NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)
I. Module et argument d'un nombre complexe. 1) Module. Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z le nombre réel positif
LEÇON N? 17 : Module et argument dun nombre complexe
Théorème 1 : L'ensemble des nombres complexes de module 1 est un groupe Proposition 3 (Formule de Moivre) : Pour tous n ? N et ? ? R on a.
Module et conjugué dun nombre complexe 1 z Forme
TS - Fiche de cours : Nombres complexes. 2 / 4. Module et conjugué d'un nombre complexe. On appelle module du nombre complexe z = a + bi a ? IR
Nombres complexes
19 sept. 2012 Le module d'un nombre complexe z = a + ib noté
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
Forme exponentielle. 11. Retrouver le module et l'argument. 12. Produits et quotients. 13. Retrouver les formules de trigonométrie.
NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
FORMULES D'EULER - FORMULE DE MOIVRE Généralisation aux nombres complexes de module quelconque ... Formule du binôme – triangle de Pascal.
Chapitre 1 - Trigonométrie et nombres complexes
2 sept. 2015 Nombres complexes . ... La formule fondamentale à retenir est la suivante : ... des nombres complexes de module 1 est le cercle trigono-.
NOMBRES COMPLEXES
Pour un nombre complexe non réel z
Conjugué dun nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON
Dans ce qui suit les nombres a et b du complexe z a .b Le seul nombre complexe ayant un module nul est celui de 0 ... Cette formule est à retenir.
I Module et Argument dun nombre complexe
Donner la forme exponentielle des nombres suivants : 1 ; ?1; i; ?i;. 1. 2. + i. ?3. 2; 1+i; (1 ? i)8. II.2 FORMULES de MOIVRE et D'EULER. Théorème 3
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Soit le nombre complexe z de forme algébrique a + ib et soit M le point d'affixe z On appelle module de z le nombre réel positif r = OM = a2 + b2 On note r =
[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) - maths et tiques
On appelle module de z le nombre réel positif noté z égal à a2 + b2 M est un point d'affixe z Alors le module de z est égal à la distance OM
[PDF] I Module et Argument dun nombre complexe - My MATHS SPACE
Tout nombre complexe z non nul de module r et d'argument ? s'écrit z = rei? : cette écriture est appelée forme exponentielle de z et réciproquement de la même
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques
Le module de z = a + i b est le réel positif z = a2 + b2 Comme z × ¯z = (a + i b)(a ? i b) = a2 + b2 alors le module vaut aussi z
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Le module ? du nombre complexe z = a+ bi est donné par : ? = a2 + b2 Pour trouver l'argument ? on passe par sa tangente (expliquer) : tan? = b a
[PDF] Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama
Le module est une extension aux nombres complexes de la notion de valeur absolue ? À SAVOIR Cette nouvelle notation conduit aux formules ci-dessous
[PDF] Nombres complexes
La formule de Moivre est vraie aussi pour entier relatif 2 Notation exponentielle d'un nombre complexe Exemple d'utilisation : Calcul du module et
[PDF] 1 Corps des nombres complexes
o`u ? est le module de a et ? son argument Soit M le point d'affixe z et ? d'affixe z0 nous déduisons de notre formule que le point M/ d'
[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1
Quotient du nombre complexe de modulo 2 et d'argument 3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument ? 5 6 Allez à : Correction exercice 5 :
[PDF] 1 Nombres complexes - LAMA - Univ Savoie
L'ensemble U des nombres complexes de module 1 muni du produit défini sur Les formules d'Euler permettent de le transformer en un polynôme des
Comment calculer le module d'un complexe ?
Définition : Module d'un nombre complexe
Le module d'un nombre complexe = + est défini par = ? + . ? ? . Si est un nombre réel, son module est simplement sa valeur absolue.Comment calculer le module de z ?
Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a2 + b2 . M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM.Comment calculer le module d'un produit ?
