[PDF] [PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1





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NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

I. Module et argument d'un nombre complexe. 1) Module. Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z le nombre réel positif



LEÇON N? 17 : Module et argument dun nombre complexe

Théorème 1 : L'ensemble des nombres complexes de module 1 est un groupe Proposition 3 (Formule de Moivre) : Pour tous n ? N et ? ? R on a.



Module et conjugué dun nombre complexe 1 z Forme

TS - Fiche de cours : Nombres complexes. 2 / 4. Module et conjugué d'un nombre complexe. On appelle module du nombre complexe z = a + bi a ? IR



Nombres complexes

19 sept. 2012 Le module d'un nombre complexe z = a + ib noté



Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications

Forme exponentielle. 11. Retrouver le module et l'argument. 12. Produits et quotients. 13. Retrouver les formules de trigonométrie.



NOMBRES COMPLEXES - Chamilo

FORMULES D'EULER - FORMULE DE MOIVRE Généralisation aux nombres complexes de module quelconque ... Formule du binôme – triangle de Pascal.



Chapitre 1 - Trigonométrie et nombres complexes

2 sept. 2015 Nombres complexes . ... La formule fondamentale à retenir est la suivante : ... des nombres complexes de module 1 est le cercle trigono-.



NOMBRES COMPLEXES

Pour un nombre complexe non réel z





Conjugué dun nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON

Dans ce qui suit les nombres a et b du complexe z a .b Le seul nombre complexe ayant un module nul est celui de 0 ... Cette formule est à retenir.



I Module et Argument dun nombre complexe

Donner la forme exponentielle des nombres suivants : 1 ; ?1; i; ?i;. 1. 2. + i. ?3. 2; 1+i; (1 ? i)8. II.2 FORMULES de MOIVRE et D'EULER. Théorème 3 



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Soit le nombre complexe z de forme algébrique a + ib et soit M le point d'affixe z On appelle module de z le nombre réel positif r = OM = a2 + b2 On note r = 



[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) - maths et tiques

On appelle module de z le nombre réel positif noté z égal à a2 + b2 M est un point d'affixe z Alors le module de z est égal à la distance OM



[PDF] I Module et Argument dun nombre complexe - My MATHS SPACE

Tout nombre complexe z non nul de module r et d'argument ? s'écrit z = rei? : cette écriture est appelée forme exponentielle de z et réciproquement de la même 



[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques

Le module de z = a + i b est le réel positif z = a2 + b2 Comme z × ¯z = (a + i b)(a ? i b) = a2 + b2 alors le module vaut aussi z 



[PDF] NOMBRES COMPLEXES

Le module ? du nombre complexe z = a+ bi est donné par : ? = a2 + b2 Pour trouver l'argument ? on passe par sa tangente (expliquer) : tan? = b a



[PDF] Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama

Le module est une extension aux nombres complexes de la notion de valeur absolue ? À SAVOIR Cette nouvelle notation conduit aux formules ci-dessous 



[PDF] Nombres complexes

La formule de Moivre est vraie aussi pour entier relatif 2 Notation exponentielle d'un nombre complexe Exemple d'utilisation : Calcul du module et 



[PDF] 1 Corps des nombres complexes

o`u ? est le module de a et ? son argument Soit M le point d'affixe z et ? d'affixe z0 nous déduisons de notre formule que le point M/ d' 



[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1

Quotient du nombre complexe de modulo 2 et d'argument 3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument ? 5 6 Allez à : Correction exercice 5 :



[PDF] 1 Nombres complexes - LAMA - Univ Savoie

L'ensemble U des nombres complexes de module 1 muni du produit défini sur Les formules d'Euler permettent de le transformer en un polynôme des 

  • Comment calculer le module d'un complexe ?

    Définition : Module d'un nombre complexe
    Le module d'un nombre complexe �� = �� + �� �� est défini par �� = ? �� + �� . ? ? . Si �� est un nombre réel, son module est simplement sa valeur absolue.

  • Comment calculer le module de z ?

    Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a2 + b2 . M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM.

  • Comment calculer le module d'un produit ?

    Le module d'un produit est égal au produit des modules : z?z?=z?z?.
  • Afin de calculer le module ?z? et un argument \\theta d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib. On applique ensuite les formules du cours.

Pascal Lainé

1

NOMBRES COMPLEXES

Exercice 1 :

Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de ߠ

Allez à : Correction exercice 1 :

Exercice 2 :

Mettre sous la forme ܽ൅ܾ݅ǡܽǡאܾ

Allez à : Correction exercice 2 :

Exercice 3 :

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants

ݖ଼, le nombre de module - గ

ݖଽ le nombre de module ͵ െగ

Allez à : Correction exercice 3 :

Exercice 4 :

1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants, ainsi que leur conjugués :

Pour ݖହ, factoriser par ݁

Pour ݖଵ଴, factoriser par ݁

2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leur conjugués.

