Chapitre 1 - Trigonométrie et nombres complexes PDF

NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

I. Module et argument d'un nombre complexe. 1) Module. Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z le nombre réel positif

LEÇON N? 17 : Module et argument dun nombre complexe

Théorème 1 : L'ensemble des nombres complexes de module 1 est un groupe Proposition 3 (Formule de Moivre) : Pour tous n ? N et ? ? R on a.

Module et conjugué dun nombre complexe 1 z Forme

TS - Fiche de cours : Nombres complexes. 2 / 4. Module et conjugué d'un nombre complexe. On appelle module du nombre complexe z = a + bi a ? IR

Nombres complexes

19 sept. 2012 Le module d'un nombre complexe z = a + ib noté

Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications

Forme exponentielle. 11. Retrouver le module et l'argument. 12. Produits et quotients. 13. Retrouver les formules de trigonométrie.

NOMBRES COMPLEXES - Chamilo

FORMULES D'EULER - FORMULE DE MOIVRE Généralisation aux nombres complexes de module quelconque ... Formule du binôme – triangle de Pascal.

Chapitre 1 - Trigonométrie et nombres complexes

2 sept. 2015 Nombres complexes . ... La formule fondamentale à retenir est la suivante : ... des nombres complexes de module 1 est le cercle trigono-.

sera lu impérativement module de z. facile à retenir

Conjugué dun nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON

Dans ce qui suit les nombres a et b du complexe z a .b Le seul nombre complexe ayant un module nul est celui de 0 ... Cette formule est à retenir.

I Module et Argument dun nombre complexe

Donner la forme exponentielle des nombres suivants : 1 ; ?1; i; ?i;. 1. 2. + i. ?3. 2; 1+i; (1 ? i)8. II.2 FORMULES de MOIVRE et D'EULER. Théorème 3

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Soit le nombre complexe z de forme algébrique a + ib et soit M le point d'affixe z On appelle module de z le nombre réel positif r = OM = a2 + b2 On note r =

[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) - maths et tiques

On appelle module de z le nombre réel positif noté z égal à a2 + b2 M est un point d'affixe z Alors le module de z est égal à la distance OM

[PDF] I Module et Argument dun nombre complexe - My MATHS SPACE

Tout nombre complexe z non nul de module r et d'argument ? s'écrit z = rei? : cette écriture est appelée forme exponentielle de z et réciproquement de la même

[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques

Le module de z = a + i b est le réel positif z = a2 + b2 Comme z × ¯z = (a + i b)(a ? i b) = a2 + b2 alors le module vaut aussi z

[PDF] NOMBRES COMPLEXES

Le module ? du nombre complexe z = a+ bi est donné par : ? = a2 + b2 Pour trouver l'argument ? on passe par sa tangente (expliquer) : tan? = b a

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Le module est une extension aux nombres complexes de la notion de valeur absolue ? À SAVOIR Cette nouvelle notation conduit aux formules ci-dessous

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La formule de Moivre est vraie aussi pour entier relatif 2 Notation exponentielle d'un nombre complexe Exemple d'utilisation : Calcul du module et

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o`u ? est le module de a et ? son argument Soit M le point d'affixe z et ? d'affixe z0 nous déduisons de notre formule que le point M/ d'

[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1

Quotient du nombre complexe de modulo 2 et d'argument 3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument ? 5 6 Allez à : Correction exercice 5 :

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L'ensemble U des nombres complexes de module 1 muni du produit défini sur Les formules d'Euler permettent de le transformer en un polynôme des

Comment calculer le module d'un complexe ?
Définition : Module d'un nombre complexe
Le module d'un nombre complexe �� = �� + �� est défini par �� = ? �� + �� . ? ? . Si �� est un nombre réel, son module est simplement sa valeur absolue.
Comment calculer le module de z ?
Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a2 + b2 . M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM.
Comment calculer le module d'un produit ?
Le module d'un produit est égal au produit des modules : z?z?=z?z?.
Afin de calculer le module ?z? et un argument \\theta d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib. On applique ensuite les formules du cours.

cos(θ) =OP=QM sin(θ) =OQ=PM tan(θ) =IR=IR OI =PM OP cos(θ)2+sin(θ)2=1.

1+tan(θ)2=1cos(θ)2,

?π4 ?π3 2 ?2π3 6π 4π 3π

22π3π

cos(θ)1⎷3

2⎷2

21
20-

12-1sin(θ)01

2⎷2

2⎷3

21⎷3

20 tan(θ)0⎷3

31⎷3--

⎷30

π+θ?π-θ?π2

+θ??π2 π2 -θπ2

θ-π2

-θ-π2 cos(a+b) =cos(a)cos(b) -sin(a)sin(b), x 2-

π2-ππ1

cos(a-b) =cos(a)cos(b) -sin(a)sin(b). sin(a)sin(b) =12 (cos(a-b) -cos(a+b)). ?π2 +kπ;π2 + (k+1)π? ,k?Z.