Le module d'un produit est égal au produit des modules : z?z?=z?z?.- Afin de calculer le module ?z? et un argument \\theta d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib. On applique ensuite les formules du cours.
LEÇON N° 17 :
Module et argument d'un nombre
complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications.Pré-requis:
-Fonctions trigonométriques et applications, notions sur les lignes de niveaux; -Construction du corpsC(?e,?m, conjugaison, ...); -Théorèmes de l'angle inscrit et de l'angle au centre.17.1 Module d'un nombre complexe
Soitz=a+ibun nombre complexe,
zson conjugué. Alors on constate quezz= (a+ib)(a-ib) =a2+b2 est un nombre réel positif, nous permettant de donner la définition suivante : Définition 1 : On appellemodule dezle réel positif⎷zz=⎷a2+b2. On le note|z|.Remarque 1:Sib= 0, alors|z|=|a|=⎷a2. La notation est ainsi justifiée par extension de la notation "valeur
absolue".Proposition 1 :
1.|z|?0et(|z|= 0?z= 0);
2.|z|=| -z|=|
z|;3.|?e(z)|?|z|(resp.|?m(z)|?|z|) avec égalité si et seulement siz?R(resp.z?iR);
4.|z1z2|=|z1||z2|.aEn particulier,
?λ?R,|λz|=|λ||z|.(?)Il en résulte que siz2?= 0, on a????z
1 z2???? =|z1||z2|, et donc(z?= 0)????1z???? =1|z|.5.|z1+z2|?|z1|+|z2|, avec égalité si et seulement siz1= 0ouz2= 0ouz1=kz2,k?R+
(géométriquement, c'est une propriété de la distance euclidienne dansR2);6.??|z1| - |z2|???|z1+z2|.
a: On remarquera que l'application(C,×)-→(R,·) :z?-→ |z|, où×(resp.·) représente la multiplication dansC
(resp. dansR), est un morphisme de groupes.2Module et argument d'un nombre complexe
démonstration:1. C'est la définition.
2. On a| -z|=?
(-z)(-z) =?(-z)(-z) =⎷zz=|z|et|z|=⎷zz=⎷z z=|z|.3. On a|z|=?
?e2(z) +?m2(z)???e2(z) =?e(z). L'égalité n'a lieu que lorsque?m2(z) =0? ?m(z) = 0?z?R. De même,|z|=?
?e2(z) +?m2(z)???m2(z) =?m(z). L'égalité n'a lieu que lorsque?e2(z) = 0? ?e(z) = 0?z?iR.4.? |z1z2|=⎷
?On choisitz1=λ?R, et le résultat en découle. ?Démonstration analogue, puisz1= 1.5. On a
|z1+z2|2= (z1+z2) (z1+z2) = (z1+z2)(z1+z2) =|z1|2+z1z2+z1z2+|z2|2 =|z1|2+z1 z2+z1z2+|z2|2=|z1|2+ 2?e(z1z2) +|z2|23.?|z1|2+ 2|z1
z2|+|z2|24.2.=|z1|2+ 2|z1||z2|+|z2|2 = (|z1|+|z2|)2|·|?0=? |z1+z2|?|z1|+|z2|. Siz1= 0ouz2= 0, l'égalité est immédiate. Sinon |z1+z2|=|z1|+|z2| ? ?e(z1 z2) =|z1z2|3.?z1z2?R+ ?z1=a z2=az2z2z2=kz2,oùk=a|z2|2?0.6. Résulte de 5. En effet,z1=z1+z2-z2? |z1|?|z1+z2|+|z2| ? |z1| - |z2|?|z1+z2|. De
même,z2=z2+z1-z1? |z2| - |z1|?|z1+z2|. On en déduit le résultat attendu.?Remarques 2:
?1,?et 5 traduisent que le module est une norme; ?4 donne le théorème suivant :Théorème 1 : L'ensemble des nombres complexes de module1est un groupe multiplicatif notéU, sous-
groupe du groupe multiplicatif(C,×). C'est le noyau du morphismez?-→ |z|de(C,×)dans le sous-
groupe multiplicatif(R,·).Conséquences:
i. Dans le planP, l'image deUest le cercle trigonométrique (centreO, rayon1); ii.1,i,-1,-isont des éléments remarquables deU.17.2 Argument d'un nombre complexe
Soitz=x+iy?C?d'imageMdans le plan complexePmuni d'un repère orthonormal(O,?u,?v). Alorsz/|z| ?Uet son imageM?d'affixez/|z|est donc sur le cercle trigonométrique. Siθest une mesure modulo
2πde l'angle(?u,--→OM?), on a ainsiz/|z|= cosθ+isinθ, avec
cosθ=x ?x2+y2etsinθ=y?x2+y2.Module et argument d'un nombre complexe3
Définition 2 :θest appeléargument dezet est notéarg(z). La valeur deθappartenant à]-π,π]
est appeléargument principal dez, notéArg(z).Remarque 3:0n'a pas d'argument.
