livre-algebre-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
2. 1. Logique. 1.1. Assertions. Une assertion est une phrase soit vraie soit fausse
Exercices de mathématiques - Exo7
2. dans toutes les écuries tous les chevaux sont noirs;. 3. pour tout entier x
Cours de mathématiques - Exo7
ESPACES VECTORIELS. 2. ESPACE VECTORIEL (FIN) 4. Mini-exercices. 1. Vérifier les 8 axiomes qui font de 3 un -espace vectoriel. 2. Idem pour une droite.
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P(0) = 1 et P(1) = 0 et P(?1) = ?2 et P(2) = 4. Correction ?. Vidéo ?. [000427]. 2 Division pgcd. Exercice
les matrices sur Exo7
La résolution d'un certain nombre de problèmes d'algèbre linéaire se 2. MULTIPLICATION DE MATRICES. 3. Exemple 4. Si A = 2 ?1 0. 4 ?5 2.
Révisions - Algèbre linéaire
Exo7. Révisions – Algèbre linéaire. Exercice 1 2. Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre selon les valeurs de a
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2. Penser aux droites vectorielles. Indication pour l'exercice 4 ?. 1. E1 est un sous-espace vectoriel de R3 si et seulement
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Exercice 7. On considère les ensembles suivants : A = {12
QCM DE MATHÉMATIQUES - LILLE - PARTIE 2
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2. 1. Logique. 1.1. Assertions. Une assertion est une phrase soit vraie soit fausse
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2 is 4 hence the dimension of the kernel of A 2 is 1 Therefore the set of solutions of A 2X= b 2 is an a ne line in R5 par-allel to kerA 2 Denote by (x;y;z;t;u) the coordinates in R5 Let us parametrize the set of solutions by a= u2R The system is equivalent to 8 >> < >>: x+ 2 y+ t= 1 3a y + z + t = 1 2a z+ 2 t= 1 3a t = 1 a 8 >> < >>: 2 y
Enoncés : Barbara Tumpach
Exo7Révisions - Algèbre linéaire
Exercice 1
1.Résoudre de quatre manières dif férentesle système sui vant(par substitution, par la méthode du pi votde
Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) :2x+y=1
3x+7y=2
2.Choisir la méthode qui v ousparaît la plus rapide pour résoudre, selon les v aleursde a, les systèmes
suivants : ax+y=2 (a2+1)x+2ay=1 (a+1)x+ (a1)y=1 (a1)x+ (a+1)y=1 Résoudre le système suivant de 5 équations à 6 inconnues :8>>>><
>>>:2x+y+z2u+3vw=13x+2y+2z3u+5v3w=4
2x+2y+2z2u+4v4w=6
x+y+zu+2v2w=33x3u+3v+3w=6
Pour chaque couple de matrices(Ai;bi), 16i65, ci-dessous 1. donner la nature de l"ensemble des solutions du système AiX=bi; 2. donner une représentation paramétrique de l"ensemble des solutions de AiX=bi; 3. donner une base de l"image et une base du no yaude Ai. a)A1=0 BB@1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 11
CCAb1=0
B B@1 1 1 11 CCA; b)A2=0
BB@1 2 0 1 3
0 1 1 1 2
0 0 1 2 3
0 0 0 1 11
CCAb2=0
B B@1 1 1 11 C CA; c)A3=0 BBBB@1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
0 0 0 01
C CCCAb 3=0 B BBB@1 1 1 1 11 CCCCA; d)A4=0
BBBB@1 2 0 1 1
0 1 1 2 2
0 0 1 2 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 01
C CCCAb 4=0 B BBB@1 1 1 1 11 C CCCA; e)A5=0 BBBB@1 2 0 1 1
0 1 1 2 2
0 0 1 2 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 01
C CCCAb 5=0 B BBB@1 1 1 1 01 C 1Exercice 4
Calculer une base de l"image et une base du noyau de l"application linéaire f:R3!R5 (x;y;z)7!(x+y;x+y+z;2x+y+z;2x+2y+z;y+z)On considère la matriceA=0
@1 0 0 0 1 13 1 11
A 1.Soient B=0
@1 1 1 0 1 01 0 01
A etC=0 @1 1 1 1 2 1 0111A . Montrer queAB=AC. La matriceApeut-elle être inversible ? 2.
Déterminer toutes les matrices Fde taille(3;3)telles queAF=0, (où 0 est la matrice dont tous les
coefficients sont nuls).Pour quelles valeurs deala matrice
A=0 @1 1 1 1 2 4 1 3a1 ASoitaetbdeux réels etAla matrice
A=0 @a21b3 0 14
5 41 21
A Montrer que rg(A)>2. Pour quelles valeurs deaetba-t-on rg(A) =2 ?Calculer l"inverse de la matrice suivante :
A=0 BB@4 8 7 4
1 3 2 1
1 2 3 2
0 0 1 11
C CA 2 Ondésigneparfe1;e2;:::;englabasecanoniquedeRn. Àunepermutations2Sn, onassociel"endomorphisme u sdeRnsuivant : u s:Rn!Rn0 B @x 1... x n1 C A7!0 B @x s(1)... x s(n)1 C A 1. Soit t=(ij)unetransposition. Écrirelamatricedeutdanslabasecanonique. Montrerquedet(ut)=1. 2.Montrer que 8s;s02Sn,usus0=us0s.
3. En déduire que 8s2Sn, detus=e(s)oùedésigne la signature. 1. Calculer les v aleurspropres et les v ecteurspropres de la matrice A=0 @0 22 11 2 13 41 A 2.Calculer Anpour toutn2N.
Correction del"exer cice1 N1.(a) Par substitution.La première équation s"écrit aussiy=12x. On remplace maintenantydans la
deuxième équation3x+7y=2=)3x+7(12x) =2=)11x=9=)x=911
Onendéduity:y=12x=12911
=711 . Lasolutiondecesystèmeestdonclecouple(911 ;711 N"oubliez pas de vérifier que votre solution fonctionne ! (b)Par le pivot de Gauss.On garde la ligneL1et on remplace la ligneL2par 2L23L1:2x+y=1
3x+7y=2()2x+y=1
11y=7 Onobtientunsystèmetriangulaire: onendéduity=711 etalorslapremièrelignepermetd"obtenir x=911 (c)Par les matrices.En terme matriciel le système s"écritAX=YavecA=2 1
3 7 X=x y Y=1 2 On trouve la solution du système en inversant la matrice :X=A1Y:
L"inverse d"une matrice 22 se calcule ainsi
siA=a b c d alorsA1=1adbc db c a Il faut bien sûr que le déterminant detA=a b c d =adbcsoit différent de 0.Ici on trouve
A 1=111 713 2 etX=A11 2 =111 9 7
(d)Par les formules de Cramer.Les formules de Cramer pour un système de deux équations sont les
suivantes si le déterminant vérifieadbc6=0 : ax+by=e cx+dy=f=)x= e b f d a b c d ety= a e c fquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] algebre 4 exercice corrigé
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