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Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques

1 On considère la fonction f définie par

1Arctan1

x f x x-

1°) Déterminer l"ensemble de définition

D de f.

2°) Simplifier l"expression de

f x pour x¬D.

Indication :

Poser

Arccos

y x= 2

Soit f la fonction définie par

2 1 1

Arctanxf x

x+ -

1°) Peut-on prolonger f par continuité ?

2°) Simplifier l"expression de f.

Indication :

Poser

Arctan

y x=

Contrôler sur la calculatrice graphique.

3

Question préliminaire :

Simplifier

cos Arcsin x pour 1;1 x¬ -.

La calculatrice est autorisée.

L"objectif de cet exercice est de calculer

5 4 16

Arcsin Arcsin Arcsin

13 5 65

Indications :

Poser 5

Arcsin

13 a = 4

Arcsin

5 b= et 16

Arcsin

65
g = • Démontrer que 0 2p < a+b< . On pourra comparer a et b à des valeurs remarquables de Arcsin. • Calculer cos a +b • Conclure. 4

On considère la fonction

f définie par

Arccos 1

f x x

1°) Démontrer que, pour tout réel

x appartenant à l"ensemble de définition de f, on a

2Arcsin

2x f x

2°) Déterminer

0 limx f xx 5

Question préliminaire :

Simplifier Arccos(cos

x) pour 0; x¬ p puis pour ; 2 x¬ p p

Partie A

On considère la fonction

f : x ? 2

Arccos 2 1

x

1°) Déterminer l"ensemble de définition de

f.

2°) Simplifier

f x (méthode : changement de variable)

Partie B

Mêmes questions avec la fonction

g : x ? 3

Arccos 4 3

x x 6 7

1°) Étudier la fonction

f : x ?

Arctan 1 Arctan Arctan 1

x x x- + + + (parité, sens de variation et limites).

En déduire le nombre de solutions dans

R de l"équation

Arctan 1 Arctan Arctan 1

x x x m- + + + = (E) suivant la valeur du réel m.

2°) a) Rappeler sans démonstration la formule donnant

tan a b+ où a et b sont deux réels tels que a, b, a b+ ne soient pas de la forme 2 k p+ p , avec k entier relatif. b) Rappeler sans démonstration la formule donnant tan2 a pÄ Ô

Å ÕAE Ö

où a est un réel qui n"est pas de la forme 2 k p+ p , avec k entier relatif. c) Résoudre l"équation (E) pour 2 m p= 8

Partie A (Questions préliminaires)

1°) Rappeler la formule donnant

tan a b+

2°) Simplifier

Arctan tan

x pour ;2 2 x p p puis pour 3;2 2 x p p× Ç¬Ø ÈÙ É

Partie B

Soit f la fonction définie par

3

Arctan

1 3xf x

x+=-

1°) Déterminer l"ensemble de définition

D de f.

2°) Pour

x¬D , simplifier l"écriture de f x 9

On considère la fonction f définie sur

R par

Arctan 1 Arctan

f x x x

1°) Démontrer que pour tout réel x, on a :

0 2 f x p

2°) Démontrer qu"il existe une unique fonction g définie sur

R telle que, pour tout réel x, on ait :

Arctan

f x g x

3°) Pour tout entier naturel n, on pose

0Arctan

n n k S g k

Déterminer

lim n n S 10

Le but de l"exercice est de calculer

1 1

Arctan Arctan

2 3 a = + par deux méthodes indépendantes

1ère méthode :

• Rappeler la formule donnant

tan a b+

• Démontrer que l"on a :

0 2p < a <

• Effectuer le calcul demandé.

2e méthode :

On considère la fonction f : x

1Arctan Arctan1 2

x x x

Calculer

"f x

Conclure.

11

Résoudre dans

R

2 le système

Arcsin 2Arcsin 2Arccos Arcsin

y xy x=Ê 12

Démontrer que pour tout réel

x, on a : 2 1 cos Arctan 1x x et 2 sin Arctan 1 x x x 13

1°) Simplifier Arc(cos x) pour

0; x¬ p , puis pour ]; 0 x¬ - p

Simplifier Arc(sin x) pour

;2 2 x p p 3;2 2 x p pÇ ×¬È ØÉ Ù et 3;2 2 x p p

2°) Simplifier

22

1Arccos1

xx

AE Ö

et simplifier 2

2Arcsin1xx

AE Ö

14 Démontrer que pour tout réel x strictement positif, on a :

1 1Arctan 2Arctan 2 2

x xx p 15

Démontrer que :

1 1

2Arctan Arctan

4 3 7p= -

16

Question préliminaire :

rappeler la formule donnant tan - a b où a et b sont deux réels tels que a, b, a b+ soient différents de 2 k p+ p , pour tout entier relatif k. Soit 1x,

2,x, ...,

7x sept réels deux à deux distincts.

Démontrer qu"il existe deux réels distincts

ix et jx tels que 1 01 3 j i i jx x x x-

Indication :

On pourra supposer que

1 2 7 x x x< < < et on pourra poser

Arctan

i i x q = 17

Calculer la dérivée de la fonction f : x

2

2Arctan 1 Arctan

x x x+ - +. 18

Pour tout entier naturel m non nul, on note

mC l"ensemble des couples (x ; y) de réels non nuls tels que 1 1

Arctan Arctan

4mx yp

+ ˜ p

1°) Démontrer que pour tout réel x non nul on a :

1

Arg i Arctan

x x + ˜ p

2°) Démontrer que

m x y ¬C i4 i i e m x y p-

3°) Démontrer que :

1 12Arctan Arctan3 7 4

p 19

Calculer la dérivée de la fonction f : x

Arctan(Arctan x).

20

Donner une primitive sur

R de la fonction f : x

4 1xx+

Indication :

on pourra écrire 2 2 1x f x x 21

Calculer la dérivée de la fonction f : x

2

Arctan 1

x 22

Résoudre dans

R les équations :

2

Arcsin Arcsin 1

2 x x p (1) ; )2

2Arcsin Arcsin 2 1

x x x= - (2). 23

Simplifier les expressions suivantes :

3Arccos cos4

p

AE Ö

AE Ö

et 3

Arcsin sin

2p

Ä ÔÅ ÕAE Ö

24

On considère la fonction

f : x ? 2 2 2 1

Arctan

2 1 x xx x

Pour cet exercice, on donne :

tan 2 1 8p= - et 3 tan 2 1 8p= +

1°) Déterminer l"ensemble de définition de la fonction f.

2°) Démontrer que l"on a :

5

2Arctan

4 f x x p si 2 1 x< - -

2Arctan

4 f x x p si

2 1 2 1

x 3

2Arctan

4 f x x p si 2 1 x> - 25

On considère la fonction f : x

xArccos x.

1°) Démontrer que

"f s"annule en un unique réel a et justifier que

0 1< a <

2°) Dresser le tableau de variations de f.

3°) Démontrer que le maximum de f est égal à

2 2 1a-a 26

1°) Soit

x un réel appartenant à l"intervalle 1;1-

Préciser en fonction de Arccos

x l"ensemble des réels u¬ - p p tels que cos u x>

2°) Soit

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