Indication :

Ecrire ݖଵ sous la forme ߙ

3. Calculer

Pascal Lainé

2

Allez à : Correction exercice 4 :

Exercice 5 :

Effectuer les calculs suivants :

2. Produit du nombre complexe de module - గ

ଷ par le nombre complexe de module ͵ et

3. Quotient du nombre complexe de modulo - గ

ଷ par le nombre complexe de module ͵ et

Allez à : Correction exercice 5 :

Exercice 6 :

Etablir les égalités suivantes :

1. 2. 3.

Allez à : Correction exercice 6 :

Exercice 7 :

Soit

1. Déterminer les modules de ݑ et ݒ.

2. Déterminer un argument de ݑ et un argument de ݒ.

3. En déduire le module et un argument pour chacune des racines cubiques de ݑ.

4. Déterminer le module et un argument de ௨

5. En déduire les valeurs de

Allez à : Correction exercice 7 :

Exercice 8 :

Calculer le module et un argument de

En déduire le module et un argument de ௨

Allez à : Correction exercice 8 :

Pascal Lainé

3

Exercice 9 :

Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle.

Allez à : Correction exercice 9 :

Exercice 10 :

Calculer les racines carrées des nombres suivants.

Allez à : Correction exercice 10 :

Exercice 11 :

1. Calculer les racines carrées de ଵା௜

଼ቁ et •‹ቀగ

2. Calculer les racines carrées de ξଷା௜

Allez à : Correction exercice 11 :

Exercice 12 :

Résoudre dans ԧ les équations suivantes :

11. ݖଷ൅͵ݖെ-݅ൌ-.

Allez à : Correction exercice 12 :

Exercice 13 :

Allez à : Correction exercice 13 :

Exercice 14 :

1. Montrer que cette équation admet une racine réelle.

2. Résoudre cette équation.

Pascal Lainé

4

Allez à : Correction exercice 14 :

Exercice 15 :

1. Montrer que

Admet une ou plusieurs racines réelles.

Allez à : Correction exercice 15 :

Exercice 16 :

Résoudre dans ԧ

Allez à : Correction exercice 16 :

Exercice 17 :

Allez à : Correction exercice 17 :

Exercice 18 :

1. Résoudre ܺ

2. Résoudre ܼ

3. Résoudre

On rappelle que ξ͸͹͸ൌ-͸.

Allez à : Correction exercice 18 :

Exercice 19 :

Allez à : Correction exercice 19 :

Exercice 20 :

Allez à : Correction exercice 20 :

Exercice 21 :

2. En déduire le module et un argument de ݖ.

Pascal Lainé

5

3. En déduire ...‘•ቀగ

Allez à : Correction exercice 21 :

Exercice 22 :

1. Donner les solutions de :

Sous forme algébrique et trigonométrique.

2. Donner les solutions de :

Sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 22 :

Exercice 23 :

1. Résoudre

On donnera les solutions sous forme algébrique. 2.

Trouver les solutions de

On donnera les solutions (et sous forme algébrique en bonus).

Allez à : Correction exercice 23 :

Exercice 24 :

1. Donner les solutions complexes de ܺ

2. Résoudre ܺ

3. Résoudre ܺ

Allez à : Correction exercice 24 :

Exercice 25 :

Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique le nombre complexe

Allez à : Correction exercice 25 :

Exercice 26 :

1. Déterminer le module et un argument de ଵା௜

ଵି௜, calculer ቀଵା௜

3. Calculer les puissances ݊-ième des nombres complexes.

Allez à : Correction exercice 26 :

Exercice 27 :

݊ pour que ൫ξ͵൅݅൯௡ soit réel ? Imaginaire ?

Allez à : Correction exercice 27 :

Pascal Lainé

6

Exercice 28 :

Soit ݖ un nombre complexe de module ߠ ߩ

Allez à : Correction exercice 28 :

Exercice 29 :

1. Pour quelles valeurs de ݖא

2. On considère dans ԧ

Montrer, sans les calculer, que les solutions sont réelles. Trouver alors les solutions.

