Le probleme logique de la definition des nombres irrationnels
de la definition des nombres irrationnels. I. Une legende rapporte ( Ique l'auteur de la theorie des incommen- surables fut englouti dans un naufrage.
NOMBRES RÉELS (Partie 1)
III. Notions de nombres réels. 1. Nombres irrationnels. Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction.
Les nombres entiers et rationnels (cours)
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel. a) Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1 .
Nombres réels
Nombres irrationnels ; exemples fournis par la géométrie par exemple 2 et. Définition de l'ensemble Q des nombres rationnels. Un nombre rationnel est un
Nombres rationnels et irrationnels
Définition d'un nombre rationnel (rappel) : Nombre irrationnel : son écriture décimale illimitée est non périodique et n'est pas constituée de 0 à ...
LES NOMBRES RÉELS
Les nombres irrationnels. Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Exemples : ?2 ?3 ou encore sont des nombres
Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux
Calcul dans
Définition. L'ensemble de nombres irrationnels est l'ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels. Par exemple ?2 ?
TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la
Soit y est un nombre irrationnel. Alors selon la définition on a que ¬((?p ? Z) ? (?q ? Z) ? (q = 0) y = p q). Supposons que le nombre xy ? Q alors.
Exercices de mathématiques - Exo7
En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Il faut revenir à la définition de la borne supérieure d'un ensemble ...
[PDF] I Nombres entiers rationnels et irrationnels
Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel Exemples : 2 3 ? Autrement dit : Un nombre irrationnel est un nombre dont la partie
[PDF] NOMBRES RÉELS– Chapitre 1/2 - maths et tiques
Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction Exemples : ?2 ?3 ou encore sont des nombres
[PDF] club de mathématiques *** sur les nombres irrationnels
4 déc 2021 · rationnelle pour des nombres irrationnels : par exemple dans l'Egypte antique l'approxi- mation de ? par 256/81 soit environ 316
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Nombres : entre rationnel et irrationnel réel et imaginaire Rémi Carles CNRS Univ Rennes Rémi Carles (CNRS) Nombres 1 / 25
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Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs Un nombre rationnel peut donc s'écrire sous la forme b a avec
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Elles s'accompagnent d'une généralisation qui peut mener à un nouvel outil ou objet une nouvelle définition ou propriété Elles se conçoivent dans une
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Définition Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme d'un décimal périodique ou sous forme d'une fraction I où a est un
[PDF] Calcul dans
Définition L'ensemble de nombres irrationnels est l'ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels Par exemple ?2 ? ?
[PDF] Les ensembles de nombres - Lycée dAdultes
27 jui 2016 · 2 Les nombres rationnels : Q Définition 1 : Un nombre rationnel q est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction
Comment définir un nombre irrationnel ?
Les nombres irrationnels (Q')
Les nombres irrationnels, représentés par Q? ,sont les nombres dont le développement décimal est infiniet non périodique. Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.Quels sont les nombres irrationnels exemple ?
Les nombres irrationnels les plus cél?res sont ? et e. Les premières décimales de ? sont : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582… Mais dans la pratique, on utilise le plus souvent 3,14.C'est quoi un nombre rationnel et irrationnel ?
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.- La racine carrée de deux, notée ?2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit ?2 × ?2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : ?2 ? 1,414 213 562.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frNOMBRES RÉELS - Chapitre 1/2
Tout le cours sur les ensembles de nombres en vidéo : https://youtu.be/kL-eMNZiARMPartie 1 : Nombres entiers
Vidéo https://youtu.be/HMY31orMLjs
1. Nombres entiers naturels
Définition : Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ.0;1;2;3;4;...
