[PDF] QCM DE MATHÉMATIQUES - LILLE - PARTIE 2

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Année 2020

QCM DE MATHÉMATIQUES-LILLE-PARTIE2Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies

(et seulement celles-ci). Ces questions ont été écrites par Abdellah Hanani et Mohamed Mzari de l"université de Lille. Ce travail a été effectué en 2019 dans le cadre d"un projet Liscinum

porté par l"université de Lille et Unisciel.Ce document est diffusé sous la licenceCreative Commons - BY-NC-SA - 4.0 FR.

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Table des matières

I Algèbre

4

1 Systèmes d"équations linéaires

4

1.1 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 1

4

1.2 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 2

7

1.3 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 3

8

1.4 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 4

16

2 Espaces vectoriels

18

2.1 Espaces vectoriels | Niveau 1

18

2.2 Espaces vectoriels | Niveau 2

19

2.3 Espaces vectoriels | Niveau 3

22

2.4 Espaces vectoriels | Niveau 4

23

2.5 Base et dimension | Niveau 1

26

2.6 Base et dimension | Niveau 2

27

2.7 Base et dimension | Niveau 3

29

2.8 Base et dimension | Niveau 4

32

2.9 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 1

34

2.10 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 2

35

2.11 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 3

36

3 Applications linéaires

36

3.1 Applications linéaires | Niveau 1

36

3.2 Applications linéaires | Niveau 2

37

3.3 Applications linéaires | Niveau 3

39

3.4 Applications linéaires | Niveau 4

40

3.5 Noyau et image | Niveau 1

40

3.6 Noyau et image | Niveau 2

41

3.7 Noyau et image | Niveau 3

43

3.8 Noyau et image | Niveau 4

46

4 Calcul matriciel

49

4.1 Calcul matriciel | Niveau 1

49

4.2 Calcul matriciel | Niveau 2

51

4.3 Calcul matriciel | Niveau 3

54

4.4 Calcul matriciel | Niveau 4

55

4.5 Inverse d"une matrice | Niveau 1

58

4.6 Inverse d"une matrice | Niveau 2

58

4.7 Inverse d"une matrice | Niveau 3

60

4.8 Inverse d"une matrice | Niveau 4

62

5 Applications linéaires et matrices

63

5.1 Matrice d"une application linéaire | Niveau 1

63

5.2 Matrice d"une application linéaire | Niveau 2

67

5.3 Matrice d"une application linéaire | Niveau 3

71

5.4 Matrice d"une application linéaire | Niveau 4

76
2

II Analyse82

6 Primitives des fonctions réelles

83

6.1 Primitives | Niveau 1

83

6.2 Primitives | Niveau 2

86

6.3 Primitives | Niveau 3

94

6.4 Primitives | Niveau 4

100

7 Calculs d"intégrales

105

7.1 Calculs d"intégrales | Niveau 1

105

7.2 Calculs d"intégrales | Niveau 2

108

7.3 Calculs d"intégrales | Niveau 3

112

7.4 Calculs d"intégrales | Niveau 4

120

8 Développements limités

124

8.1 Opérations sur les DL | Niveau 1

124

8.2 Opérations sur les DL | Niveau 2

126

8.3 Opérations sur les DL | Niveau 3

129

8.4 Opérations sur les DL | Niveau 4

136

8.5 Applications des DL | Niveau 1

138

8.6 Applications des DL | Niveau 2

139

8.7 Applications des DL | Niveau 3

142

8.8 Applications des DL | Niveau 4

145

9 Equations différentielles

148

9.1 Equations du premier ordre | Niveau 1

148

9.2 Equations du premier ordre | Niveau 2

149

9.3 Equations du premier ordre | Niveau 3

150

9.4 Equations du premier ordre | Niveau 4

153

9.5 Equations du second ordre | Niveau 1

156

9.6 Equations du second ordre | Niveau 2

158

9.7 Equations du second ordre | Niveau 3

159

9.8 Equations du second ordre | Niveau 4

161

10 Courbes paramétrées

162

10.1 Courbes paramétrées | Niveau 1

162

10.2 Courbes paramétrées | Niveau 2

163

10.3 Courbes paramétrées | Niveau 3

164

10.4 Courbes paramétrées | Niveau 4

166
3

Première partie

AlgèbreSystèmes d"équations linéaires

Abdellah Hanani, Mohamed Mzari

1 Systèmes d"équations linéaires

1.1 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 1

Question 1

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+z=0 xyz=0

3x+2y+z=0.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Vrai](?),8

:xy+z=0

5y2z=0

z=0.

