[PDF] [PDF] NOMBRES RÉELS– Chapitre 1/2 - maths et tiques





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Le probleme logique de la definition des nombres irrationnels

de la definition des nombres irrationnels. I. Une legende rapporte ( Ique l'auteur de la theorie des incommen- surables fut englouti dans un naufrage.



NOMBRES RÉELS (Partie 1)

III. Notions de nombres réels. 1. Nombres irrationnels. Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction.



Les nombres entiers et rationnels (cours)

Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel. a) Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1 .



Nombres réels

Nombres irrationnels ; exemples fournis par la géométrie par exemple 2 et. Définition de l'ensemble Q des nombres rationnels. Un nombre rationnel est un 



Nombres rationnels et irrationnels

Définition d'un nombre rationnel (rappel) : Nombre irrationnel : son écriture décimale illimitée est non périodique et n'est pas constituée de 0 à ...



LES NOMBRES RÉELS

Les nombres irrationnels. Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Exemples : ?2 ?3 ou encore sont des nombres 



Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d

Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux 



Calcul dans

Définition. L'ensemble de nombres irrationnels est l'ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels. Par exemple ?2 ?



TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la

Soit y est un nombre irrationnel. Alors selon la définition on a que ¬((?p ? Z) ? (?q ? Z) ? (q = 0) y = p q). Supposons que le nombre xy ? Q alors.



Exercices de mathématiques - Exo7

En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Il faut revenir à la définition de la borne supérieure d'un ensemble ...



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Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel Exemples : 2 3 ? Autrement dit : Un nombre irrationnel est un nombre dont la partie 



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4 déc 2021 · rationnelle pour des nombres irrationnels : par exemple dans l'Egypte antique l'approxi- mation de ? par 256/81 soit environ 316 



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Définition Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme d'un décimal périodique ou sous forme d'une fraction I où a est un 



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Définition L'ensemble de nombres irrationnels est l'ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels Par exemple ?2 ? ? 



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27 jui 2016 · 2 Les nombres rationnels : Q Définition 1 : Un nombre rationnel q est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction

Nombre irrationnel : son écriture décimale illimitée est non périodique et n'est pas constituée de 0 à partir d'un certain rang.

  • Comment définir un nombre irrationnel ?

    Les nombres irrationnels (Q')
    Les nombres irrationnels, représentés par Q? ,sont les nombres dont le développement décimal est infiniet non périodique. Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.

  • Quels sont les nombres irrationnels exemple ?

    Les nombres irrationnels les plus cél?res sont ? et e. Les premières décimales de ? sont : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582… Mais dans la pratique, on utilise le plus souvent 3,14.

  • C'est quoi un nombre rationnel et irrationnel ?

    Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
  • La racine carrée de deux, notée ?2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit ?2 × ?2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : ?2 ? 1,414 213 562.

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NOMBRES RÉELS - Chapitre 1/2

Tout le cours sur les ensembles de nombres en vidéo : https://youtu.be/kL-eMNZiARM

Partie 1 : Nombres entiers

Vidéo https://youtu.be/HMY31orMLjs

1. Nombres entiers naturels

Définition : Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ.

0;1;2;3;4;...

Exemples :

4 ∈ ℕ (4 appartient à l'ensemble des entiers naturels)

-2 ∉ℕ (-2 n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels)

2. Nombres entiers relatifs

Définition : Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... Partie 2 : Nombres décimaux, nombres rationnels

1. Nombres décimaux

Définition : Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. Exemples : 0,56 ∈ ⅅ 3 ∈ ⅅ ∉ ⅅ car ≈ 0,3333... ∈ ⅅ car =0,75

Remarque :

Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous la forme de la fraction d'un entier et d'une puissance de 10.

Par exemple :2,36 =

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2. Nombres rationnels

Définition : Un nombre rationnel est une fraction (*). (*) Une fraction s'écrit sous la forme d'un quotient avec a un entier et b un entier non nul.

Exemples :

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/SHRo1ISyIXI

Démontrons que le nombre rationnel

n'est pas décimal. On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que est décimal.

Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ

est fausse.

Supposons donc que

est décimal. Alors il peut s'écrire sous la forme de la fraction d'un entier et d'une puissance de 10. Soit avec entier et entier naturel.

Donc 10

=3 et donc 10 est divisible par 3. Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or, ceci est impossible car la somme des chiffres de 10 est 1, et 1 n'est pas divisible par 3. Donc l'hypothèse posée au départ est fausse et donc n'est pas décimal

Partie 3 : Notion de nombres réels

1. Nombres irrationnels

Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction.

Exemples :

2,

3 ou encore sont des nombres irrationnels.

Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction.

Remarque :

Il n'est pas possible d'écrire un nombre irrationnel sous forme décimale. Les décimales qui le

constituent sont en nombre infini et se suivent sans suite logique.

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2. Nombres réels

Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.

Exemples :

2, -5, 0.67,

3 ou appartiennent à ℝ.

Remarques :

• Un nombre est réel s'il est l'abscisse d'un point d'une droite graduée appelée la droite

numérique. • ℝ est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons en classe de seconde. Démonstration au programme : Irrationalité de 2

Vidéo https://youtu.be/oRcTlNh1Sjc

On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que 2 est rationnel.

Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est

fausse.

Supposons donc que

2 est un rationnel.

Il s'écrit alors

2 = avec et entiers naturels premiers entre eux, non nul.

Ainsi :

= 2 soit =2

On en déduit que

est pair, ce qui entraîne que est pair.

En effet, si était impair, alors

serait impair (voir Chapitre " Notion de multiple, diviseur et nombre premier »). Puisque est pair, il existe un entier naturel tel que =2.

Comme,

=2

On a :

2

=2

Soit : 4

=2

Soit encore

=2

On en déduit que

est pair, ce qui entraîne que est pair.

Or, et sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent être pairs simultanément. On aboutit à une

absurdité. Donc,

2 n'est pas un rationnel. Et donc,

2 est un irrationnel.

" Les nombres entiers permettent de compter, les nombres réels permettent de mesurer. »

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Partie 4 : Classification des nombres

La classification des nombres :

Vidéo https://youtu.be/kL-eMNZiARM

On a également les inclusions suivantes :

Méthode : Reconnaître la nature d'un nombre

Vidéo https://youtu.be/pKxTaiqnyHg

Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ? 1) - 2)

3) 1,333 4)

36 5)

6 6)

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Correction

1) - =-0,25

Donc -

∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini. 2) ≈0,3333... Donc s'écrit uniquement sous forme d'une fraction et ne peut pas s'écrire sous forme décimale.

3) 1,333 ∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini.

4) 36=6
Donc

36∈ ℕ car 6 est un nombre entier positif.

5)

6≈2,4495...

Donc

6 ∈ℝ car c'est un nombre irrationnel.

6) -3 B 2 C 12 -3×2 12 -6 12 =-0,5 Donc ∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini.

Déterminer un arrondi d'un nombre :

Vidéo https://youtu.be/53VOST9yJfg

Méthode : Donner un encadrement d'un nombre réel

Vidéo https://youtu.be/sJIXJT3fdcU

A l'aide de la calculatrice donner un encadrement à 10 de

2 et de

3.

Correction

La calculatrice affiche des valeurs approchées :

Donner un encadrement à 10

, c'est donner un encadrement d'amplitude 0,001.

On a alors les encadrements à 10

: 1,414<

2<1,415 et 1,732<

3<1,733.

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