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Exo7

Fonctions circulaires et hyperboliques inverses

Corrections de Léa Blanc-Centi.

1 Fonctions circulaires inverses

Exercice 1Vérifier

arcsinx+arccosx=p2 et arctanx+arctan1x =sgn(x)p2 Une statue de hauteursest placée sur un piédestal de hauteurp. 1.

À quelle distance x0doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la

statue sous un angle maximala0? 2.

Vérifier que a0=arctans2

pp(p+s). 3.

Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres a vecun piédestal de 47 mètres.

Écrire sous forme d"expression algébrique

1. sin (arccosx);cos(arcsinx);cos(2arcsinx). 2. sin (arctanx);cos(arctanx);sin(3arctanx).

Résoudre les équations suivantes:

1. arccos x=2arccos34 2. arcsin x=arcsin25 +arcsin35 3. arctan 2x+arctanx=p4

Montrer que pour toutx>0, on a

arctan 12x2 =arctanxx+1 arctanx1x

En déduire une expression deSn=nå

k=1arctan12k2 et calculer lim n!+¥Sn. 1 Soitz=x+iyun nombre complexe, oùx=Rezety=Imz. On sait que sizest non nul, on peut l"écrire de façon unique sous la formez=x+iy=reiq, oùq2]p;p]etr=px

2+y2.r

0z=x+iyxy

q 1.

Montrer que si x>0, alorsq=arctanyx

2.

Montrer que si q2]p;p[, alorsq=2arctansinq1+cosq.

3. En déduire que si zn"est pas réel négatif ou nul, on a l"égalité q=2arctan yx+px 2+y2!

Exercice 7Simplifier l"expression

2ch2(x)sh(2x)xln(chx)ln2et donner ses limites en¥et+¥.

Soitx2R. On poset=arctan(shx).

1.

Établir les relations

tant=shx1cost=chxsint=thx 2.

Montrer que x=lntant2

+p4

Soitxun réel fixé. Pourn2N, on pose

C n=nå k=1ch(kx)etSn=nå k=1sh(kx):

CalculerCnetSn.

2 Soitaetbdeux réels positifs tels quea2b2=1. Résoudre le système ch(x)+ch(y) =2a sh(x)+sh(y) =2b

Exercice 11Simplifier les expressions suivantes:

1. ch (argshx);th(argshx);sh(2argshx). 2. sh (argchx);th(argchx);ch(3argchx). Étudier le domaine de définition de la fonctionfdéfinie par f(x) =argch12 x+1x et simplifier son expression lorsqu"elle a un sens. Montrer que l"équation argshx+argchx=1 admet une unique solution, puis la déterminer.

Indication pourl"exer cice1 NFaire une étude de fonction. La fonction sgn(x)est lafonction signe: elle vaut+1 six>0,1 six<0 (et 0 si

x=0).Indication pourl"exer cice2 NFaire un dessin. Calculer l"angle d"observationaen fonction de la distancexet étudier cette fonction. Pour

simplifier l"expression dea0, calculer tana0à l"aide de la formule donnant tan(ab).Indication pourl"exer cice3 NIl faut utiliser les identités trigonométriques classiques.

Indication pour

l"exer cice

4 NOn compose les équations par la bonne fonction (sur le bon domaine de définition), par exemple cosinus pour

la première. Pour la dernière, commencer par étudier la fonction pour montrer qu"il existe une unique solution.Indication pourl"exer cice5 NDériver la différence des deux expressions.

Indication pour

l"exer cice

7 NOn trouve1+e2xln(1+e2x).Indication pourl"exer cice8 NPour la première question calculer

1cos

2t. Pour la seconde question, vérifier quey=lntant2

+p4 est bien

défini et calculer shy.Indication pourl"exer cice9 NCommencer par calculerCn+SnetCnSnà l"aide des fonctions ch et sh.Indication pourl"exer cice10 NPoserX=exetY=eyet se ramener à un système d"équations du type somme-produit.Indication pourl"exer cice12 NOn trouvef(x) =jlnxjpour toutx>0.Indication pourl"exer cice13 NFaire le tableau de variations def:x7!argshx+argchx.4

Correction del"exer cice1 N1.Soit fla fonction définie sur[1;1]parf(x) =arcsinx+arccosx:fest continue sur l"intervalle[1;1],

et dérivable sur]1;1[. Pour toutx2]1;1[,f0(x) =1p1x2+1p1x2=0. Ainsifest constante sur ]1;1[, donc sur[1;1](car continue aux extrémités). Orf(0) =arcsin0+arccos0=p2 donc pour tout x2[1;1],f(x) =p2 2.