ƒ[Faux](?)admet une infinité de solutions.

ƒ[Faux](?)n"admet pas de solution.

ƒ[Vrai](?)admet une unique solution.

Explications:L"algorithme de Gauss donne :

(?),8 :xy+z=0

5y2z=0

z=0.

Donc(?)admet une unique solution :(0,0,0).

Question 2

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+2y+z=0 x+z=0 x+y=0.

Quelles sont les assertions vraies?

4

ƒ[Vrai](?),§y=x

z=x. ƒ[Vrai]L"ensemble des solutions de(?)est une droite.

ƒ[Faux](?)n"admet pas de solution.

ƒ[Faux](?)admet une unique solution.

Explications:

(?),§y=x z=x. L"ensemble des solutions de(?)est la droite :f(x,x,x);x2Rg.

Question 3

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+2z=1

2x+2y4z=2

3x3y+6z=3.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Vrai](?),xy+2z=1.

ƒ[Vrai]L"ensemble des solutions de(?)est un plan.

ƒ[Faux](?)n"admet pas de solution.

ƒ[Faux](?)admet une unique solution.

Explications:(?),xy+2z=0. L"ensemble des solutions de(?)est un plan.

Question 4

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+yz=2 x+y+z=0

2x+z=1.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Vrai](?),8

:x+yz=2 y=1 z=1.

ƒ[Faux](?)admet une infinité de solutions.

ƒ[Faux](?)n"admet pas de solution.

ƒ[Vrai](?)admet une unique solution.

5

Explications:

(?),8 :x+yz=2 y=1 z=1.

Donc(?)admet une unique solution :(0,1,1).

Question 5

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+z=1

2x3y+4z=1

y+z=1.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Vrai](?),8

:xy+z=1 y2z=1 z=0. ƒ[Vrai]Les équations de(?)sont celles de trois plans.

ƒ[Vrai](?)admet une unique solution.

ƒ[Faux](?)n"admet pas de solution.

Explications:

(?),8 :xy+z=1 y2z=1 z=0.

Donc(?)admet une unique solution :(2,1,0).

Question 6

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :xy+z=1

2x3y+4z=1

x2y+3z=1.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Faux](?),§xy+z=1

y2z=1.

ƒ[Faux](?)admet une infinité de solutions.

ƒ[Faux](?)admet une unique solution.

ƒ[Vrai](?)n"admet pas de solution.

6

Explications:

(?),8 :xy+z=1 y2z=1 y2z=0,8 :xy+z=1 y2z=1 0=1.

Donc(?)n"admet pas de solution.

1.2 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 2

Question 7

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+y+z=1 x y+z=0 xy=1.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Faux](?)est un système d"équations linéaires.

ƒ[Vrai](?),8

:z=2x y=1+x x y+z=0.

ƒ[Faux](?)admet une unique solution.

ƒ[Vrai](?)admet deux solutions distinctes.

Explications:(?)n"est pas un système d"équations linéaires. (?),8 :z=1xy y=1+x x y+z=0,8 :z=2x y=1+x x(x1) =0.

Donc(?)admet deux solutions :(0,1,0)et(1,2,2).

Question 8

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3: (?)8 :x+y+z=1

2x+yz=1

3x+y3z=3

x2z=2.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Vrai](?),§x+y+z=1

y+3z=3. ƒ[Vrai]L"ensemble des solutions de(?)est une droite. 7

ƒ[Faux](?)n"admet pas de solution.

ƒ[Faux](?)admet une unique solution.

Explications:

(?),§x+y+z=1 y+3z=3. L"ensemble des solutions de(?)est la droite :f(2+2z,33z,z);z2Rg.