Formulaire de Trigonométrie

Angles remarquables :

0π 6 4 3 2 sin01 2 ⎷2 2 ⎷3 21
cos1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tan0 ⎷3

31⎷3

sin(α) cos(α)α

2-απ2+α

2-π2-α

Angles associés :

cos(-α) =cos(α)sin(-α) =-sin(α)tan(-α) =-tan(α)

Formules fondamentales :

cos2(x) + sin2(x)=11 + tan2(x)=1cos2(x)

Équations trigonométriques de base :

sin(x) = sin(a)?????x=a[2π] ou x=π-a[2π]cos(x) = cos(a)?????x=a[2π] ou x=-a[2π] tan(x) = tan(a)??x=a[π]

Formules d"addition :

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a+b) =sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)sin(a-b) =sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a) + tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1 + tan(a)tan(b)

Formules de duplication :

cos(2a)=cos2(a)-sin2(a) =2cos2(a)-1 =1-2sin2(a) sin(2a) =2sin(a)cos(a) tan(2a)=2tan(a)1-tan2(a)

Formules de multiplication :

cos(a)cos(b)=12(cos(a+b) + cos(a-b)) cos(a)sin(b)=12(sin(a+b)-sin(a-b) sin(a)sin(b) =12(cos(a-b)-cos(a+b)) cos2(a) =12(1 + cos(2a)) sin2(a) =12(1-cos(2a))

Formules de la tangente du demi-

angle :(on poset= tan(x 2)) cos(x)=1-t21 +t2 sin(x) =2t1 +t2 tan(x)=2t1-t2

Formules de Simpson :

sin(p) + sin(q) =2sin?p+q2?cos?p-q2? sin(p)-sin(q) =2cos?p+q2?sin?p-q2? cos(p) + cos(q)=2cos?p+q2?cos?p-q2? cos(p)-cos(q)=-2sin?p+q2?sin?p-q2? 1 x 2-

π2-ππ-

3π23π2

x i 2= -1 z=a+ib,????a,b?R. (a+ib) + (a?+ib?) = (a+a?) +i(b+b?), (a+ib)?(a?+ib?) = (aa?-bb?) +i(ab?+a?b), xy OM ?a b?ab

R? ?? ? ?

????a=a? b=b?. z:=a-ib. z+¯z=2Re(z), z-¯z=2iIm(z). |z|=⎷z

¯z.

¯z=a2+b2,

|z|=OM. 1z =1z z¯ z=¯zz

¯z=¯z|z|2.

1z :=¯z|z|2, z=0?|z|=0 |z+z?|?|z|+|z?| |zz?|=|z| |z?|????1z ???=1|z|???zz ????=|z||z?| zn|=|z|n z=|z|(cos(θ) +isin(θ)). cos(θ) =a⎷a

2+b2sin(θ) =b⎷a

2+b2. xy OM ?a ??M??? ?? ????? ??????z? arg(zz?) =arg(z) +arg(z?) [2π] arg?zz =arg(z) -arg(z?) [2π] z=r(cos(θ) +isin(θ)). cos(θ) +isin(θ) =?iθ. z=r(cos(θ) +isin(θ)). ?r?iθ?? r ??iθ?? = (rr?)?i(θ+θ?), r?iθr ??iθ?=rr ??i(θ-θ?), iθ???? ?? ??????1????? ??? ?? ?????? 1z =1r ?-iθ. cos(θ) =?iθ+?-iθ2 z

2=a+ib,??(-z)2=a+ib.

x,y?????? ???? ??? (x+iy)2=a+ib.????? (x2-y2) +2ixy=a+ib. ????x |z|2=?a 2+b2. ?????|z|=?x

2+y2? ?? ???? ???? ???

2+y2=?a

2+b2.

2x2=a+?a

2+b2. x=±?a+⎷a 2+b22 ?? x?=0? ?? ???? ????? ?????? y=b2x=±b2 ?2 a+⎷a 2+b2.

2+b2???????

2=⎷a

2=|a|,

?? ???? ???y=±?|a|? az

2+bz+c=0.

2+bz+c=a(z-z0)(z-z1),

2+bz+c=a(z-z0)2.

z- (1+i))2- (1+i)2+2=0. ???(1+i)2=2i? ???? ?? ???????z?C??? ??? z- (1+i))2= -2-2i.

Z=X+iY? ?? ???? ???????

X=?-1+⎷2,??Y=-1?-1+⎷2

z= (1+i)±? ?-1+⎷2-i?-1+⎷2 z n=1. ?? ???????r,θ? ????r >0???? ??? ?r?iθ?n=1. ???? ??????? ? ???????r??θ???? ???rn?inθ=1? ?? ??????? ?? ?????? ???? ????? inθ=1. cos(nθ) +isin(nθ) =1. ????cos(nθ) =1 sin(nθ) =0 ?? ???? ???? ???nθ=0[2π]? ?? ???? ???

θ=0?2πn

θ=2kπn

????k=0,1,···(n-1)? Oquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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[PDF] Chapitre 1 - Trigonométrie et nombres complexes

Comment calculer le module d'un complexe ?

Comment calculer le module de z ?

Comment calculer le module d'un produit ?

1+tan(θ)2=1cos(θ)2,

22π3π

2⎷2

12-1sin(θ)01

2⎷2

2⎷3

21⎷3

31⎷3--

π+θ?π-θ?π2

θ-π2

π2-ππ1

π2-ππ1

Formulaire de Trigonométrie

Angles remarquables :

31⎷3

2-απ2+α

2-π2-α

Angles associés :

Formules fondamentales :

Équations trigonométriques de base :

Formules d"addition :

Formules de duplication :

Formules de multiplication :

Formules de la tangente du demi-

Formules de Simpson :

π2-ππ-

3π23π2

R? ?? ? ?

¯z.

¯z=a2+b2,

¯z=¯z|z|2.

2+b2sin(θ) =b⎷a

2=a+ib,??(-z)2=a+ib.

2+y2? ?? ???? ???? ???

2+y2=?a

2x2=a+?a

2+b2???????

2=⎷a

2=|a|,

2+bz+c=0.

2+bz+c=a(z-z0)(z-z1),

2+bz+c=a(z-z0)2.

Z=X+iY? ?? ???? ???????

X=?-1+⎷2,??Y=-1?-1+⎷2

θ=0?2πn

θ=2kπn