[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

I. Module et argument d'un nombre complexe. 1) Module. Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z le nombre réel positif

LEÇON N? 17 : Module et argument dun nombre complexe

Théorème 1 : L'ensemble des nombres complexes de module 1 est un groupe Proposition 3 (Formule de Moivre) : Pour tous n ? N et ? ? R on a.

Module et conjugué dun nombre complexe 1 z Forme

TS - Fiche de cours : Nombres complexes. 2 / 4. Module et conjugué d'un nombre complexe. On appelle module du nombre complexe z = a + bi a ? IR

Nombres complexes

19 sept. 2012 Le module d'un nombre complexe z = a + ib noté

Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications

Forme exponentielle. 11. Retrouver le module et l'argument. 12. Produits et quotients. 13. Retrouver les formules de trigonométrie.

NOMBRES COMPLEXES - Chamilo

FORMULES D'EULER - FORMULE DE MOIVRE Généralisation aux nombres complexes de module quelconque ... Formule du binôme – triangle de Pascal.

Chapitre 1 - Trigonométrie et nombres complexes

2 sept. 2015 Nombres complexes . ... La formule fondamentale à retenir est la suivante : ... des nombres complexes de module 1 est le cercle trigono-.

sera lu impérativement module de z. facile à retenir

Conjugué dun nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON

Dans ce qui suit les nombres a et b du complexe z a .b Le seul nombre complexe ayant un module nul est celui de 0 ... Cette formule est à retenir.

I Module et Argument dun nombre complexe

Donner la forme exponentielle des nombres suivants : 1 ; ?1; i; ?i;. 1. 2. + i. ?3. 2; 1+i; (1 ? i)8. II.2 FORMULES de MOIVRE et D'EULER. Théorème 3

[PDF] NOMBRES COMPLEXES

Soit le nombre complexe z de forme algébrique a + ib et soit M le point d'affixe z On appelle module de z le nombre réel positif r = OM = a2 + b2 On note r =

[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) - maths et tiques

On appelle module de z le nombre réel positif noté z égal à a2 + b2 M est un point d'affixe z Alors le module de z est égal à la distance OM

[PDF] I Module et Argument dun nombre complexe - My MATHS SPACE

Tout nombre complexe z non nul de module r et d'argument ? s'écrit z = rei? : cette écriture est appelée forme exponentielle de z et réciproquement de la même

[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques

Le module de z = a + i b est le réel positif z = a2 + b2 Comme z × ¯z = (a + i b)(a ? i b) = a2 + b2 alors le module vaut aussi z

[PDF] NOMBRES COMPLEXES

Le module ? du nombre complexe z = a+ bi est donné par : ? = a2 + b2 Pour trouver l'argument ? on passe par sa tangente (expliquer) : tan? = b a

[PDF] Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama

Le module est une extension aux nombres complexes de la notion de valeur absolue ? À SAVOIR Cette nouvelle notation conduit aux formules ci-dessous

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La formule de Moivre est vraie aussi pour entier relatif 2 Notation exponentielle d'un nombre complexe Exemple d'utilisation : Calcul du module et

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o`u ? est le module de a et ? son argument Soit M le point d'affixe z et ? d'affixe z0 nous déduisons de notre formule que le point M/ d'

[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1

Quotient du nombre complexe de modulo 2 et d'argument 3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument ? 5 6 Allez à : Correction exercice 5 :

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L'ensemble U des nombres complexes de module 1 muni du produit défini sur Les formules d'Euler permettent de le transformer en un polynôme des

Comment calculer le module d'un complexe ?
Définition : Module d'un nombre complexe
Le module d'un nombre complexe �� = �� + �� est défini par �� = ? �� + �� . ? ? . Si �� est un nombre réel, son module est simplement sa valeur absolue.
Comment calculer le module de z ?
Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a2 + b2 . M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM.
Comment calculer le module d'un produit ?
Le module d'un produit est égal au produit des modules : z?z?=z?z?.
Afin de calculer le module ?z? et un argument \\theta d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib. On applique ensuite les formules du cours.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct

O; u; v . I. Module et argument d'un nombre complexe 1) Module Définition : Soit un nombre complexe z=a+ib . On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a 2 +b 2

. M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM. Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes. a)

z 2 =zz b) z=z c) -z=z

Démonstrations : a)

zz=a+ib a-ib =a 2 -ib 2 =a 2 -i 2 b 2 =a 2 +b 2 =z 2 b) z=a 2 +-b 2 =a 2 +b 2 =z c) -z=-a 2 +-b 2 =a 2 +b 2 =z

Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4 Calculer : a) 3-2i

b) -3i c) 2-i YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2a) 3-2i=3 2 +(-2) 2 =13 b) -3i=-3×i=3×1=3 c) 2-i=2-i=2 2 +-1 2 =2+1=3

2) Argument Définition : Soit un point M d'affixe z non nulle. On appelle argument de z, noté arg(z) une mesure, en radians, de l'angle

u;OM . Remarques : - Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme arg(z)+2kπ k∈! . On notera arg(z) modulo 2π ou arg(z)2π - 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle u ;OM n'est pas défini. Exemple : Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4 Soit z=3+3i . Alors z=3+3i=3 2 +3 2 =18=32 Et arg(z)= 4 2π . Propriétés : Soit z un nombre complexe non nul. a) z est un nombre réel ⇔arg(z)=0π , b) z est un imaginaire pur ⇔arg(z)= 2 . c) arg(z)=-arg(z) d) arg(-z)=arg(z)+π

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3Démonstrations : a) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des réels. b) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des imaginaires. c) d) Ses résultats se déduisent par symétrie. II. Forme trigonométrique d'un nombre complexe 1) Définition Propriété : Soit

z=a+ib un nombre complexe non nul. On pose :

θ=arg(z)

On a alors :

a=zcosθ et b=zsinθ . Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe z non nul l'écriture z=zcosθ+isinθ avec

θ=arg(z)

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 Méthode : Ecrire un nombre complexe sous sa forme trigonométrique Vidéo https://youtu.be/zIbpXlgISc4 Ecrire le nombre complexe

z=3+i sous sa forme trigonométrique. - On commence par calculer le module de z : z=3+1=2 - En calculant z z , on peut identifier plus facilement la partie réelle de z et sa partie imaginaire : z z 3 2 1 2 i

On cherche donc un argument θ

de z tel que : cosθ= 3 2 et sinθ= 1 2 . Comme cos 6 3 2 et sin 6 1 2 , on a : z z =cos 6 +isin 6

Donc :

z=2cos 6 +isin 6 avec arg(z)= 6 2π

. Avec une calculatrice ou un logiciel, il est possible de vérifier les résultats obtenus : 2) Propriétés Inégalité triangulaire : Soit z et z ' deux nombres complexes.

Démonstration : Il s'agit d'une traduction de l'inégalité sur les distances.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes non nuls et n entier naturel non nul. Produit

zz'=zz' arg(zz')=arg(z)+arg(z')

Puissance

z n =z n arg(z n )=narg(z)

Inverse

1 z 1 z arg 1 z =-arg(z)

Quotient

z z' z z' arg z z' =arg(z)-arg(z')

Démonstration pour le produit : On pose

θ=arg(z)

θ'=arg(z')

zz'=zcosθ+isinθ z'cosθ'+isinθ' =zz'cosθcosθ'-sinθsinθ' +isinθcosθ'+cosθsinθ' =zz'cosθ+θ' +isinθ+θ'

Donc le module de

zz' est zz' et un argument de zz' est

θ+θ'=arg(z)+arg(z')

. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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Comment calculer le module d'un complexe ?

Comment calculer le module de z ?

Comment calculer le module d'un produit ?

Démonstrations : a)

2) Argument Définition : Soit un point M d'affixe z non nulle. On appelle argument de z, noté arg(z) une mesure, en radians, de l'angle

θ=arg(z)

On a alors :

θ=arg(z)

On cherche donc un argument θ

Donc :

Puissance

Inverse

Quotient

Démonstration pour le produit : On pose

θ=arg(z)

θ'=arg(z')

Donc le module de

θ+θ'=arg(z)+arg(z')