1.3 Systèmes d"équations linéaires | Niveau 3

Question 9

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z,t)2R4et de paramètres des réels a,b,cetd: (?)8 :x+y=a y+z=b z+t=c t+x=d.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Faux](?),8

:x+y=a y+z=b z+t=c. ƒ[Vrai](?)admet une solution si et seulement sia+c=b+d. ƒ[Faux](?)admet une solution si et seulement sia+b=c+d.

ƒ[Vrai]Le rang de(?)est 3.

Explications:

(?),8 :x+y=a y+z=b z+t=c

0=b+dac.

On en déduit que sia+c6=b+d,(?)n"admet pas de solution et que sia+c=b+d,(?) en admet une infinité.

Question 10

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètres des réels non nuls et distinctsa,betc: (?)8 :ax+ay+bz=b bx+by+cz=c cx+cy+az=a.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Vrai](?),8

:ax+ay+bz=b (acb2)z=acb2 (a2bc)z=a2bc. 8

ƒ[Faux](?)n"admet pas de solution.

ƒ[Faux](?)admet une solution si et seulement sia26=bc.

ƒ[Vrai](?)admet une infinité de solutions.

Explications:Commea,betcsont des réels non nuls, (?),8 :ax+ay+bz=b (acb2)z=acb2 (a2bc)z=a2bc. D"autre part,a,b,csont des réels distincts, on vérifie quea26=bcoub26=ac. Par consé- quent,(?)admet une infinité de solutions :f(x,x,1);x2Rg.

Question 11

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètre un réelm: (?)8 :x+y+z=1 x+2y+3z=1

2x+3y+4z=m.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Faux](?),§x+y+z=1

y+2z=m. ƒ[Faux]Pour tout réelm,(?)admet une solution.

ƒ[Vrai]Sim=1,(?)n"admet pas de solution.

ƒ[Vrai]Sim=0, l"ensemble des solutions de(?)est une droite.

Explications:

(?),8 :x+y+z=1 y+2z=2 y+2z=m+2,8 :x+y+z=1 y+2z=2 0=m. On en déduit que sim6=0,(?)n"admet pas de solution et que sim=0, l"ensemble des solutions de(?)est la droite :f(3+z,22z,z);z2Rg.

Question 12

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètre un réelm: (?)8 :xyz=1 x+2ymz=3

2xy+(m1)z=2m+2.

Quelles sont les assertions vraies?

9

ƒ[Vrai](?),8

:xyz=1 y(m+1)z=2 (m+1)z=m+1. ƒ[Faux]Pour tout réelm,(?)admet une infinité de solutions.

ƒ[Faux]Sim=1,(?)n"admet pas de solution.

ƒ[Vrai]Sim6=1,(?)admet une unique solution.

Explications:

(?),8 :xyz=1 y(m+1)z=2 y+(m+1)z=2m,8 :xyz=1 y(m+1)z=2 (m+1)z=m+1. Sim=1,(?)admet une infinité de solutions :f(1+z,2,z);z2Rg.

Sim6=1,(?)admet une unique solution :(1+m,1+m,1).

Question 13

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z,t)2R4et de paramètres des réels aetm: (?)8 >>:xzt=0 x+y+z=a

2x+yz=m

xmzt=a x+y+t=m.

Quelles sont les assertions vraies?

ƒ[Vrai](?),8

:xzt=0 yt=a z+3t=ma (1m)z=a. ƒ[Faux]Sim=1 eta=0,(?)admet une unique solution. ƒ[Vrai]Sim6=1 etaun réel quelconque,(?)admet une unique solution. ƒ[Faux]Sim6=1 eta6=0,(?)admet une infinité de solutions.

Explications:

(?),8 :xzt=0 yt=a y+z+2t=m (1m)z=a,8 :xzt=0 yt=a z+3t=ma (1m)z=a.

Si m=1 eta6=0,(?)n"admet pas de solution.

Si m=1 eta=0,(?)admet une infinité de solutions.

Si m6=1,(?)admet une unique solution.

10

Question 14

On considère le système d"équations, d"inconnue(x,y,z)2R3et de paramètre un réelm: (?)8 :x+y+mz=1quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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