Le probleme logique de la definition des nombres irrationnels
de la definition des nombres irrationnels. I. Une legende rapporte ( Ique l'auteur de la theorie des incommen- surables fut englouti dans un naufrage.
NOMBRES RÉELS (Partie 1)
III. Notions de nombres réels. 1. Nombres irrationnels. Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction.
Les nombres entiers et rationnels (cours)
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel. a) Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1 .
Nombres réels
Nombres irrationnels ; exemples fournis par la géométrie par exemple 2 et. Définition de l'ensemble Q des nombres rationnels. Un nombre rationnel est un
Nombres rationnels et irrationnels
Définition d'un nombre rationnel (rappel) : Nombre irrationnel : son écriture décimale illimitée est non périodique et n'est pas constituée de 0 à ...
LES NOMBRES RÉELS
Les nombres irrationnels. Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Exemples : ?2 ?3 ou encore sont des nombres
Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux
Calcul dans
Définition. L'ensemble de nombres irrationnels est l'ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels. Par exemple ?2 ?
TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la
Soit y est un nombre irrationnel. Alors selon la définition on a que ¬((?p ? Z) ? (?q ? Z) ? (q = 0) y = p q). Supposons que le nombre xy ? Q alors.
Exercices de mathématiques - Exo7
En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Il faut revenir à la définition de la borne supérieure d'un ensemble ...
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Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel Exemples : 2 3 ? Autrement dit : Un nombre irrationnel est un nombre dont la partie
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Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction Exemples : ?2 ?3 ou encore sont des nombres
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4 déc 2021 · rationnelle pour des nombres irrationnels : par exemple dans l'Egypte antique l'approxi- mation de ? par 256/81 soit environ 316
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Nombres : entre rationnel et irrationnel réel et imaginaire Rémi Carles CNRS Univ Rennes Rémi Carles (CNRS) Nombres 1 / 25
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Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs Un nombre rationnel peut donc s'écrire sous la forme b a avec
[PDF] Lintroduction des nombres irrationnels dans lenseignement
Elles s'accompagnent d'une généralisation qui peut mener à un nouvel outil ou objet une nouvelle définition ou propriété Elles se conçoivent dans une
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Définition Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme d'un décimal périodique ou sous forme d'une fraction I où a est un
[PDF] Calcul dans
Définition L'ensemble de nombres irrationnels est l'ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels Par exemple ?2 ? ?
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27 jui 2016 · 2 Les nombres rationnels : Q Définition 1 : Un nombre rationnel q est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction
Comment définir un nombre irrationnel ?
Les nombres irrationnels (Q')
Les nombres irrationnels, représentés par Q? ,sont les nombres dont le développement décimal est infiniet non périodique. Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.Quels sont les nombres irrationnels exemple ?
Les nombres irrationnels les plus cél?res sont ? et e. Les premières décimales de ? sont : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582… Mais dans la pratique, on utilise le plus souvent 3,14.C'est quoi un nombre rationnel et irrationnel ?
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.- La racine carrée de deux, notée ?2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit ?2 × ?2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : ?2 ? 1,414 213 562.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frLES NOMBRES RÉELS
PARTIE A : NOTION DE NOMBRE RÉEL
I. Nombres décimaux, nombres rationnels
Vidéo https://youtu.be/pKxTaiqnyHg
1. Nombres décimaux
Un nombre décimal est un nombre de la forme
, avec a entier et p entier naturel. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ.Exemples :
0,56 ∈ ⅅ
3 ∈ ⅅ
∉ ⅅmais2. Nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre sous la forme d'un quotient avec a un entier et b un entier non nul.Exemples :
Démonstration :
Vidéo https://youtu.be/SHRo1ISyIXI
Démontrons que le nombre rationnel
n'est pas décimal : On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que est décimal. Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est fausse.2 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frSupposons donc que
est décimal.Alors il s'écrit sous la forme
avec a entier et p entier naturel.Donc 10
5 =3 et donc 10 5 est divisible par 3. Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or, ceci est impossible car la somme des chiffres de 10 5 est 1, et 1 n'est pas divisible par 3. Donc l'hypothèse posée au départ est fausse et donc n'est pas décimalII. Nombres réels
1. Définition
Un nombre est réel s'il est l'abscisse d'un point d'une droite graduée appelée la droite numérique. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde.Exemples :
2, 0, -5, 0.67,
3 ou appartiennent à ℝ.
