonctionfest la fonction définie et dérivable sur]0;+∞[par f:x?→xe2x

2+λ×xoùλdésigne un réel

(si pourx >0,g(x) =f(x) xalors pourx >0,f(x) =x×g(x)) Réciproquement, considérons une fonctionfdéfinie pourx >0par f:x?→xe2x

2+λ×xoùλdésigne un réel

Cette fonctionfest dérivable sur]0;+∞[comme produit de fonctions dérivables sur]0;+∞[puis comme somme de fonctions dérivables.

Pour toutx >0,f?(x) =1

2×(e2x+ 2xe2x) +λ=e2x2+xe2x+λ

Ainsi, pour toutx >0,xf?(x)-f(x) =xe2x

2+x2e2x+λ×x-(xe2x2+λ×x)

Et donc, pour toutx >0,xf?(x)-f(x) =x2e2x

Par conséquent,fvérifie la condition(E).

3. Nous cherchons la fonctionfdéfinie par :

pourx >0 f:x?→xe2x

2+λ×xoùλdésigne un réel

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qui s"annule en12(ce qui signifie quef(12) = 0). f(x) =xe2x

2+λ×x

f(1

2) =e4+λ2

Commef(1

2) = 0alorse4+λ2= 0c"est-à-dire queλ=-e2

En conclusion, la fonction recherchée est la fonctionfdéfinie et dérivable sur ]0;+∞[suivante : f(x) =x

2×(e2x-e)

Partie B :

1. Pour toutx≥0,h(x) =x2×(e2x-e)

Pour toutx≥0,x

2est supérieur ou égal à0.

Le signe deh(x)est celui dee2x-e

e 2

En conclusion, on peut dire que :

h(x)<0pourx?]0;1 2[ h(x)>0pourx?]1

2;+∞[.

h(0) = 0eth(1

2) = 0.

2. Intégration par parties

I=? 1 2

0xe2xdx

On poseu(x) =xetv?(x) =e2x

Nous avons :

u(x) =xu?(x) = 1 v?(x) =e2xv(x) =e2x2 10

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Cette intégration par parties est légitime car : - les fonctionsx?→u(x)etx?→v(x)sont dérivables et continues sur [0;1 2], - les fonctionsx?→u?(x)etx?→v?(x)sont continues sur [0;1 2]. Calculons à présentI(en utilisant une intégration par parties) :

I= [xe2x

2]1 20? =e 4- 1 2 0e 2x 2dx

Donc :

I=e

4-[e2x4]1

20? e-1 4

Ainsi,

I=e-e+ 1

4=14 Donc, 1 2

0xe2xdx=1

4 1 2

0h(x)dx=1

2? 1 2

0xe2xdx-e

2? 1 2 0xdx (d"après la linéarité de l"intégrale)

Nous pouvons donc écrire :

1 2

0h(x)dx=1

8-e2[x22]1

20? 1 8

Finalement,

1 2

0h(x)dx=1

8-e16=2-e16

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b) D"après la question 1. on peut dire que la fonctionhestnégativesur[0;12]. Par conséquent, l"aire (notéeA) [en unité d"aire] de la partie du plan située en dessous de l"axe des abscisses et au dessous de la courbecest : A=? 1 2

0-h(x)dx=e-2

16 Exercice4: les candidats qui n"ont pas choisi l"enseignement de spécialité Partie I : Restitution organisée de connaissances arg? c-ab-a? =arg(c-a)-arg(b-a) =arg(z-→AC)-arg(z-→AB) -→u ,-→AC)-(-→u ,-→AB)

AB,-→u) + (-→u ,-→AC)

AB,-→AC)(relation de Chasles) (à2kπprès)

Partie II

1. a)zB?=zB-1-ii=i-1-ii=-1i=i2i=i

b)z?=z-1-i z=zz-1 +iz= 1-1 +izdoncz?-1 =-1 +iz zétant non nul, nous pouvons écrire quez?-1?= 0et ainsiz??= 1. 12

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2. Pourznon nul,

|z?|= 1??????z-1-i z????? = 1 ?z-(1 +i) z-0????? = 1 |z-(1 +i)| |z-0|= 1 ? |z-(1 +i)|=|z-0| ?MA=MO ?M appartient à la médiatrice du segment[AO] L"ensemble recherché est la médiatrice du segment[AO]

3. Notonszl"affixe du pointMetz?l"affixe du pointM?.

Posonsz=x+iyavecxetyréels etz?=x?+iy?avecx?ety?réels. z ?=z-1-i z x ?+iy?=x+iy-1-i x+iy x ?+iy?=(x-1) +i(y-1) x+iy x ?+iy?=((x-1) +i(y-1))(x-iy) (x+iy)(x-iy) x ?+iy?=(x-1)(x-iy) +i(y-1)(x-iy) x2+y2 x ?+iy?=x2+y2-x-y+i(y-x) x2+y2 13

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On a donc :

x ?=x2+y2-x-y x2+y2ety?=y-xx2+y2 z ?réel?Im(z?) = 0 ?y?= 0 ?y=xavec(x,y)?= (0;0) L"ensemble recherché est la droite (D) d"équationy=xprivée du pointO. 14quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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