Soit g(x) =arctanx+arctan1x

. Cette fonction est définie sur]¥;0[et sur]0;+¥[(mais pas en 0). On a g

0(x) =11+x2+1x

211+1x

2=0; doncgest constante sur chacun de ses intervalles de définition:g(x) =c1sur]¥;0[etg(x) =c2sur ]0;+¥[. Sachant arctan1=p4 , on calculeg(1)etg(1)on obtientc1=p2 etc2= +p2

.Correction del"exer cice2 N1.On note xla distance de l"observateur au pied de la statue. On noteal"angle d"observation de la statue

seule, etbl"angle d"observation du piédestal seul.s p xa b Nous avons les relations trigonométriques dans les triangles rectangles : tan(a+b) =p+sx et tanb=px

On en déduit les deux identités :

a+b=arctanp+sx etb=arctanpx à partir desquelles on obtienta=a(x) =arctanp+sx arctanpx Étudions cette fonction sur]0;+¥[: elle est dérivable et a

0(x) =s+px

21+s+px

2px 21+px

2=s(x2+p2)(x2+(s+p)2)p(p+s)x2

Ainsia0ne s"annule sur]0;+¥[qu"enx0=pp(p+s). Par des considérations physiques, à la limite en

0 et en+¥, l"angleaest nul, alors enx0nous obtenons un angleamaximum. Donc la distance optimale

de vision estx0=pp(p+s). 5

2.Pour calculer l"angle maximum a0correspondant, on pourrait calculera0=a(x0)à partir de la définition

de la fonctiona(x). Pour obtenir une formule plus simple nous utilisons la formule trigonométrique

suivante : sia,betabsont dans l"intervalle de définition de la fonction tan, alors tan(ab) = tanatanb1+tanatanb, ce qui donne ici tana0=tan(a0+b0)b0=p+sx 0px

01+p+sx

0px

0=s2x0=s2

pp(p+s)

Commea02]p2

;p2 [, on en déduita0=arctans2x0=arctans2 pp(p+s). 3.

Pour la statue de la liberté, on a la hauteur de la statue s=46 mètres et la hauteur du piédestalp=47

mètres. On trouve donc x

0=pp(p+s)'65;40mètresa0=arctans2

pp(p+s)'19: Voici les représentations de la statue et de la fonctiona(x)pour ces valeurs desetp.s p x 0a 0b

0xa(x)a(x)a

0x 00

Correction de

l"exer cice

3 N1.sin

2y=1cos2y, donc siny=p1cos2y. Avecy=arccosx, il vient sin(arccosx) =p1x2.

Or arccosx2[0;p], donc sin(arccosx)est positif et finalement sin(arccosx) = +p1x2. De la même manière on trouve cos(arcsinx) =p1x2. Or arcsinx2[p2 ;p2 ], donc cos(arcsinx)est positif et finalement cos(arcsinx) = +p1x2. Ces deux égalités sont à connaître ou à savoir retrouver très rapidement : sin(arccosx) =p1x2=cos(arcsinx): Enfin, puisque cos(2y) =cos2ysin2y, on obtient avecy=arcsinx, cos(2arcsinx) = (p1x2)2x2=12x2: 2. Commençons par calculer sin (arctanx), cos(arctanx). On utilise l"identité 1+tan2y=1cos

2yavecy=

arctanx, ce qui donne cos2y=11+x2et sin2y=1cos2y=x21+x2. Il reste à déterminer les signes de cos(arctanx) =1p1+x2et sin(arctanx) =xp1+x2Ory=arctanxdoncy2]p2 ;p2 [etya le même signe quex: ainsicosy>0, etsinyalemêmesignequeyetdoncquex. Finalement, onacos(arctanx)=1p1+x2 et sin(arctanx) =xp1+x2. 6

Il ne reste plus qu"à linéariser sin(3y):

sin(3y) =sin(2y+y) =cos(2y)sin(y)+cos(y)sin(2y) = (2cos2y1)siny+2sinycos2y =4sinycos2ysiny

Maintenant

sin(3arctanx) =sin(3y) =4sinycos2ysiny =4x(1+x2)3=2xp1+x2=x(3x2)(1+x2)3=2

Remarque :la méthode générale pour obtenir la formule de linéarisation de sin(3y)est d"utiliser les

nombres complexes et la formule de Moivre. On développe cos(3y)+isin(3y) = (cosy+isiny)3=cos3y+3icos2ysiny+

puis on identifie les parties imaginaires pour avoir sin(3y), ou les parties réelles pour avoir cos(3y).Correction del"exer cice4 N1.On vérifie d"abord que 2 arccos

34

2[0;p](sinon, l"équation n"aurait aucune solution). En effet, par

définition, la fonction arccos est décroissante sur[1;1]à valeurs dans[0;p], donc puisque12 634
61
on a p3 >cos34 >0. Puisque par définition arccosx2[0;p], on obtient en prenant le cosinus: arccosx=2arccos34 ()x=cos

2arccos34

En appliquant la formule cos2u=2cos2u1, on arrive donc à une unique solutionx=2(34 )21=18 2.

