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DIU Bloc 1

Codage des

ottants

Laure Gonnord

Universite de Lyon

Avril-Mai 2019

Plan

Nombres a virgule

ottante

Denition generale

Representation en machine : norme IEEE-754

Conclusion

2/13 Plan

Nombres a virgule

ottante

Denition generale

Representation en machine : norme IEEE-754

Conclusion

3/13

Denition

On se concentre sur les nombres a virgule

ottante binaires a pbits de precision, que nous appelleronsnombres ottantsou ottants.

Unnombre

ottant normalisexest soit 0, soit un rationnel de la forme x= (1)s(1;x1:::xp1)22e; s2 f0;1gest lesignedu ottant considere, (1;x1:::xp1)2est samantisse fractionnaire, e2Zest sonexposant, t.q.emineemax. Rem : le 1 en t^ete garantit l'unicite de la representation, souvent appelenotation scientiqueen base 10, on ne parlera pas ici des ottantssous-normaux. 4/13

Ex :representer (0;1)10par un

ottant normalise avec8 bits de precision

On a vu (0;1)10= (0;00011)

2. On commence par ecrire :

(0;1)10= (0;00011001100|{z}

8 bits110011)

2 (0;00011001101|{z}

8 bits)

2(arrondi)

(1;1001101|{z}

8 bits)

224(decalage):

Ici, on a choisi d'

arrondir au plus proche p ournotre approximation. 5/13 Plan

Nombres a virgule

ottante

Denition generale

Representation en machine : norme IEEE-754

Conclusion

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Representation en machine : norme IEEE-754

La norme IEEE-754 a ete introduite en 1985, et a ete revisee en 2008.c=scode de l'exposant :cecode de la mantisse :cm1 bitkbitsp1 bits

Pour un

ottant normal, la valeur codee est f(c) = (1)s(c)m(c)2e(c); avec s(c) =sle signe du ottant. m(c) = (1;cm)2, ce qui signie que le1 de t ^eteest co de implicitement. e(c) depend de (ce)2, mais doit ^etre interprete avec precautions... 7/13

Dessin!

c=scode de l'exposant :cecode de la mantisse :cm1 bitkbitsp1 bits f(c) = (1)s(c)m(c)2e(c)

Commeceest un code surkbits :0 (ce)22k1.

(ce)2= 0 et (cm)2= 0indique que le nomb rerep resente est z ero

Il y a deux codages de 0 :0ou +0 selon s.

(ce)2= 2k1indique une valeur exceptionne lle(+Inf, -Inf, NaN) :

Ex :1=0 = +Inf, 0=0 = NaN,a+ Inf = Inf,

+InfInf = NaN...

1(ce)22k2indique que le nomb rerep resentee st

normal . Alors, m(c) = (1;cm)2ete(c) = (ce)2(2k11)|{z} biais: 8/13

Ex :on reprend l'exemple (0;1)10(1;1001101)224.

On travaille dans un format jouet :p= 8 etk= 4, donc format sur 12 bits. (0;1)10est positif, doncs= 0. On oublie le 1 avant la virgule pour le code de la mantisse c m= (1001101).

Reste le code de l'exposant :

e(c) = (ce)2(2k11) = (ce)27 donc (ce)2=e(c) + 7 = (11)2.

Le codage de (0;1)10obtenu est donc :

c= 0 0011 10011012; que l'on peut aussi ecrire en hexadecimal c= 1CD16: 9/13

Formats standards

La norme IEEE-754 prevoit deux formats standards, lasimple precisionet ladouble precision(typesfloatetdoubleenC) :formatmantisseexposanttaille precisionp1kbiaise mine maxsimplep= 2423812712612732 bits doublep= 53521110231022102364 bits

Valeurs extr^emes pour les

ottants normalises : formatplus petit t normalise positifplus grand ottant normalise simple2

1261;21038(1224)21283;41038double2

10222;210308(1253)210231;81030810/13

Un mot sur les erreurs d'arrondi

A chaque operation

ottante, on peut avoirune erreur d'arrondi. De plus, les entrees d'un programme ne sont pas toujours representees exactement. Souvent, l'eet des erreurs d'arrondis est negligeable sur le resultat nal d'une suite d'operations; mais leur eet peut parfois ^etre g^enant...Ex :On compile le programme C suivant sur un Intel Core 2Duo : #include int main(void) { int i; float x = 0, y = 0.1; for(i=1; i<= 100000; i++) x += y; printf("Resultat : %8.3f\n", x); return(0); }A l'execution, on obtient :

Resultat : 9998.557

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Un mot sur les erreurs d'arrondi

A chaque operation

ottante, on peut avoirune erreur d'arrondi. De plus, les entrees d'un programme ne sont pas toujours representees exactement. Souvent, l'eet des erreurs d'arrondis est negligeable sur le resultat nal d'une suite d'operations; mais leur eet peut parfois ^etre g^enant...Ex :On compile le programme C suivant sur un Intel Core 2Duo : #include int main(void) { int i; float x = 0, y = 0.1; for(i=1; i<= 100000; i++) x += y; printf("Resultat : %8.3f\n", x); return(0); }A l'execution, on obtient :

Resultat : 9998.557

11/13 Plan

Nombres a virgule

ottante

Denition generale

Representation en machine : norme IEEE-754

Conclusion

12/13 Il existe de nombreuses techniques de codage, chacune adaptee au codage d'un type d'information bien particulier.

Nous avons vu des codages pour :

lesentiers naturels: representation positionnelle; lesentiers relatifs: technique du complement a 2; lesnombres rationnels: representation positionnelle periodique; lesnombres a virgule ottante: norme IEEE-754.

Nous n'avons pas vu :

lescaracteres et le texte: ASCII, Unicode (c'est au programme!); des codages permettant ladetection et la correction d'erreurs(BLOC 2); des codages pour lacompressionde donnees. (BLOC 2) 13/13quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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