3. Calculer les racines cubiques de ξଷା௜

Allez à : Correction exercice 29 :

Exercice 30 :

Résoudre dans ԧ

Allez à : Correction exercice 30 :

Exercice 31 :

Résoudre dans ԧ

Allez à : Correction exercice 31 :

Exercice 32 :

2. Résoudre

On explicitera les solutions sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 32 :

Exercice 33 :

Résoudre dans ԧ

On donnera les solutions sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 33 :

Exercice 34 :

On appelle ݆ൌെଵ

1. Résoudre dans ԧܺ

Pascal Lainé

7

5. Calculer ଵ

6. Calculer ݆௡ pour tout ݊א

Allez à : Correction exercice 34 :

Exercice 35 :

Résoudre dans ԧ

ces solutions a une puissance quatrième réelle.

Allez à : Correction exercice 35 :

Exercice 36 :

1. Donner les solutions complexes de ܺ

2. Résoudre ܺ

3. Résoudre ܺ

Allez à : Correction exercice 36 :

Exercice 37 :

Trouver les racines cubiques de ͳͳ൅-݅.

Allez à : Correction exercice 37 :

Exercice 38 :

Calculer

Algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire ...‘•ቀగ

Allez à : Correction exercice 38 :

Exercice 39 :

Trouver les racines quatrième de ͺͳ et de െͺͳ.

Allez à : Correction exercice 39 :

Exercice 40 :

Soit ݊൒-, un entier.

1. b. Déterminer les complexes qui vérifient ݖ௡ൌെͳ.

2. Calculer la somme des complexes qui vérifient ݖ௡ൌെͳ.

Allez à : Correction exercice 40 :

Exercice 41 :

Soit ݖ une racine n-ième de െͳ, donc ݖ௡ൌെͳ. Avec ݊൐- et ݖ്െͳ

Calculer

Pascal Lainé

8

Allez à : Correction exercice 41 :

Exercice 42 :

2. Donner, sous forme polaire (forme trigonométrique) les solutions dans ԧ de :

Indication : poser ܼ

Allez à : Correction exercice 42 :

Exercice 43 :

Allez à : Correction exercice 43 :

Exercice 44 :

Résoudre les équations suivantes :

Allez à : Correction exercice 44 :

Exercice 45 :

Résoudre dans ԧ :

1. ݖହൌͳ

2. ݖହൌͳെ݅

3. ݖଷൌ-െ-݅

4. ݖହൌݖ

Allez à : Correction exercice 45 :

Exercice 46 :

1. Calculer les racines ݊-ième de െ݅ et de ͳ൅݅.

Allez à : Correction exercice 46 :

Exercice 47 :

1. Montrer que, pour tout ݊אԳכ et pour tout nombre ݖא

Et en déduire que si ݖ്ͳ, on a :

2. Vérifier que pour tout ݔא

3. Soit ݊אԳכ. Calculer pour tout ݔא

Et en déduire les valeurs de

Pascal Lainé

9

Allez à : Correction exercice 47 :

Exercice 48 :

Indication : On calculera de deux façon différente la dérivée de la fonction ݂ définie par

On donnera le résultat sous forme algébrique.

Allez à : Correction exercice 48 :

Exercice 49 :

Soit ߳ une racine ݊-, ߳

Allez à : Correction exercice 49 :

Exercice 50 :

Allez à : Correction exercice 50 :

Exercice 51 :

Résoudre dans ԧݖ௡ൌݖ où ݊൒ͳ.

Allez à : Correction exercice 51 :

Exercice 52 :

Allez à : Correction exercice 52 :

Exercice 53 :

Linéariser :

Allez à : Correction exercice 53 :

Exercice 54 :

1. Déteݖ tels que ଵି௭

ଵି௜௭ soit réel.

2. ݖ tels que ଵି௭

ଵି௜௭ soit imaginaire pur.

Allez à : Correction exercice 54 :

Exercice 55 :

Soit אߩԹାכ et אߠԹ, avec ߩ Soit

Pascal Lainé

10 Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de ݖ.

Allez à : Correction exercice 55 :

Exercice 56 :

Allez à : Correction exercice 56 :

Exercice 57 :

Allez à : Exercice 57 :

Exercice 58 :

1.

2. Montrer que pour tout ݖܧא

3.

Que peut-on en déduire sur ݂.

4. Soit ݖܧא

5. Notons ࣯ ͳ

Allez à : Correction exercice 58 :

CORRECTIONS

Correction exercice 1 :

Pascal Lainé

11

Par suite

Allez à : Exercice 1 :

Correction exercice 2 :

Autre méthode

Autre méthode

Or Donc

Autre méthode

Pascal Lainé

12

Ou encore

idée.

Autre méthode

Autre méthode

Allez à : Exercice 2 :

Correction exercice 3 :

Pascal Lainé

13

A moins de connaitre ...‘•ቀగ

଼ቁ et •‹ቀగquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
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