Chapitre 1 : Principe de raisonnement par récurrence
Chapitre 1. Le principe du raisonnement par récurrence. I. Exemple introductif. On considère les suites de terme général : un = 0 + 1 + + (n – 1) + n =.
Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
3) Bien sûr dans un raisonnement par récurrence
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Le chapitre en un clin d'œil. ? Les exercices. 1. Assimiler le cours arto s d'u exemple : 80 1 0 7 0 81 1 Principe du raisonnement par r currence.
Chapitre 1 - Raisonnement par récurrence
Par le principe du raisonnement par récurrence Hn est vraie pour tout entier n ? N. 1.3.2 Avec une suite. Exercice : On définit la suite suivante pour tout
TERMINALE S Chapitre 1 : Raisonnement par récurrence
1/2. 1. Principe. Le raisonnement par récurrence permet de démontrer si une proposition Pn qui dépend de n est vraie ou fausse. Principe du raisonnement par
Le raisonnement par récurrence
Théorème 1 : Principe de récurrence. Soit P (n) une propriété définie sur N. Si les conditions suivantes sont véfiriées : 1. Initialisation. P (0) est vraie;. 2
Chapitre 1. Le raisonnement par récurrence
Chapitre 1. Le raisonnement u0 = 1 et pour tout entier naturel n un+1 = 2un + 1. ... On énonce maintenant le principe du raisonnement par récurrence.
Chapitre 1 : Suites et raisonnement par récurrence TS A. Rappels B
Chapitre 1 : Suites et raisonnement par récurrence. TS. A. Rappels. 1. Suite. Soit n0 un entier naturel. Une suite définie pour n n0
Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
Chapitre 1. Raisonnement par récurrence. 1. Comment effectuer et rédiger Coach : Ce type de raisonnement a été inventé par le génialissime Blaise Pascal.
Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
en classe de première dans le chapitre des suites1 en particulier les suites arithmétiques et géométriques. Principe du raisonnement par récurrence.
Chapitre 1
Raisonnement par r´ecurrence
1.1 Cours en bref
Le raisonnement par r´ecurrence est une m´ethode de r´esolution. Elle per- met de d´emontrer une propri´et´e pour tout ou presque tout entier naturel. La question de son utilisation se pose donc naturellement lorsqu"il est demand´e de d´emontrer qu"une certaine propri´et´e est vraie quel que soitnentier naturel. Cependant, il ne faut pas croire que d`esquecetypedequestionestpos´e, il s"agira alors d"une r´ecurrence. Il existe quelques signes qui permettent de nous mettre sur la voie. Mais avant cela voyons en quoi consiste le raisonnement par r´ecurrence. L"id´ee est en fait assez simple. Elle repose sur 2 ´etapes : (1) d´emontrer que la propri´et´e est vraie pour un certain rangn0 (qui estsouvent0ou1) et (2) d´emontrer quesila propri´et´e est vraie pour un rangn≥n0 quelconquealorselle l"est pour le rangn+1 (c"est-`a-dire le rang juste apr`es). Une fois ces 2 ´etapes franchies on peut affirmer que la propri´et´eest vraie pour tous les rangs sup´erieurs `an0 . En effet, (1) nous dit que la propri´et´e est vraie pour le rangn 0 , (2) nous permet alors de dire qu"elle l"est pour le rangn 0 +1,onr´eutilise (2) pour obtenir le rangn0 +2etainside suite, on obtient tous les rang sup´erieurs. Ce qui permet de montrer l"h´er´edit´e est l"utilisation du lien entre le rangnet le rangn+ 1, on y reviendra dans les exemples donn´es car c"est l"id´ee centrale. L"´etape (1) est appel´eeinitialisationet l"´etape (2)h´er´edit´e.9782340-020054_001_192.indd 79782340-020054_001_192.indd 710/07/2017 15:4410/07/2017 15:44
8 CHAPITRE 1. RAISONNEMENT PAR R´ECURRENCE
1.2 Premier exemple
La r´eussite d"un raisonnement par r´ecurrence passe par la r´edaction. Une r´ecurrence mal r´edig´ee donne une tr`es mauvaise impression au correcteur. Il faut donc respecter scrupuleusement le mod`ele donn´e.Exemple :
On consid`ere la suite d´efinie pour tout entiern?Npar :? ?u 0 =1 u n+1 =5u n -2D´emontrer que pour tout entiern?Nu
n =1 2(5 n +1).Solution :
Pour tout entiern?N,onposeH
n :u n =1 2(5 n +1). (1)Initialisation :Montrons queH 0 :u 0 =1 2(5 0 +1)estvraie.D"une part,u
0 =1pard´efinition, et d"autre part,1 2(5 0 +1)=12(1 + 1) = 1.
