Le probleme logique de la definition des nombres irrationnels
de la definition des nombres irrationnels. I. Une legende rapporte ( Ique l'auteur de la theorie des incommen- surables fut englouti dans un naufrage.
NOMBRES RÉELS (Partie 1)
III. Notions de nombres réels. 1. Nombres irrationnels. Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction.
Les nombres entiers et rationnels (cours)
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel. a) Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1 .
Nombres réels
Nombres irrationnels ; exemples fournis par la géométrie par exemple 2 et. Définition de l'ensemble Q des nombres rationnels. Un nombre rationnel est un
Nombres rationnels et irrationnels
Définition d'un nombre rationnel (rappel) : Nombre irrationnel : son écriture décimale illimitée est non périodique et n'est pas constituée de 0 à ...
LES NOMBRES RÉELS
Les nombres irrationnels. Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Exemples : ?2 ?3 ou encore sont des nombres
Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux
Calcul dans
Définition. L'ensemble de nombres irrationnels est l'ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels. Par exemple ?2 ?
TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la
Soit y est un nombre irrationnel. Alors selon la définition on a que ¬((?p ? Z) ? (?q ? Z) ? (q = 0) y = p q). Supposons que le nombre xy ? Q alors.
Exercices de mathématiques - Exo7
En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Il faut revenir à la définition de la borne supérieure d'un ensemble ...
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Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel Exemples : 2 3 ? Autrement dit : Un nombre irrationnel est un nombre dont la partie
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Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction Exemples : ?2 ?3 ou encore sont des nombres
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4 déc 2021 · rationnelle pour des nombres irrationnels : par exemple dans l'Egypte antique l'approxi- mation de ? par 256/81 soit environ 316
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Nombres : entre rationnel et irrationnel réel et imaginaire Rémi Carles CNRS Univ Rennes Rémi Carles (CNRS) Nombres 1 / 25
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Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs Un nombre rationnel peut donc s'écrire sous la forme b a avec
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Elles s'accompagnent d'une généralisation qui peut mener à un nouvel outil ou objet une nouvelle définition ou propriété Elles se conçoivent dans une
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Définition Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme d'un décimal périodique ou sous forme d'une fraction I où a est un
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Définition L'ensemble de nombres irrationnels est l'ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels Par exemple ?2 ? ?
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27 jui 2016 · 2 Les nombres rationnels : Q Définition 1 : Un nombre rationnel q est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction
Comment définir un nombre irrationnel ?
Les nombres irrationnels (Q')
Les nombres irrationnels, représentés par Q? ,sont les nombres dont le développement décimal est infiniet non périodique. Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.Quels sont les nombres irrationnels exemple ?
Les nombres irrationnels les plus cél?res sont ? et e. Les premières décimales de ? sont : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582… Mais dans la pratique, on utilise le plus souvent 3,14.C'est quoi un nombre rationnel et irrationnel ?
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.- La racine carrée de deux, notée ?2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit ?2 × ?2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : ?2 ? 1,414 213 562.
9k2Zx= 2k+ 1 et9l2Zy= 2l+ 1. Donc
x+y= 2k+ 1 + 2l+ 1 = 2(k+l+ 1): On sait que la somme de deux nombres entiers est un nombres entier, donc le nombre k+l2Z. De m^eme, le nombrer=k+l+12Z, comme la somme de deux nombres entiers. Cela implique que9r2Zx+y= 2ret donc le nombrex+yest pair selon la denition. Puisqu'on a choisis n'importe quels deux nombres impairsxety, on conclut que8x8y x+yest pair. #10. Preuve.Soientxetydeux nombres rationnels. Alors selon la denition on a que (9m2Z)^(9n2Z)^(n6= 0)x=mn et (9p2Z)^(9q2Z)^(q6= 0)y=pq :Donc x+y=mn +pq =mq+pnnq On sait que le produit de deux nombres entiers est un nombre entier, donc nous avons quemq2Z;pn2Zetnq2Z. De plus, le nombrenq6= 0 car (n6= 0)^(q6= 0). On sait que la somme de deux nombres entiers est entiere, donc le nombremq+pnest entier. Denissonss=mq+pnett=nq. Alorss2Zet (t2Z)^(t6= 0). Nous avons demontre que (9s2Z)^(9t2Z)^(t6= 0)x+y=st quels que soient deux nombres rationnelsxety. Selon la denition on a quex+yest rationnel (on ecrit x+y2Q). Donc8x2Q8y2Qx+y2Q. #14. Preuve.Demontrons que le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un nombre irrationnel est irrationnel en utilisantla demonstration par l'absurde. Soitx2Q;x6= 0. Alors selon la denition on a que (9m2Z)^(m6= 0)^(9n2Z)^(n6= 0)x=mn
. Soityest un nombre irrationnel. Alors selon la denition on a que:((9p2Z)^(9q2Z)^(q6= 0)y=pq ). Supposons que le nombrexy2Q, alors (9s2Z)^(9t2Z)^(t6= 0)xy=st . Donc st =xy=mn y; 12 # 9, 10, 14, 22
carx=mn . Puisque le nombrex=mn6= 0 on peut diviser les deux termes de
l'equationmn y=st parmn . Cela implique que y=st nm =sntm Les nombresa=snetb=tmsont entiers comme les produits de deux nombres entiers. De plus, le nombreb6= 0 cart6= 0 etm6= 0. Nous avons demontre que si le nombrexy2Q, alors (9a2Z)^(9b2Z)^(b6= 0)y=ab , donc le nombrey2Q. Nous somme arrive a une contradiction car nous avons eu queyest irrationnel. Donc le nombre (8x2Q)^(x6= 0)^(8yirrationnel)xyest irrationnel. #22. Preuve.On veut demontrer que (nest pair) !(7n+4 est pair). Cette proposition est logiquement equivalente a ((nest pair)!(7n+ 4 est pair))^((nest pair) (7n+ 4 est pair)). Donc pour demontrer (nest pair) !(7n+ 4 est pair) on doit demontrer (nest pair)!(7n+ 4 est pair) et (nest pair) (7n+ 4 est pair). Demonstration de (nest pair)!(7n+ 4 est pair). Sinest pair, alors selon la denition9m2Zn= 2m. Alors 7n+ 4 = 72m+ 4 = 2(7m+ 2). Demontrons que le nombrek= 7m+ 2 est entier. En eet, le nombre 7ml'est comme le produit de deux nombres entiers et le nombre 7m+ 2 est entier comme la somme de deux nombres entiers. Donc on a montre que9k2Z7n+4 = 2k. Alors selon la denition le nombre 7n+ 4 est pair. Demonstration de (nest pair) (7n+ 4 est pair). Pour cela utilisonsla preuve indirecte, i.e. demontrons que (7n+ 4 est impair)!(nest impair). Si 7n+ 4 est impair, alors9l2Z7n+ 4 = 2l+ 1. Alors 7n= 2l+ 14 = 2(l2) + 1. Le nombrer=l2 est entier comme la dierence de deux nombres entiers. Alors9r2Z7n= 2r+ 1 et donc le nombre 7nest impair selon la denition. Pour
demontrer que le nombrenest impair utilisons la demonstration par l'absurde, i.e. supposons que le nombrenest pair. Alors9t2Zn= 2t. Cela implique que7n= 7(2t) = 2(7t). Le nombres= 7test entier comme le produit de deux entiers.
Alors on a montre que9s2Z7n= 2set donc le nombre 7nest pair selon la denition. C'est une contradiction car on a deja montre que 7nest impair. Donc le nombren est impair.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] nombres rationnels exercices 5eme
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