17.2.1 Forme trigonométrique
Siz=x+iy?C?est d'argumentθ, alorszs'écrit sous la formez=|z|(cosθ+isinθ). Réciproquement,
siz=ρ(cosθ+isinθ)avecρ >0, alors|z|=ρetarg(z) =θ.Définition 3 : Une telle écriture,z=|z|(cosθ+isinθ)est appeléeforme trigonométriquedez.
17.2.2 Propriétés
Proposition 2 :
1. Sik?R?+, alorsarg(k) = 0 (mod 2π). Sik?R?-, alorsarg(k) =π(mod 2π);
2.arg(-z) =π+ arg(z) (mod 2π);
3.arg(
z) =-arg(z) (mod 2π);4. Pour tousz1,z2?C?,arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) (mod 2π). En particulier,
?arg(zn) =narg(z) (mod 2π) (?n?N,?z?C), ?arg(1 z) =-arg(z) (mod 2π) (?z?C), ?arg(z1 z2) = arg(z1)-arg(z2) (mod 2π) (?z1,z2?C).démonstration:Dans cette démonstration, nous supposeronszécrit sous sa forme trigonométrique :
z=|z|(cosθ+isinθ).1.?k?R?+?k=a >0?k=|a|(1 + 0i)?k=|k|(cos0 +isin0)?arg(k) = 0
(mod 2π), ?k?R?-?k=a <0?k=|a|(-1 + 0i)?k=|k|(cosπ+isinπ)?arg(k) =π (mod 2π).2.-z=|z|(-cosθ-isinθ) =|z|?cos(π+θ)+isin(π+θ)??arg(-z) =π+θ(mod 2π) =
π+ arg(z) (mod 2π).
3. z=|z|(cosθ-isinθ) =|z|?cos(-θ) +isin(-θ)??arg(z) =-θ(mod 2π) =-arg(z) (mod 2π).4.?On a
z =|z1z2|?cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+ sinθ2cosθ1)? =|z1z2|?cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)? ?arg(z1z2) =θ1+θ2(mod 2π) = arg(z1) + arg(z2) (mod 2π). ?récurrence. ?z1/z2=···(démonstration analogue), puisz1= 1.?4Module et argument d'un nombre complexe
Proposition 3 (Formule de Moivre) : Pour tousn?Netθ?R, on a (cosθ+isinθ)n= cos(nθ) +isin(nθ). démonstration:Posonsz= cosθ+isinθ. Alors|z|= 1?arg(z) =θet on a aussi|zn|=|z|n= 1. Alorsarg(zn)3.=narg(z) (mod 2π) =nθ(mod 2π), d'oùzn=|zn|?cos(nθ) +isin(nθ)?= cos(nθ) +isin(nθ).?17.2.3 Notation exponentielle
Soit l'application
?:R?-→U?Cθ?-→cosθ+isinθ.