On a donc bienu
0 =1 2(5 0 + 1), doncH 0 est vraie. (2)H´er´edit´e: Supposons queH n est vraie pour un certain rang n≥0 (c"est ce que l"on appelle l"hypoth`ese de r´ecurrence). Montrons alors que H n+1 :u n+1 =1 2(5 n+1 +1)estvraie. u n+1 =5u n -2 =5×1 2(5 n +1)-2par d´efinition =5 n+12+52-2
par hypoth`eseder´ecurrence =5 n+1 2+12 1 2(5 n+1 +1)en factorisant par 1 2AinsiH
n+1 est vraie. Par le principe du raisonnement par r´ecurrence,H n est vraie pour tout entiern?N.D´etaillons un peu...
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1.3. D"AUTRES EXEMPLES CLASSIQUES 9
On peut l´egitimement se diriger vers un raisonnement par r´ecurrence dans ce type dexercice puisquil porte sur une suite d´enie par r´ecurrence. On dit souvent que la r´ecurrence appelle la r´ecurrence...Il faut toujours ´ecrireH
n 0 dans l"initialisation etH n+1 dans l"h´er´edit´e. Cela permet de voir ce que l"on doit d´emontrer. Dans un cas comme dans l"autre il s"agit d"une ´egalit´e`ad´emontrer. On utilise pourtant 2 m´ethodes diff´erentes. Dans l"initialisation on calcule chacun des 2 membress´epar´ement pour trouver le meme r´esultat, ils sont donc ´egaux. Dans l"h´er´edit´e, on part deu n+1 que l"on manipule pour obtenir le r´esultat voulu. La justification "par hypoth`ese de r´ecurrence" doittoujoursapparaitre, sinon il y a 3 possibilit´es :c"est un oubli,
il y a une erreur dans le raisonnement,
le raisonnement par r´ecurrence n"´etait pas n´ecessaire. Il faut bien comprendre que la partie difficile est souvent la partie h´er´edit´e. Ce qui permet de montrer l"h´er´edit´e est le lien entre le rangnet le rangn+1 ainsi qu"une bonne utilisation de l"hypoth`ese de r´ecurrence. La premi`ere chose `arep´erer ´etant ce lien, et ici il apparait clairement dans la d´efinition de la suite.1.3 D"autres exemples classiques
1.3.1 Avec une somme
Exercice :
D´emontrer que pour tout entiern?N:
n k=0 k=n(n+1) 2 Cest un exercice classique faisant intervenir le symbole somme. La m´ethode pour trouver le lien entre le rangnet le rangn+ 1 est assez simple puisqu"il va suffire de couper la somme en 2.9782340-020054_001_192.indd 99782340-020054_001_192.indd 910/07/2017 15:4410/07/2017 15:44
10 CHAPITRE 1. RAISONNEMENT PAR R´ECURRENCE
Correction :
Pour tout entiern?N,onposeH
n n k=0 k=n(n+1) 2. (1)Initialisation :Montrons queH 0 0 k=0 k=0(0 + 1)2est vraie.
Dune part,
0 k=0 k=0.D"autre part,
0(0 + 1)
2=0. Donc 0 k=0 k=0(0 + 1) 2etH 0 est vraie. (2)H´er´edit´e:Supposons queH n est vraie pour un certain rangn≥0.Montrons alors queH
n+1 n+1 k=0 k=(n+1)(n+2)2est vraie.
n+1 k=0 k= n k=0 k+(n+1)on d´ecoupe notre somme en deux =n(n+1)2+(n+1)
par hypoth`ese de r´ecurrence =n(n+1)2+2(n+1)2
mise au meme d´enominateur =(n+1)(n+2) 2 en factorisant par (n+1) 2AinsiH
n+1 est vraie. Par le principe du raisonnement par r´ecurrence,H n est vraie pour tout entiern?N.1.3.2 Avec une suite
Exercice :
On d´efinit la suite suivante pour tout entiern?N:? ?u 0 =0 u n+1 =1 2u n +2, ainsi que la fonctionf(x)=12x+2surR.
1. D´eterminer les variations de la fonctionfsurR.
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1.3. D"AUTRES EXEMPLES CLASSIQUES 11
2. D´emontrer que la suite (u
n ) est croissante.Correction :
Dans un premier temps, on remarque que la fonctionfn"est pas l`apar hasard. En effetf(u n )=1 2u n +2=u n+1 . C"est donc cette fonction qui est le lien entre le rangnet le rangn+ 1, elle nous aidera donc `a passer l"h´er´edit´e.1. En premi`ere, une m´ethode efficace pour d´eterminer les variations d"une
fonction est le calcul de la fonction d´eriv´ee, puis l"´etude de son signe. Ici on peut faire encore plus rapide, puisque la fonctionfest une fonction affine dont le coefficient directeur12est positif. Rappelons que les fonc-
tions aαnes sont repr´esent´ees graphiquement par une droite et que cette fonction aαne sera donc croissante surR. fest donc croissante surR.2. La m´ethode qu"il ne faut jamais oublier lorsque l"on pose cette question,
repose directement sur la d´efinition; c"est montrer queu n+1 ≥u n pour tout entiern?Nce qui revient parfois `amontrerqueu n+1 -u n ≥0. C"est la seule qui ne n´ecessite aucune condition particuli`ere, et toujours la premi`ere `av´erifier. La r´ecurrence appelant la r´ecurrence....Pour tout entiern?N,onpose:H
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