Exemples :
4 ∈ ℕ (4 appartient à l'ensemble des entiers naturels)
-2 ∉ℕ (-2 n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels)2. Nombres entiers relatifs
Définition : Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... Partie 2 : Nombres décimaux, nombres rationnels1. Nombres décimaux
Définition : Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. Exemples : 0,56 ∈ ⅅ 3 ∈ ⅅ ∉ ⅅ car ≈ 0,3333... ∈ ⅅ car =0,75Remarque :
Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous la forme de la fraction d'un entier et d'une puissance de 10.Par exemple :2,36 =
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr2. Nombres rationnels
Définition : Un nombre rationnel est une fraction (*). (*) Une fraction s'écrit sous la forme d'un quotient avec a un entier et b un entier non nul.Exemples :
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/SHRo1ISyIXI
Démontrons que le nombre rationnel
n'est pas décimal. On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que est décimal.Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ
est fausse.Supposons donc que
est décimal. Alors il peut s'écrire sous la forme de la fraction d'un entier et d'une puissance de 10. Soit avec entier et entier naturel.Donc 10
=3 et donc 10 est divisible par 3. Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or, ceci est impossible car la somme des chiffres de 10 est 1, et 1 n'est pas divisible par 3. Donc l'hypothèse posée au départ est fausse et donc n'est pas décimalPartie 3 : Notion de nombres réels
1. Nombres irrationnels
Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction.Exemples :
2,3 ou encore sont des nombres irrationnels.
Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction.Remarque :
Il n'est pas possible d'écrire un nombre irrationnel sous forme décimale. Les décimales qui le
constituent sont en nombre infini et se suivent sans suite logique.3 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr2. Nombres réels
Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.Exemples :
2, -5, 0.67,
3 ou appartiennent à ℝ.
Remarques :
• Un nombre est réel s'il est l'abscisse d'un point d'une droite graduée appelée la droite
numérique. • ℝ est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons en classe de seconde. Démonstration au programme : Irrationalité de 2Vidéo https://youtu.be/oRcTlNh1Sjc
On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que 2 est rationnel.Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est
fausse.Supposons donc que
2 est un rationnel.Il s'écrit alors
2 = avec et entiers naturels premiers entre eux, non nul.Ainsi :
= 2 soit =2On en déduit que
est pair, ce qui entraîne que est pair.En effet, si était impair, alors
serait impair (voir Chapitre " Notion de multiple, diviseur et nombre premier »). Puisque est pair, il existe un entier naturel tel que =2.Comme,
=2On a :
2
=2Soit : 4
=2Soit encore
=2On en déduit que
est pair, ce qui entraîne que est pair.Or, et sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent être pairs simultanément. On aboutit à une
absurdité. Donc,2 n'est pas un rationnel. Et donc,
2 est un irrationnel.
" Les nombres entiers permettent de compter, les nombres réels permettent de mesurer. »4 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 4 : Classification des nombres
La classification des nombres :
Vidéo https://youtu.be/kL-eMNZiARM
On a également les inclusions suivantes :
Méthode : Reconnaître la nature d'un nombre
Vidéo https://youtu.be/pKxTaiqnyHg
Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chacun des nombres suivants ? 1) - 2)3) 1,333 4)
36 5)
6 6)5 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
1) - =-0,25Donc -
∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini. 2) ≈0,3333... Donc s'écrit uniquement sous forme d'une fraction et ne peut pas s'écrire sous forme décimale.3) 1,333 ∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini.
4) 36=6Donc
36∈ ℕ car 6 est un nombre entier positif.
5)6≈2,4495...
Donc6 ∈ℝ car c'est un nombre irrationnel.
6) -3 B 2 C 12 -3×2 12 -6 12 =-0,5 Donc ∈ ⅅ car le nombre de décimales après la virgule est en nombre fini.Déterminer un arrondi d'un nombre :
Vidéo https://youtu.be/53VOST9yJfg
Méthode : Donner un encadrement d'un nombre réelVidéo https://youtu.be/sJIXJT3fdcU
A l'aide de la calculatrice donner un encadrement à 10 de2 et de
3.Correction
La calculatrice affiche des valeurs approchées :Donner un encadrement à 10
, c'est donner un encadrement d'amplitude 0,001.On a alors les encadrements à 10
: 1,414<2<1,415 et 1,732<
3<1,733.
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