[PDF] [PDF] Altimétrie spatiale 5 sept 2014 · Géoï

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Ecole d"Eté 2014

Altimétrie spatiale

Le géoïde

Sean Bruinsma / CNES

Ecole d"Eté 2014, Saint-Pierre d"Oléron, 1-5 septembre 2014

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Introduction

Potentiel de gravitation et pesanteur

Harmoniques sphériques

Le potentiel normal

Le modèle linéaire de la gravimétrie

Systèmes de hauteurs

Réduction des mesures gravimétriques

Solution du problème de Stokes

Les modèles globaux du potentiel

Modèle de géoïde combiné

Bathymétrie

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La circulation

océanique

La circulation océanique

Ecart (en cm) entre surface moyenne de la mer et surface du géoïde ( = topographie dynamique moyenne)

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Les mesures altimétriques :

renseignent sur la surface moyenne océanique (proche du géoïde)

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5 / 103Géoïde :

La surface équipotentielle du champ de gravité de la terre ajustée au mieux, au sens du moindre carré, à la surface moyenne des océans (marégraphes, altimétrie). C"est l"hypothétique océan 'au repos", sans courants.

C"est la référence des hauteurs physiques.

Modèle global du potentiel terrestre :̘modèle du potentiel en harmoniques sphériques, tronqué au degré et ordre maximum n. La hauteur du géoïde

se calcule à chaque point de la terre.

Résolution du modèle : 20000/n(km)

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Harmoniques sphériques (de Laplace) : Plm(sin

j) cos m l, Plm(sin j) sin m l degré ££££L ££££¥¥¥¥

1l2l10RSCRGM

25
l 0m2 lm2 lm+»+- gSpectre en hauteur de géoïde : (Règle de Kaula)

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7 / 103Introduction

Potentiel de gravitation et pesanteur

Harmoniques sphériques

Le potentiel normal

Le modèle linéaire de la gravimétrie

Systèmes de hauteurs

Réduction des mesures gravimétriques

Solution du problème de Stokes

Les modèles globaux du potentiel

Modèle de géoïde combiné

Bathymétrie

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8 / 103Newton : loi de la gravitation universelle

PP"

2rMmGF=

Toute la théorie du champ de gravité repose sur la loi de la gravitation universelle énoncée par Newton :

Le point P crée en tout point de l"espace un

champ dit newtonien qui dérive du potentiel : rGMU= tel que l"accélération du point P" est : 3 33
r zGMzUzryGMyUyrxGMxUx Ce potentiel vérifie l"équation de Laplace (1785): 0zU yU xUU22 22
22
D r rMmGF3=

Soit en notation

vectorielle :

3"rrGMaccP-=

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V(P)=G

r(Q) lPQ

S∫dSQ

a(P)= -G r(Q) lPQ3

S∫l

PQdSQ

S∫∫∫

S∫

;dxQdyQdzQ = dSQ Pour un corps de forme aléatoire, la densité peut être définie par: r=limD®0 DmDS =dmdS Le potentiel gravitationnel V peut s"écrire dans ce cas:

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Exemple du potentiel et l"accélération à la surface d"une sphère creuse. V=4

3pGrRo3-Ri3

r =GMshell r az= -4 3pG rRo3-Ri3 r2 = -GMshell r2

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Exemple du potentiel et l"accélération à la surface d"une sphère creuse. V=4

3pGrRo3-Ri3

r =GMshell r az= -4 3pG rRo3-Ri3 r2 = -GMshell r2

Et pour une sphère pleine (Ri= 0):

V=G4 3 pr R3 r =GM r az= - GMr2

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12 / 103L"accélération gravitationnelle à la surface de la terre :

approximation sphérique

R= 6370800 m

rrrr= 5515 kgm-3(densité moyenne)

G= 6.6732 10-11 Nm2kg-2

M= 43pr

R3=5.973×1024kg

GM R

2=9.82ms-2

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P ext.

S:

P int. S:DPV=

=0 LAPLACE -4 pGr(P) POISSON

NB: Laplace = Poisson si densité=0

Les solutions de l"équation de Laplace sont des fonctions harmoniques

Théorème de Stokes :

Une fonction Vharmonique à l"extérieur de SSSSest définie uniquement par ses valeurs à la surface. En revanche, il y a un nombre infini des distributions de masse donnant Vcomme potentiel extérieur. Donc nous n"avons pas besoin de connaître la distribution de densité afin de calculer le potentiel à l"extérieur de la terre.

NB2: GOCE va mesurer les gradients de gravité

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W =V+Z=constant (=c0,c1,c2,etc) =G r(Q) l PQ

S∫dS+1

2 w

2r2cos2

j L"accélération centrifuge (max à l"équateur); le repère terrestre tourneGravitation et pesanteurLe potentiel de pesanteur West la somme du potentiel de la gravitation V et de la centrifuge Z :

Définition du vecteur de gravité g

srd510292115.7-= w z 0 22
yx F cww

W=constant=sont des cas particuliers et on

parle d"une surface équipotentielle

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15 / 103La définition naturelle de hauteur émerge de la pesanteur. Les fonctions

W=constante définissent des surfaces convexes appelées surfaces de niveau équipotentielles de pesanteur, ou surfaces de niveau. Le géoïde est la surface de l"océan global au repos (sans courants), qui constitue une équipotentielle de pesanteur, c"est-à-dire une surface où l"eau est en équilibre gravitationnel et n"a de raison de s"écouler dans un sens ou un autre. Le géoïde se prolonge sous les continents, définissant ainsi le niveau zéro des altitudes. Le géoïde (W0)Les directions des fils à plombs (pesanteur) sont perpendiculaires aux surfaces. Hauteur physique

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16 / 103Potentiel de gravitation et pesanteur

Harmoniques sphériques

Le potentiel normal

Le modèle linéaire de la gravimétrie

Systèmes de hauteurs

Réduction des mesures gravimétriques

Solution du problème de Stokes

Les modèles globaux du potentiel

Modèle de géoïde combiné

Bathymétrie

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17 / 103Développement du potentiel terrestre en harmoniques sphériques

Solution de l"équation de

Laplace

DPV= =0 2+cot +1sin On suppose qu"une solution de la forme suivante existe:

V(q,l,r)=Y(q,l)f(r)

Ynm( q,l)=Pnm(cos q)cos ml sinm l

Solution équation différentielle

(harmoniques de surface):

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Ynm( q,l)=Pnm(cos q)cos ml sinm l

Solution de l"équation différentielle

(harmoniques de surface) : Et: f(r) =c×r-(n +1) La solution complète à la surface et au-dessus (' R/r"):V(q,l,r)=R r ) ) (n +1) n=o¥∑

Anmcosm

l+Bnmsinm l ( )Pnmcos q m=on∑ Les coefficients A et B ont l"unité d"un potentiel; on les transforme en coefficients C et S sans unité : Anm= GMR

Cnm;Bnm=

GMR Snm V( q,l,r)=GM R R r( ) ) (n +1) n=o¥∑

Cnmcosm

l+Snmsinm l ( )Pnmcos qquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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