[PDF] Chapitre 1 : Suites et raisonnement par récurrence TS A. Rappels B

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Chapitre 1 : Suites et raisonnement par récurrence TS

A. Rappels

1.Suite

Soit n0un entier naturel. Une suite, définie pour nn0, est une fonction qui à tout entier

naturel n associe un nombre réel un. n est l'indice ou le rang du terme un. La suite est notée un ou unnn0 .

2.Modes de générations

Une suite peut être définie par :

➢une formule explicite : un=fn. ➢le terme initial et une relation de récurrence qui relie tout terme un en fonction du (ou des) terme(s) précédents : {u0=a un1=funpourtoutentiernatureln .

3.Suites arithmétiques et suites géométriques

Suite arithmétique de raison rSuite géométrique de raison q

Relation de

récurrence un=upn-pr un=u0×qn=u1×qn-1=... un=up×qn-p

Somme de N

termes consécutifsS = N×[moyenne des termes extrêmes]S = [premierterme]×1-qN

1-q (q≠1)

B. Raisonnement par récurrence

1. Principe  feuille annexe 1.

2. Exemple : La suite un est définie par u0=0 et, si

n0, un1=un6. Montrer que, pour tout n0, un3.

C. Comportement global d'une suite

1. Suites monotones

DÉFINITION  Soit

un une suite de nombres réels. On dit que : •La suite un est croissante lorsque, pour tout entier n, unun1. •La suite un est décroissante lorsque, pour tout entier n, unun1. •La suite un est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante. étude de la monotonie d'une suite : 3 techniques : Si

un=fn où f est une fonction définie Je compare directement un et un1 :

sur [0;∞[ : j'étudie les variations de f sur ou  soit en étudiant le signe de un1-un

[0;∞[ et le sens de variation de un s'en déduit.  soit en comparant

un1 un à 1 si

un02010©My Maths Space Page 1/4

Chapitre 1 : Suites et raisonnement par récurrence TS ou J'utilise le raisonnement par récurrence

Exemples : étudier la monotonie des suites un à l'aide de la technique indiquée.

Avec la différence un1-un : un=n2-5n

Avec le quotient

un1 un : un=n 3n

Avec la fonction f :

un=n2-1 n21Avec le raisonnement par récurrence : reprendre exemple B.2

2. Suites majorées, minorées, bornées

DÉFINITION  Soit un une suite de nombres réels. On dit que : •La suite un est majorée s'il existe un réel M tel que, pour tout entier n, unM. •La suite un est minorée s'il existe un réel m tel que, pour tout entier n, mun. •La suite un est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. techniques : Si

un=fn : f majorée sur [0;∞[ ou Si un1=fun : on peut raisonner par

implique que la suite un l'est aussi. récurrence.

Exemple B.2 : la suite

un est majorée par 3.

D. Comportement asymptotique

1. Suites convergentes

DÉFINITION  Soit

un une suite numérique et l un nombre réel. On dit que la suite un admet pour limite l si ... extérieur de I : seulement un nombre fini de termes l

Dans I, tous les termes

à partir du rang n0

2010©My Maths Space Page 2/4Intervalle ouvert I

Chapitre 1 : Suites et raisonnement par récurrence TS Notation : un admet l pour limite se note limn∞un=l Vocabulaire : Lorsqu'une suite admet une limite l, on dit qu'elle est convergente. Dans le cas contraire, elle est divergente. Propriété de la limite : Si une suite est convergente, sa limite est unique. l1 l2

2. Suites divergentes

 Suites ayant pour limite ∞ ou -∞

DÉFINITION  On dit qu'une suite

un admet pour limite ∞ si tout intervalle du type

[A;∞[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note limn∞un=∞.

Exercice : Écrire la définition pour limn∞un=-∞

Exemples : Les suites de termes généraux

n, n, n2, n3, ... admettent ∞ comme limite.

Les suites de termes généraux -

n, -n, -n2, -n3, ... admettent -∞ comme limite.

Suites n'ayant pas de limite

La suite de terme général -1n n'admet pas de limite ; idem pour un=cosn.

3. Opérations sur les limites

un et vn deux suites telles que limn∞ un=a et limn∞un=b où a et b désignent des réels ou l'un des symboles ∞ ou -∞.

2010©My Maths Space Page 3/4

Chapitre 1 : Suites et raisonnement par récurrence TS Exemples : Déterminer les limites éventuelles des suites de termes généraux : un=n2n ; vn=n3-n ; wn=1 n2-5

4. Théorèmes de comparaison

3 théorèmes vus en classe de première et très utiles

Si unvnwn une t wn ont la même limite lvn converge et limn∞vn=l

à partir d'un

certain rang

Exercice : Étudier la limite de la suite un à l'aide d'un théorème de comparaison.

un=cosn-n ; un=-1n n

5. Comportement de un=qn suivant les valeurs de q réel

THÉOREME  suivant les valeurs de q

•Si q1, alors limn∞ qn=∞. •Si q=1, alors la suite qn est constante et a pour limite 1. •Si -1q1, alors limn∞ qn=0. •Si q-1, alors la suite qn est divergente et n'a pas de limite. Plan leçon d'après "Collection Terracher Terminale S"

2010©My Maths Space Page 4/4

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