?vérifie alors : ??θ?R,|?(θ)|= 1, donc?(θ)?= 0; ? ?(θ1+θ2) =?(θ1)?(θ2)(d'où en particulier?(0) = 1et?(-θ) = 1/?(θ)); ?(θ) =i?(θ).Ces propriétés rappellent celles de la fonction exponentielle (x?-→eλxest l'unique fonctionysurRvéri-
fianty?≡0,y?=λyety(0) = 1), et conduisent naturellement à poser par conventioncosθ+isinθ=eiθ.
Proposition 4 :
1. Formules d'Euler :cosθ=eiθ+e-iθ
2etsinθ=eiθ-e-iθ2i;
2. Formule de Moivre en écriture exponentielle :(eiθ)n=einθ;
3.eiθ+ 1 = 0.
démonstration:1. On a1
2(eiθ+e-iθ) =12(cosθ+isinθ+ cosθ-isinθ) = cosθ.
De même, on trouve que
12i(eiθ-e-iθ) =12i(cosθ+isinθ-cosθ+isinθ) = sinθ.
2. C'est la formule de Moivre...
3.eiπ+ 1 = cosπ+isinπ+ 1 = 0.?
Définition 4 : Siz?C?, de moduleρet d'argumentθ, s'écritz=ρeiθ, alors cette écriture est
appeléeécriture exponentielledez.Remarque 4:θ?-→eiθest un morphisme de groupes de(R,+)sur(U,×), même un isomorphisme de groupes
de?R/(2πZ),+?sur(U,×).Module et argument d'un nombre complexe5
17.3 Interprétation géométrique
Soient(O,?u,?v)un répère orthonormé du plan complexe,M(z),M?(z?)deux points d'affixeszetz?.17.3.1 Module
Proposition 5 :d(M,M?) =|z?-z|.
démonstration:On a---→MM?=---→OM?---→OM?z---→MM?=z?-z. On en déduit donc que?---→MM??=
d(M,M?) =|z?-z|.?Exercice: Calculer|z+z?|2+|z-z?|2et interpréter le résultat géométriquement dans un parallélogramme.
En déduire la formule de la médiane.
17.3.2 Argument
Proposition 6 :arg(z?-z) = (?u,---→MM?) (mod 2π).démonstration:arg(z?-z) = arg(z---→MM?). Il suffit donc de placer l'origine du vecteur---→MM?enOet
d'appliquer la définition.? Corollaire : SoientA(a),B(b),C(c)etD(d)quatre points aveca?=b. Alors arg ?d-c b-a? = (-→AB,--→CD) (mod 2π). démonstration:On a arg ?d-c b-a? = arg(d-c)-arg(b-a) (mod 2π) = (?u,--→CD)-(?u,--→AB) (mod 2π) = (--→AB,--→CD) (mod 2π), d'où le résultat.?17.4 Lignes de niveaux
Définition 5 : SoientE?C,f:E-→Retk?R. On appelleligne de niveaukassocié àf l'ensemble des pointsM(z)?Ptels quef(z) =k. On notera cet ensembleLk(k).6Module et argument d'un nombre complexe
Voici quatre figures qui correspondront aux quatre propositions ci-dessous : O? k= 1 k= 2 k= 2,5O?u?v?
A k= 0,5 k=-0,25Figure 1 :f(z) =|z-ω|Figure 2 :f(z) = arg(z-a)
AB0?k <1?
k= 1???? k >1 ?A B k1k2TFigure 3 :f(z) =??
z-a z-b??Figure 4 :f(z) = arg?z-az-b? Proposition 7 (figure 1) : Soitf:P-→Rla fonction définie parf(z) =|z-ω|pour tout pointΩ(ω)?P. Alors
L f(k) =???∅sik <0 {Ω}sik= 0quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] interaction de van der waals liaison hydrogène
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