Vérifions d"abord que p2

6arcsin25

+arcsin35 6p2 . En effet, la fonction arcsin est strictement croissante et 0<25 <12 <35 +arcsin35 6p6 +p4

Puisque par définition on aussi arcsinx2[p2

;p2 ], il vient en prenant le sinus: arcsinx=arcsin25 +arcsin35 ()x=sin arcsin25 +arcsin35 ()x=35 cos arcsin25 +25
cos arcsin35 u. En utilisant la formule cos(arcsinx) =p1x2, on obtient une unique solution:x=35 q21 25
+25
45
3 p21+825 3. Supposons d"abord que xest solution. Remarquons d"abord quexest nécessairement positif, puisque arctanxalemêmesignequex. Alors, enprenantlatangentedesdeuxmembres, onobtienttanarctan(2x)+ arctan(x)=1. 7

En utilisant la formule donnant la tangente d"une somme : tan(a+b) =tana+tanb1tanatanb, on obtient2x+x12xx=1,

et finalement 2x2+3x1=0 qui admet une unique solution positivex0=3+p17 4 . Ainsi,sil"équation de départ admet une solution, c"est nécessairementx0. Or, en posantf(x) =arctan(2x)+arctan(x), la fonctionfest continue surR. Commef(x)!x!¥pet

f(x)!x!+¥+p, on sait d"après le théorème des valeurs intermédiaires quefprend la valeurp4

au moins

une fois (et en fait une seule fois, puisquefest strictement croissante comme somme de deux fonctions

strictement croissantes). Ainsi l"équation de départ admet bien une solution, qui estx0.Correction del"exer cice5 NPosonsf(x) =arctan12x2arctanxx+1+arctanx1x

pour toutx>0. La fonctionfest dérivable, et f

0(x) =22x31+12x2

21(1+x)21+xx+1

2+1x

21+x1x

2

4x4x4+11(1+x)2+x2+1x

2+(x1)2

4x4x4+1+x2+(x1)2+(1+x)2+x2

(1+x)2+x2x2+(x1)2 =0 Ainsifest une fonction constante. Orf(x)!x!+¥arctan0arctan1+arctan1=0. Donc la constante vaut 0, d"où l"égalité cherchée.

Alors :

S n=nå k=1arctan12k2 nå k=1arctankk+1 nå k=1arctank1k (par l"identité prouvée) nå k=1arctankk+1 n1å k

0=0arctank0k

0+1 (en posantk0=k1) =arctannn+1 arctan00+1 (les sommes se simplifient) =arctan 11n+1 (car nn+1=11n+1)

AinsiSn!n!+¥arctan1=p4

.Correction del"exer cice6 N1.Si x>0, alorsyx est bien défini et arctanyx aussi. Commex=rcosqety=rsinq, on a bienyx =tanq. Puisque par hypothèseq2]p;p]et que l"on a supposéx>0, alors cosq>0. Cela impliqueq2 ]p2 ;p2 [. Doncq=arctan(tanq) =arctanyx . (Attention ! Il est important d"avoirq2]p2 ;p2 [pour considérer l"identité arctan(tanq) =q.) 2.

Si q2]p;p[alorsq2

2]p2 ;p2 [, doncq2 =arctantanq2 . Or sinq1+cosq=2cosq2 sinq2

1+2cos2q2

1=sinq2

cos q2 =tanq2 d"où q2 =arctantanq2 =arctansinq1+cosq. 8

3.Remarquons que z=x+iy, supposé non nul, est un nombre réel négatif si et seulement si (x=rcosq<0

ety=rsinq=0), c"est-à-direq=p. Par conséquent, dire quezn"est pas réel négatif ou nul signifie que

q2]p;p[. On a alorsx+px

2+y26=0 (sinon, on auraitpx

2+y2=xet doncy=0 etx60) et

yx+px

2+y2=rsinqrcosq+r=sinq1+cosq:

Par la question précédente :

q=2arctansinq1+cosq =2arctan yx+px 2+y2! :Correction del"exer cice7 NPar définition des fonctions ch et sh, on a 2ch

2(x)sh(2x) =2ex+ex2

2 e2xe2x2 e2x+2+e2x2 +e2xe2x2 =1+e2x Et en utilisant les deux relations ln(ab) =lna+lnbet ln(ex) =xon calcule : xln(chx)ln2=xlnex+ex2 ln2 =xln(ex+ex)+ln2ln2 =xlnex(1+e2x) =xln(ex)ln(1+e2x) =xxln(1+e2x) =ln(1+e2x) d"où

2ch2(x)sh(2x)xln(chx)ln2=1+e2xln(1+e2x)

C"est une expression de la formeulnuavecu=1+e2x:

si x!+¥, alorsu!1+,1lnu!+¥donculnu! ¥;

si x! ¥, alorsu!+¥donc d"après les relations de croissances comparées,ulnu! ¥.Correction del"exer cice8 N1.(a) Remarquons d"abord que, par construction, t2]p2

;p2 [,test donc dans le domaine de définition de la fonction tan. En prenant la tangente de l"égalitét=arctan(shx)on obtient directement tant= tanarctan(shx)=shx. (b)

Ensuite,

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