2. Classification des nombres
Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble desOn a également les inclusions suivantes :
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frLa classification des nombres :
Vidéo https://youtu.be/kL-eMNZiARM
3. Les nombres irrationnels
Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel.Exemples :
2,3 ou encore sont des nombres irrationnels. Ils ne peuvent pas s'écrire
sous la forme avec a et b deux entiers relatifs, b non nul. Comme pour un nombre rationnel, il n'est pas possible d'écrire un nombre irrationnel sousforme décimale. En effet, le nombre de décimales qui le constitue est infini mais de surcroît
ces décimales se suivent sans suite logique.Démonstration : Irrationalité de
2 On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que 2 est rationnel. Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est fausse.Supposons donc que
2 est un rationnel.Il s'écrit alors
2 = avec a et b entiers naturels premiers entre eux, b non nul.Ainsi :
= 2 soit =2On en déduit que a
2 est pair, ce qui entraîne que a est pair.En effet, si a était impair, alors a
2 serait impair (voir Chapitre " Notion de multiple, diviseur et nombre premier »). Puisque a est pair, il existe un entier naturel k tel que a = 2k.Comme,
=2On a :
2
=24 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frSoit : 4
=2Soit encore
=2On en déduit que b
2 est pair, ce qui entraîne que b est pair. Or, a et b sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent être pairs simultanément. On aboutit à une absurdité. Donc,2 n'est pas un rationnel.
Et donc,
2 est un irrationnel.
Déterminer un arrondi d'un nombre :
Vidéo https://youtu.be/53VOST9yJfg
Méthode : Donner un encadrement d'un nombre réelVidéo https://youtu.be/sJIXJT3fdcU
A l'aide de la calculatrice donner un encadrement à 10 -3 de2 et de
3. La calculatrice affiche des valeurs approchées :On a alors les encadrements à 10
-3 : 1,414<2<1,415 et 1,732<
3<1,733.
PARTIE B : INTERVALLES
I. Notations
droite graduée. Cet ensemble est appelé un intervalle et se note : [2 ; 4]Exemple :
2 4 0 1
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frOn a par exemple :
4 ∈ [-2 ; 7]
-1 ∈ [-2 ; 7]8 ∉ [-2 ; 7]
Vidéo https://youtu.be/9MtAK7Xzrls
Nombres réels x Notation Représentation
[2 ; 4]2 < x < 4
]2 ; 4[ x ≥ 2 [2 ; +∞[ ∞ désigne l'infini x > -1 ]-1 ; +∞[ ]-∞ ; 3] x < 2 ]-∞ ; 2[Remarque : L'ensemble des nombres réels ℝ est un intervalle qui peut se noter ]-∞ ; +∞[.
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frII. Intervalle ouvert et intervalle fermé
Définitions :
On dit qu'un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l'intervalle.On dit qu'il est ouvert dans le cas contraire.
Exemples :
Vidéo https://youtu.be/Il_nVCMHIu8
- L'intervalle [-2 ; 5] est un intervalle fermé.On a : -2 ∈ [-2 ; 5] et 5 ∈ [-2 ; 5]
- L'intervalle ]2 ; 6[ est un intervalle ouvert.On a : 2 ∉ ]2 ; 6[ et 6 ∉ ]2 ; 6[
- L'intervalle6;+∞
est également un intervalle ouvert.III. Intersections et réunions d'intervalles
Définitions :
- L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B et se note A∩B. - La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B et se note A∪B. Méthode : Déterminer l'intersection et la réunion d'intervallesVidéo https://youtu.be/8WJG_QHQs1Y
Vidéo https://youtu.be/hzINDVy0dgg
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Dans les cas suivants, déterminer l'intersection et la réunion des intervalles I et J :1) I = [-1 ; 3] et J = ]0 ; 4[ 2) I = ] -∞ ; -1] et J = [1 ; 4]
1) Pour visualiser les ensembles solutions, on peut représenter les intervalles I et J sur un
même axe gradué. Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux ensembles. Il s'agit donc de la zone de l'axe gradué où les deux ensembles se superposent. Ainsi I ∩ J = ]0 ; 3]. Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent au moins à l'un des deux ensembles. Il s'agit donc de la zone de l'axe gradué marquée soit par l'intervalle I soit par l'intervalle J. Ainsi I ∪ J = [-1 ; 4[. 2) Ici, les ensembles I et J n'ont pas de zone en commun. L'intersection des deux intervalles est vide. Un ensemble qui ne contient aucun élément s'appelle l'ensemble vide et se note ∅.On a alors : I ∩ J = ∅
I ∪ J = ] -∞ ; -1] ∪ [1 ; 4]
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